2026年山东省济宁市微山县第二中学高三模拟测试数学试题含解析含解析.doc

2026年山东省济宁市微山县第二中学高三模拟测试数学试题含解析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，是双曲线的两个焦点，过点且垂直于轴的直线与相交于，两点，若，则△的内切圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )

A．
B．
C．
D．
3．已知满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知正项等比数列中，存在两项，使得，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，，，点满足，则等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.

A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元
7．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．2
8．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，若弦的长为，则（ ）
A．2或 B．3或 C．4或 D．5或
9．已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．若向量，则（ ）
A．30 B．31 C．32 D．33
11．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（ ）

A． B． C． D．
12．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图（例如：年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、），根据该图，以下结论一定正确的是（ ）

A．年该工厂的棉签产量最少
B．这三年中每年抽纸的产量相差不明显
C．三年累计下来产量最多的是口罩
D．口罩的产量逐年增加
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若且时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________．
14．点P是△ABC所在平面内一点且在△ABC内任取一点，则此点取自△PBC内的概率是____
15．如图，从一个边长为的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为______.

16．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过且与抛物线交于两点，为坐标原点，若在第一象限，那么_______________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，.
（1）若对于任意实数，恒成立，求实数的范围；
（2）当时，是否存在实数，使曲线：在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
18．（12分）设函数，是函数的导数.
（1）若，证明在区间上没有零点；
2）在上恒成立，求的取值范围.
19．（12分）某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为元/瓶.酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照，，，分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率.

从试销售期间任选三天，求其中至少有一天的酸奶销量大于瓶的概率；
试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱瓶，批发成本元；小箱每箱瓶，批发成本元.由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废.该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱（计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为时看作销量为瓶）.
①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量，求和的分布列和数学期望；
②以利润作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？
注：销售额=销量×定价；利润=销售额－批发成本.
20．（12分）在中，，.已知分别是的中点.将沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，连接，如图：

（1）证明：平面平面
（2）求平面与平面所成二面角的大小.
21．（12分）已知六面体如图所示，平面，，，，，，是棱上的点，且满足.

（1）求证：直线平面；
（2）求二面角的正弦值.
22．（10分）已知椭圆与抛物线有共同的焦点，且离心率为，设分别是为椭圆的上下顶点
（1）求椭圆的方程
（2）过点与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点，当弦的中点落在四边形内（含边界）时，求直线的斜率的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
设左焦点的坐标， 由AB的弦长可得a的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径.
【详解】
由双曲线的方程可设左焦点，由题意可得，
由，可得，
所以双曲线的方程为:
所以，
所以
三角形ABF2的周长为
设内切圆的半径为r，所以三角形的面积，
所以，
解得，
故选：B
本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.
2．B
【解析】
根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式．
【详解】
因为该程序图是计算值的一个程序框圈
所以共循环了5次
所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，
即判断框内的不等式应为或
所以选C
本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题．
3．A
【解析】
利用两角和与差的余弦公式展开计算可得结果.
【详解】
，.
故选：A.
本题考查三角求值，涉及两角和与差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
4．C
【解析】
由已知求出等比数列的公比，进而求出，尝试用基本不等式，但取不到等号，所以考虑直接取的值代入比较即可.
【详解】
，，或（舍）.
，，.
当，时；
当，时；
当，时，，所以最小值为.
故选:C.
本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.
5．D
【解析】
利用已知条件，表示出向量 ,然后求解向量的数量积．
【详解】
在中，，，，点满足，可得
则==
本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．
6．D
【解析】
设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．
【详解】
设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．
故选D．
本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．
7．C
【解析】
根据复数模的性质即可求解.
【详解】
,
,
故选：C
本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.
8．C
【解析】
先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出.
【详解】
设直线的倾斜角为，则，
所以，，即，
所以直线的方程为.当直线的方程为，
联立，解得和，所以；
同理，当直线的方程为.，综上，或.选C.
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义.
9．A
【解析】
先求出函数在处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数和的图象，利用数形结合进行求解即可.
【详解】
当时，，所以函数在处的切线方程为：，令，它与横轴的交点坐标为.
在同一直角坐标系内画出函数和的图象如下图的所示：

