2026届江苏省徐州市睢宁县高级中学第二学期统一检测试题高三数学试题含解析.doc

2026届江苏省徐州市睢宁县高级中学第二学期统一检测试题高三数学试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知无穷等比数列的公比为2，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数为自然对数的底数)在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
5．某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据分别为，，，，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ）
A．8年 B．9年 C．10年 D．11年
6．过点的直线与曲线交于两点，若，则直线的斜率为( )
A． B．
C．或 D．或
7．设，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知复数满足（其中为的共轭复数），则的值为( )
A．1 B．2 C． D．
9．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．

A． B． C．1 D．
10．若，则实数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是(       )
A． B． C． D．
12．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：

若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
A．324 B．522 C．535 D．578
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若关于的方程恰有四个不同的解，则实数的取值范围是______.
14．已知i为虚数单位，复数，则＝_______．
15．已知函数若关于的不等式的解集是，则的值为_____．
16．已知集合，，则________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，以椭圆C左顶点T为圆心作圆，设圆T与椭圆C交于点M与点N.

（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：为定值.
18．（12分）如图，椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，且，为等边三角形，过点的直线与椭圆在轴右侧的部分交于、两点．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形面积的取值范围．
19．（12分）（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，的距离之积．
20．（12分）已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.

（Ⅰ）若，求曲线的方程；
（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.
21．（12分）在平面直角坐标系中，点，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于不同的两点是线段的中点，当时，求的值．
22．（10分）已知数列满足，，其前n项和为.
（1）通过计算，，，猜想并证明数列的通项公式；
（2）设数列满足，，，若数列是单调递减数列，求常数t的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
依据无穷等比数列求和公式，先求出首项，再求出，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。
【详解】
因为无穷等比数列的公比为2，则无穷等比数列的公比为。
由有，，解得，所以，
，故选A。
本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。
2．B
【解析】
根据不等式的性质对选项逐一判断即可.
【详解】
选项A：由于，即，，所以，所以，所以成立；
选项B：由于，即，所以，所以，所以不成立；
选项C：由于，所以，所以，所以成立；
选项D：由于，所以，所以，所以，所以成立.
故选：B.
本题考查不等关系和不等式，属于基础题.
3．D
【解析】
首先由题意得，当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，的中点即为梯形的外接圆圆心，也即四棱锥的外接球球心，则可得到，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.
【详解】
如图，四边形为等腰梯形，则其必有外接圆，设为梯形的外接圆圆心，
当也为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过作的垂线交于点，交于点，连接，点必在上，

、分别为、的中点，则必有，
，即为直角三角形.
对于等腰梯形，如图：

因为是等边三角形，、、分别为、、的中点，
必有，
所以点为等腰梯形的外接圆圆心，即点与点重合，如图

，，
所以四棱锥底面的高为，
.
故选：D.
本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.
4．B
【解析】
求得的导函数，由此构造函数，根据题意可知在上有变号零点.由此令，利用分离常数法结合换元法，求得的取值范围.
【详解】
，
设，
要使在区间上不是单调函数，
即在上有变号零点，令，
则，
令，则问题即在上有零点，由于在上递增，所以的取值范围是.
故选：B
本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
5．D
【解析】
根据样本中心点在回归直线上，求出，求解，即可求出答案.
【详解】
依题意在回归直线上，
，
由，
估计第年维修费用超过15万元.
故选:D.
本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题.
6．A
【解析】
利用切割线定理求得，利用勾股定理求得圆心到弦的距离，从而求得，结合，求得直线的倾斜角为，进而求得的斜率.
【详解】
曲线为圆的上半部分，圆心为，半径为.
设与曲线相切于点，
则
所以
到弦的距离为，，所以，由于，所以直线的倾斜角为，斜率为.
故选：A

本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
7．D
【解析】
结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出,,,即可选出答案.
【详解】
由,即,
又,即,
,即,
所以.
故选:D.
本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.
8．D
【解析】
按照复数的运算法则先求出，再写出，进而求出.
【详解】
，
，
.
故选：D
本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.
9．B
【解析】
首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长．
【详解】
解：根据三视图还原几何体如图所示，

所以，该四棱锥体的最长的棱长为．
故选：B．
本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
10．A
【解析】
将化成以 为底的对数，即可判断 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系.
【详解】
依题意，由对数函数的性质可得.
又因为，故.
故选:A.
本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.
11．A
【解析】
=,当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当, 当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.
12．D
【解析】
因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号.
【详解】
从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:
，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为，故第6个数据为578.选D.
本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
设，判断 为偶函数，考虑x>0时，的解析式和零点个数, 利用导数分析函数的单调性,作函数大致图象，即可得到的范围.
【详解】
设，
则在是偶函数，
当时，，
由得，
记，

