浙江省瑞安市2026年高三下学期第一次诊断性考试数学试题含解析.doc

浙江省瑞安市2026年高三下学期第一次诊断性考试数学试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在四边形中，，，，，，则的长度为（ ）

A． B．
C． D．
2．已知函数，若关于的方程恰好有3个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线，F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．设是虚数单位，，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
6．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知二次函数的部分图象如图所示，则函数的零点所在区间为（ ）

A． B． C． D．
8．已知，则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
11．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据： ）

A．48 B．36 C．24 D．12
12．若双曲线的离心率，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若恒成立，则的取值范围是___________.
14．若展开式中的常数项为240，则实数的值为________.
15．已知向量，，且，则________．
16．等差数列（公差不为0），其中，，成等比数列，则这个等比数列的公比为_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，求的面积的最大值．
18．（12分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的参数方程；
（2）设曲线与曲线在第二象限的交点为，曲线与轴的交点为，点，求的周长的最大值．
19．（12分）已知函数
（1）已知直线：，：.若直线与关于对称，又函数在处的切线与垂直，求实数的值；
（2）若函数，则当，时，求证：
①；
②.
20．（12分）如图，已知四棱锥，平面，底面为矩形，，为的中点，.

（1）求线段的长.
（2）若为线段上一点，且，求二面角的余弦值.
21．（12分）已知椭圆过点，设椭圆的上顶点为，右顶点和右焦点分别为，，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线交椭圆于，两点，设直线与直线的斜率分别为，，若，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
22．（10分）已知函数，设为的导数，．
（1）求，；
（2）猜想的表达式，并证明你的结论．
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
设，在中，由余弦定理得，从而求得，再由由正弦定理得，求得，然后在中，用余弦定理求解.
【详解】
设，在中，由余弦定理得，
则，从而，
由正弦定理得，即，
从而，
在中，由余弦定理得：，
则.
故选：D
本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
2．D
【解析】
讨论，，三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.
【详解】
当时，，故，函数在上单调递增，在上单调递减，且；
当时，；
当时，，，函数单调递减；
如图所示画出函数图像，则，故.
故选：.

本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.
3．A
【解析】
根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.
【详解】
由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则.
由得,则.
又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.
故选：A
本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.
4．C
【解析】
由，可得，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出的值.
【详解】
解：，
，解得：.
故选:C.
本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把 当成进行运算.
5．D
【解析】
令，可得.
在坐标系内画出函数的图象（如图所示）.

当时，.由得.
设过原点的直线与函数的图象切于点，
则有，解得.
所以当直线与函数的图象切时
又当直线经过点时，有，解得.
结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时，实数的取值范围是.
即函数在区间上有三个零点时，实数的取值范围是.选D.
点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.
6．A
【解析】
根据排除，，利用极限思想进行排除即可．
【详解】
解：函数的定义域为，恒成立，排除，，
当时，，当，，排除，
故选：．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题．
7．B
【解析】
由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.
又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上单调递增，
又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，
根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，
故选B.
8．B
【解析】
根据诱导公式化简再分析即可.
【详解】
因为,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分条件.
故选：B
本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.
9．A
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．
【详解】
抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2，
又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±．
故选：A．
本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．
10．D
【解析】
如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，利用均值不等式得到答案.
【详解】
如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，
设，，则，
当，即时等号成立.
故选：.

本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
11．C
【解析】
由开始，按照框图，依次求出s，进行判断。
【详解】