利用数形结合思想可知：不等式对任意的恒成立，则实数k的取值范围是.
故选：A
本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.
10．C
【解析】
先求出,再与相乘即可求出答案.
【详解】
因为,所以.
故选:C.
本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.
11．C
【解析】
由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体,圆锥底面半径为,圆锥的高,截去的底面劣弧的圆心角为，底面剩余部分的面积为,利用锥体的体积公式即可求得.
【详解】
由已知中的三视图知圆锥底面半径为，圆锥的高，圆锥母线，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分的面积为，故几何体的体积为：.
故选C.
本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般.
12．C
【解析】
根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
由于该工厂年至年的产量未知，所以，从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较，故A、B、D选项错误；
由堆积图可知，从年至年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最多的是口罩，C选项正确.
故选：C.
本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
将不等式两边同时平方进行变形，然后得到对应不等式组，对的取值进行分类，将问题转化为二次函数在区间上恒正、恒负时求参数范围，列出对应不等式组，即可求解出的取值范围.
【详解】
因为，所以，所以，
所以，所以或，
当时，对且不成立，
当时，取，显然不满足，所以，
所以，解得；
当时，取，显然不满足，所以，
所以，解得，
综上可得的取值范围是：.
故答案为：.
本题考查根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法：（1）分类讨论法：分析参数的临界值，对参数分类讨论；（2）参变分离法：将参数单独分离出来，再以函数的最值与参数的大小关系求解出参数范围.
14．
【解析】
设是中点，根据已知条件判断出三点共线且是线段靠近的三等分点，由此求得，结合几何概型求得点取自三角形的概率.
【详解】
设是中点，因为，所以，所以三点共线且点是线段靠近的三等分点，
故，所以此点取自内的概率是．
故答案为：

本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题.
15．1
【解析】
由题意得正三棱柱底面边长6，高为，由此能求出所得正三棱柱的体积．
【详解】
如图，作，交于，，
由题意得正三棱柱底面边长，高为，
所得正三棱柱的体积为：
．
故答案为：1．

本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意翻折前后的不变量．

16．2
【解析】
如图所示，先证明，再利用抛物线的定义和相似得到.
【详解】

由题得,.
因为.
所以,
过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，过点B作于点E,
设|BF|=m，|AF|=n，则|BN|=m，|AM|=n，
所以|AE|=n-m，因为,
所以|AB|=3(n-m)，
所以3(n-m)=n+m，
所以.
所以.
故答案为：2
本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.
【解析】
（1）分类时，恒成立，时，分离参数为，引入新函数，利用导数求得函数最值即可；
（2），导出导函数，问题转化为在上有解．再用导数研究的性质可得．
【详解】
解：（1）因为当时，恒成立，
所以，若，为任意实数，恒成立.
若，恒成立，
即当时，，
设，，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以当时，取得最大值.
，
所以，要使时，恒成立，的取值范围为.
（2）由题意，曲线为：.
令，
所以，
设，则，
当时，，
故在上为增函数，因此在区间上的最小值，
所以，
当时，，，
所以，
曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程在上有实数解.
而，即方程无实数解.
故不存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直.
本题考查不等式恒成立，考查用导数的几何意义，由导数几何把问题进行转化是解题关键．本题属于困难题．
18．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出，再由函数的导数可知，
函数在上单调递增，在上单调递减，而，，可知在区间上恒成立，即在区间上没有零点；
（2）由题意可将转化为，构造函数，
利用导数讨论研究其在上的单调性，由，即可求出的取值范围．
【详解】
（1）若，则，，
设，则，，
，故函数是奇函数．
当时，，，这时，
又函数是奇函数，所以当时，.
综上，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.
又，，
故在区间上恒成立，所以在区间上没有零点.
（2），由，所以恒成立，
若，则，设，
.
故当时，，又，所以当时，，满足题意；
当时，有，与条件矛盾，舍去；
当时，令，则，
又，故在区间上有无穷多个零点，
设最小的零点为，
则当时，，因此在上单调递增.
，所以.
于是，当时，，得，与条件矛盾.
故的取值范围是.
本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论思想和放缩法的应用，难度较大，意在考查学生的数学建模能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题．
19．；①详见解析；②应该批发一大箱.
【解析】
酸奶每天销量大于瓶的概率为，不大于瓶的概率为，设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件，则表示“这三天酸奶的销量都不大于瓶”.利用对立事件概率公式求解即可.
①若早餐店批发一大箱，批发成本为元，依题意，销量有，，，四种情况，分别求出相应概率，列出分布列，求出的数学期望，若早餐店批发一小箱，批发成本为元，依题意，销量有，两种情况，分别求出相应概率，由此求出的分布列和数学期望；②根据①中的计算结果，，从而早餐应该批发一大箱.
【详解】
解：根据图中数据，酸奶每天销量大于瓶的概率为，不大于瓶的概率为.
设“试销售期间任选三天，其中至少有一天的酸奶销量大于瓶”为事件，则表示“这三天酸奶的销量都不大于瓶”.
所以.
①若早餐店批发一大箱，批发成本为元，依题意，销量有，，，四种情况.
当销量为瓶时，利润为元；
当销量为瓶时，利润为元；
当销量为瓶时，利润为元；
当销量为瓶时，利润为元.
随机变量的分布列为

