第二章 反z变换.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.7.3 Z,反变换,即由,Z,变换式,X(z,),求相应的序列,x(n,),，常用,Z,-1,x(z),表示，,逆,z,变换是一个对,X(z)z,n-1,进行的围线积分，积,分路径,C,是一条在,X(z,),收敛环域（,Rx-,，,Rx+,）,以内反时针方向绕原点一周的单围线。,求解反,z,变换的常用方法有,常见的方法有,幂级数法,部分分式法,留数法,1.,幂级数法,由上已知，,Z,变换是一个幂级数表示式,那么，求,X(z,),的反变换只要将其展开为幂级数形式，再与上式相比较，其系数便是所求的序列,x(n,),。,幂级数的展开形式还必须依据收敛域,收敛域,级数形式,某一圆外,z,-1,某圆内,z,某圆环内,z,-1,与,z,例,2.5,：已知,X(z,)=e,1/z,|z|0,求其反,Z,变换,所以得,解：将其展开为幂级数形式,例,2.6,：已知,求,X(z,),的反,z,变换。,解：,对应序列为,再利用,Z,变换的线性和位移特性,于是可知,X(z,),所对应的序列为,一般地，,Z,变换式为有理分式的情形，可以利用,长除法,来得到其幂级数展开式,a.,X(n,),为右边序列，不含,z,的正指数项,分子分母按降幂排列,b.,X(n,),为左边序列，不含,z,的正指数项,分子分母按升幂排列,例：对其进行多项式除法,a.,先按降幂排列，同上。,b.,先按升幂排列,利用多项式除法得,2.,部分分式法,设,X,（,z,）,可以分解成,其中,是简单的分式，可以通过,Z,变换表,查得其对应的反,Z,变换,.,根据,Z,变换的线性,得到对应的序列,例如,:,1.,如可将,X(z,),表示成,则对右边序列有,则对左边序列有,2.,如可将,X(z,),表示为,于是，,例,2.7,已知,将其化为部分分式之和,解：,于是，,3.,留数法,由,Z,变换,X(z,),求其相应的序列,x(n,),，有下面的,Z,反变换关系式：,积分路径,C,是一条在,X(z,),收敛环域（,R,x-,，,R,x+,）内的一条包围原点的闭合曲线。,上式中的积分，应用留数定理来求,若,X(z)z,n-1,是,z,的有理函数，设,z,0,是它的一个,s,阶极点，可以将,X(z)z,n-1,表示为,则 在,z=z,0,解析，,X(z)z,n-1,在,z=z,0,的留数为,若,z,0,是一阶极点，即,s=1,，则此留数为,D,z,1,z,2,z,3,z,n,C,1,C,2,C,3,C,n,C,留数定理：,设函数,在区域,D,内除有限个孤立奇点,外处处解析，,C,为,D,内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则,留数法思路,由于积分围线,c,在,X(z,),的收敛域内，所以首先要确定收敛域，如未给定要根据其极点确定。,考虑被积函数,X(z)z,n-1,在,c,内或,c,外的极点的情况确定用,(a),式或,(b),式来计算。原则是选择,X(z)z,n-1,有有限个极点且极点阶次有限的区域来求留数，而尽量避免求,z=,的留数。,如收敛域在一圆外，应计算,n0,时的,x(n,),，选择（,a,）式，因为此时在,c,内有有限个阶次有限的极点，,z,n-1,在,z=0,处解析；,如收敛域在一圆内，应计算,n0,的,x(n,),，而利用,c,外的极点求得,n0,的情况同样处理,例,2.17,用留数法求 的,z,反变换。,解：,，显然，并且,m=1,。,X(z,),有两个极点：,z,1,=1,及,z,2,=1/3,，,故有三种可能的收敛域。,(1),收敛域,|z|1:,此时收敛域在,|z|=1,的园外，围线,c,之内包含,X,0,(z),的两个极点，所以有：,当,n1-m=0,时，,x(n,)=0,；,而当,n1-m=0,时，有：,(2,）收敛域,|z|1/3:,此时收敛域在,|z|=1/3,的园内，围线,c,之外包含,X,0,(z),的两个极点，所以有：,当,n1=m=0,时，,x(n,)=0,；,而当,n1-m=0,时，有：,(3),收敛域,1/3 z 1:,此时收敛域在一个环内，,X,0,(z),的极点,z,1,=1,在围线,c,之外，而,z,2,=1/3,在围线,c,之内,于是有：,当,n1-m=0,时，,当n0,时：,X,1,在,c,内和,c,上解析，故,Z,反变换积分为,0,，即有,x(n,)=0;,n3,，,所以,x(n),为右边序列，,X(z),应按,z,的降幂排列。,z,2,-6z+9,3z,3z,-1,3z-18+27z,-1,18-27z,-1,+18z,-2,18-108z,-1,+162z,-2,81z,-1,-162z,-2,+81z,-3,81z,-1,-486z,-2,+729z,-3,+,得：,X(z)=3z,-1,+18z,-2,+81z,-3,+,=3z,-1,+23,2,z,-2,+33,3,z,-3,+,x(n)=n3,n,u(n-1),例：设：,解：,收敛域,z|2,例：求,z,的反变换，设：,解：,当,n0,时，围线内有一个极点：,z=1/2,当,n=0,时，围线内有两个极点：,z=0,和,z=1/2,当,n0,时，,X(z)z,n-1,的分母多项式,z,的阶次比分子多项 式的阶次高二阶或二阶以上，故可用式来计算,x(n),。,由 于此时在围线外无极点，所以：,x(n)=0,。