，，
故函数在增，而，
所以在减，在增，，
当时，，当时，，
因此的图象为

因此实数的取值范围是.
本题主要考查了函数的零点的个数问题，涉及构造函数，函数的奇偶性，利用导数研究函数单调性，考查了数形结合思想方法，以及化简运算能力和推理能力，属于难题.
14．
【解析】
先把复数进行化简，然后利用求模公式可得结果.
【详解】
．
故答案为：.
本题主要考查复数模的求解，利用复数的运算把复数化为的形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
15．
【解析】
根据题意可知的两根为,再根据解集的区间端点得出参数的关系,再求解即可.
【详解】
解：因为函数,
关于的不等式的解集是
的两根为：和；
所以有：且；
且；
；
故答案为：
本题主要考查了不等式的解集与参数之间的关系,属于基础题.
16．
【解析】
利用交集定义直接求解．
【详解】
解：集合奇数，
偶数，
．
故答案为：．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）；（3）
【解析】
（1）依题意，得，，由此能求出椭圆C的方程.
（2）点与点关于轴对称，设，，设，由于点在椭圆C上，故，由，知，由此能求出圆T的方程.
（3）设，则直线MP的方程为：，令，得，同理：，由此能证明为定值.
【详解】
（1）依题意，得，，
，
故椭圆C的方程为.
（2）点与点关于轴对称，设，，设，
由于点在椭圆C上，所以，
由，则，

.
由于，
故当时，的最小值为，所以，故，
又点在圆T上，代入圆的方程得到.
故圆T的方程为：
（3）设，则直线MP的方程为：，
令，得，同理：.
故
又点与点在椭圆上，
故，代入上式得：
，
所以
本题考查了椭圆的几何性质、圆的轨迹方程、直线与椭圆的位置关系中定值问题，考查了学生的计算能力，属于中档题.
18．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据坐标和为等边三角形可得，进而得到椭圆方程；
（2）①当直线斜率不存在时，易求坐标，从而得到所求面积；②当直线的斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定的取值范围；利用，代入韦达定理的结论可求得关于的表达式，采用换元法将问题转化为，的值域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果.
【详解】
（1），，
为等边三角形，，椭圆的标准方程为．
（2）设四边形的面积为．
①当直线的斜率不存在时，可得，，
．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，，
联立得：，
，，．
，，，，
面积．
令，则，，
令，则，，
在定义域内单调递减，．
综上所述：四边形面积的取值范围是．
本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的四边形面积的取值范围的求解问题；关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数，将问题转化为函数值域的求解问题.
19．（1）曲线：，直线的直角坐标方程；（2）1.
【解析】
试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线化为普通方程，再根据 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线参数方程，代入C方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点到，的距离之积
试题解析：（1）曲线化为普通方程为：，
由，得，
所以直线的直角坐标方程为．
（2）直线的参数方程为为参数），
代入化简得：，
设两点所对应的参数分别为，则，
．
20．（Ⅰ）和.；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】
(Ⅰ)由，可得，解出即可；
(Ⅱ)设点，设直线，与椭圆方程联立可得：，利用，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，且，设直线的方程为：，与椭圆方程联立可得： ，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、基本不等式的性质，即可求解.
【详解】
(Ⅰ)由题意：，
，解得，
则曲线的方程为：和.
(Ⅱ)证明：由题意曲线的渐近线为：，
设直线，
则联立，得，
，解得：，
又由数形结合知.
设点，
则，，
，，
，即点在直线上.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，点，
设直线的方程为：，
联立，得：，
，
设，
，，
，
面积，
令，，

当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.
本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质,考查了推理论证能力与运算求解能力，属于难题.
21．（1）；（2）.
【解析】
（1）在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；
（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得．
【详解】
解：（1）在ρ+ρcos2θ＝8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8ρsinθ，
∴x2+y2+x2﹣y2＝8y，即x2＝4y，
所以曲线C的直角坐标方程为：x2＝4y．
（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y得：（cosα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
由△＝16sin2α﹣16cos2α＞0，得sinα＞，
t1+t2＝，由|PM|＝，
所以20sin2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝或sinα＝﹣（舍去），
所以sinα＝．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
22．（1），证明见解析；（2）
【解析】
（1）首先利用赋值法求出的值，进一步利用定义求出数列的通项公式；（2）首先利用叠乘法求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性和基本不等式的应用求出参数的范围．
【详解】
（1）数列满足，，其前项和为．
所以，，
则，，，
所以猜想得：．
证明：由于，
所以，
则：（常数），
所以数列是首项为1，公差为的等差数列．
所以，整理得．
（2）数列满足，，
所以，
则，
所以．则，
所以，
所以，整理得，
由于，所以，即．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠乘法的应用，函数的单调性在数列中的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型．