，故选C.
框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键。
12．C
【解析】
根据双曲线的解析式及离心率，可求得的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.
【详解】
双曲线的离心率，
则，，解得，所以焦点坐标为，
所以，
则双曲线渐近线方程为，即，
不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得，
故选：C.
本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
求导得到，讨论和两种情况，计算时，函数在上单调递减，故，不符合，排除，得到答案。
【详解】
因为，所以，因为，所以.
当，即时，，则在上单调递增，从而，故符合题意；
当，即时，因为在上单调递增，且，所以存在唯一的，使得.
令，得，则在上单调递减，从而，故不符合题意.综上，的取值范围是.
故答案为：.
本题考查了不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题是解题的关键.
14．－3
【解析】
依题意可得二项式展开式的常数项为即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：∵二项式的展开式中的常数项为，
∴解得.
故答案为：
本题考查二项式展开式中常数项的计算，属于基础题.
15．
【解析】
根据垂直向量的坐标表示可得出关于实数的等式，即可求得实数的值.
【详解】
，且，则，解得.
故答案为：.
本题考查利用向量垂直求参数，涉及垂直向量的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.
16．4
【解析】
根据等差数列关系，用首项和公差表示出，解出首项和公差的关系，即可得解.
【详解】
设等差数列的公差为，
由题意得: ，则整理得，，所以
故答案为：4
此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）
【解析】
(1)由正弦定理边化角化简已知条件可求得,即可求得;
(2)由余弦定理借助基本不等式可求得,即可求出的面积的最大值.
【详解】
（1），，
所以，
所以，
，，
，．
（2）由余弦定理得.，
，当且仅当时取等，
.
所以的面积的最大值为.
本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用,考查了三角形面积的最值问题,难度较易.
18．（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为为参数（2）
【解析】
（1）将代入，可得，
所以曲线的直角坐标方程为．
由可得，
将，代入上式，可得，
整理可得，所以曲线的参数方程为为参数．
（2）由题可设，，，
所以，，
，
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，l取得最大值为，
所以的周长的最大值为．
19．（1）（2）①证明见解析②证明见解析
【解析】
（1）首先根据直线关于直线对称的直线的求法，求得的方程及其斜率.根据函数在处的切线与垂直列方程，解方程求得的值.
（2）
①构造函数，利用的导函数证得当时，，由此证得.
②由①知成立，整理得成立.利用构造函数法证得，由此得到，即，化简后得到.
【详解】
（1）由解得
必过与的交点.
在上取点，易得点关于对称的点为，
即为直线，所以的方程为，即，其斜率为.
又因为，所以，，
由题意，解得.
（2）因为，所以.
①令，则，
则，
且，，
时，，单调递减；
时，，单调递增.
因为，所以，因为，
所以存在，使时，，单调递增；
时，，单调递减；时，，单调递增.
又，所以时，，即，
所以，即成立.
②由①知成立，即有成立.
令，即.所以时，，
单调递增；
时，，单调递减，所以，即，
因为，所以，所以时，，
即时，.
本小题考查函数图象的对称性，利用导数求切线的斜率，利用导数证明不等式等基础知识；考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想，数形结合思想和应用意识.
20．（1）的长为4（2）
【解析】
（1）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，根据向量垂直关系计算得到答案.
（2）计算平面的法向量为，为平面的一个法向量，再计算向量夹角得到答案.
【详解】
（1）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，
所以.，因为，所以，
即，解得，所以的长为4.
（2）因为，所以，又，
故.
设为平面的法向量，则即
取，解得，
所以为平面的一个法向量.
显然，为平面的一个法向量，
则，
据图可知二面角的余弦值为.

本题考查了立体几何中的线段长度，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
21．（1） （2）直线过定点，该定点的坐标为．
【解析】
（1）因为椭圆过点，所以 ①，
设为坐标原点，因为，所以，又，所以 ②，
将①②联立解得（负值舍去），所以椭圆的标准方程为．
（2）由（1）可知，设，．
将代入，消去可得，
则，，，
所以
，
所以，此时，所以，
此时直线的方程为，即，
令，可得，所以直线过定点，该定点的坐标为．
22．,；
，证明见解析
【解析】
对函数进行求导,并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式,对函数再进行求导并通过三角恒等变换进行转化求得的表达式;
根据中，的表达式进行归纳猜想,再利用数学归纳法证明即可.
【详解】
（1）

，其中，

[
，其中，
（2）猜想，
下面用数学归纳法证明：
①当时，成立，
②假设时，猜想成立
即
当时，

当时，猜想成立
由①②对成立
本题考查导数及其应用、三角恒等变换、归纳与猜想和数学归纳法;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;熟练掌握用数学归纳法进行证明的步骤是求解本题的关键;属于中档题.