所以（元）
若早餐店批发一小箱，批发成本为元，依题意，销量有，两种情况.
当销量为瓶时，利润为元；
当销量为瓶时，利润为元.
随机变量的分布列为

所以（元）.
②根据①中的计算结果，，
所以早餐店应该批发一大箱.
本题考查概率，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，属于中档题.
20．（1）证明见解析（2）45°
【解析】
（1）设的中点为，连接，设的中点为，连接，，从而即为二面角的平面角，，推导出，从而平面，则，即，进而平面，推导四边形为平行四边形，从而，平面，由此即可得证.
（2）以B为原点，在平面中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面所成二面角的大小.
【详解】
（1）∵是的中点，∴.
设的中点为，连接.
设的中点为，连接，.
易证：，，
∴即为二面角的平面角.
∴，而为的中点.
易知，∴为等边三角形，∴.①
∵，，，∴平面.
而，∴平面，∴，即.②
由①②，，∴平面.
∵分别为的中点.
∴四边形为平行四边形.
∴，平面，又平面.
∴平面平面.

（2）如图，建立空间直角坐标系，设.
则，，，，
显然平面的法向量，
设平面的法向量为，，，
∴，∴.
，
由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角.
∴平面与平面所成的二面角大小为45°.

本题主要考查立体几何中面面垂直的证明以及求解二面角大小，难度一般，通常可采用几何方法和向量方法两种进行求解.
21．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）连接，设，连接.通过证明，证得直线平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的正弦值.
【详解】
（1）连接，设，连接，
因为，所以，所以，
在中，因为，
所以，且平面，
故平面.

（2）因为，，，，，所以，
因为，平面，所以平面，
所以，，
取所在直线为轴，取所在直线为轴，取所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知可得，，，，
所以，因为，
所以，
所以点的坐标为，
所以，，设为平面的法向量，
则，令，解得，，
所以，即为平面的一个法向量.
，
同理可求得平面的一个法向量为
所以
所以二面角的正弦值为

本小题主要考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
22．（1）（2）或
【解析】
（1）由已知条件得到方程组，解得即可；
（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由得到的范围，设弦中点坐标为则，所以在轴上方，只需位于内（含边界）就可以，即满足，得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：（1）由已知椭圆右焦点坐标为，离心率为，，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）由题意得直线的斜率存在，设直线方程为
联立，消元整理得，，
由，解得
设弦中点坐标为，
所以在轴上方，只需位于内（含边界）就可以，
即满足，即，
解得或
本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，直线与椭圆的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．