,综合、，得到,x(n),：,2.6,单边,Z,变换,2.6.1,单边,Z,变换的定义,2.6.2,单边,Z,反变换,其计算方法与双边,Z,反变换相同，但是其解并不一定是唯一的，因为单边,Z,反变换算出的只是序列,n,0,时的表达式，,n0,部分未定,。,可以看出，与双边变换的不同就在于对于,n,的求和范围不同，,其幂级数中只含,z,的负指数项，单边,Z,变换的收敛域在半径为,某个值的圆周之外，包括,z=,在内。如果序列在,n,0,的定义,相同，则它们的单边,Z,变换就相同，尽管,n0,的定义可能不同。,2.6.3,单边,Z,变换的性质,前节中的双边,Z,变换的所有性质除与序列位移有关的性质之外都适用于单边,Z,变换。,单边,Z,变换的位移特性,设,n,0,为正整数，,右移时,：,-1-n,0,的序列移入正向区间，使,Z,变换的结果增加了,n,0,项,左移时,：,设,n,2,=0,1,n,0,-1,时，,左移时，虽然表达式与双边变换相同，但原正向区间的前,n,0,个值不能参加级数运算，需假设这,n,0,个值都为零，才能与原,Z,变换序列建立联系,单边,Z,变换与双边,Z,变换的差异,单边,Z,变换适用与需要初值条件解决因果系统的响应问题，可以从某个需要的时刻开始，初始条件体现了在,nN,N,阶线性差分方程,输出对输入有反馈，输出值不仅取决于输入值而且与,输出值有关。,对于线性、非移变、因果系统，有,2.,递归型,可见，当,b,i,=0,时，递归型变为非递归系统。非递归是递归,的特例,2.8.2,系统函数,一个线性、非移变、因果系统的差分方程为,对上式两边作双边,Z,变换，得,定义该系统的,传递函数,，即,系统函数,为,而我们已经知道,由序列卷积的,Z,变换特性有,由（,3,）式和（,5,）式比较可知，系统函数,H(z,),实际上就是系统的单位,取样响应,h(n,),的,Z,变换。,系统函数,H(z,),表征系统在稳态时的特性，,Y(z,),经反变换后的输出也是系统在稳态的输出。,当需要求解在一定的初始条件下因果系统的响应问题时，要采用单边,Z,变换。则求解（,1,）式两边的单边,Z,变换得,故可求得,由此可见，输出响应的单边,Z,变换，不仅与系统的传递函数有关，而且与,输入输出的初始状态有关，只有当初始值为零时才与双边,Z,变换的结果相同。,如果令,此即系统的,频率响应,一线性时不变系统,y(n,)=x(n)-1/2y(n-1),求单位抽样响应,2.8.3,系统函数的零、极点,前面得到,可见，,H(z,),是两个,Z,-1,的多项式之比，于是可以对其分子分母因式分解，得,这里假设,可见，,c,i,就是系统函数的零点，而,d,j,就是其极点。也就是说系统函数,可用,其零点和极点来表示。,系统的频率响应，上式中令,其中，,C,i,表示零点,c,i,指向单位圆上,的向量；,D,j,表示极点,d,j,指向单位圆上,的向量。,将向量,C,i,和,D,j,用极坐标表示：,而且,因此,其中，,系统的幅频响应,系统的相频响应,在系统函数的零、极点已知的情况下，可以利用几何作图法求系统的频率响应,可以看出零点、极点在,z,平面上的位置关系，,在单位圆上的位置移动而改变：在零点附近，幅频响应将出现谷值,（最小值），特别地，当零点位于单位圆上时，谷值为零；在极点附近，,幅值将出现峰值（最大值），若极点位于单位圆上，峰值为无穷大。,2.8.4,线性非移变因果系统的稳定性,这里来讨论系统函数的极点位置与系统的稳定性的关系。对于线性,非移变系统，只需考察,就可以断定该系统是否稳定。,设一,N,阶线性非移变系统，系统函数为,H(z,),，由于其单位取样响应是因果的，,H(z,),的收敛域在一半径为,R,-,的圆外。为方便讨论，假设,H(z,),只有一阶极点，用,p,i,表示,(i=1,2,N),(1),设,R,-,n=0:10;,x=(0.5).n;,stem(n,x,);,图,2.26,例,2.18,的图形,5,正弦序列,函数,sin,（,或,cos,）,产生正（余）弦序列。,例,2.19,用,Matlab,实现,x(n,)=2sin(0.6n)+3cos(0.3n+/3),，,0n10,。,n=0:0.1:10;,x=2*sin(0.6*pi*n)+3*cos(0.3*pi*n+pi/3);,plot(n,x,);,图,2.27,例,2.19,的图形,6,序列的翻褶,y(n,)=,x(-n,),的,Matlab,实现为：,y=,fliplr,(x);,n=-,fliplr,(n);,7,信号的能量：,在,Matlab,中采用函数,conj,来求一个复数的共轭，而离散序列的能量的,Matlab,实现可以采用下述任一种方法。,（,1,）,E=,sum(x,.*,conj(x,);,（,2,）,E=sum(abs(x),，,.2);,例,2.20,用,Matlab,实现下列序列，并画出相应图形。,解：,n=0:10;,x=n*Unitstepseq(0,0,10)+3*(0.5).(3*n);,stem(n,x,);,xlabel(n,);,ylabel(x(n,);,图,2.28,例,2.20,的图形,8,序列的离散线性卷积计算,Matlab,中计算两个有限长序列的线性卷积的函数是,conv,，,该函数假设两个序列都是从,n=0,开始的，其调用格式如下：,y=,conv(x,h,),例,2.21,求以下两个序列的线性卷积。,x(n,)=11,6,3,6,-9,，,-3n1h(n)=8,17,3,20,9,14,，,-1n4,。,x=11,6,3,6,-9;,h=8,17,3,20,9,14;,y=,conv(x,h,),于是用,Matlab,求得：,y=88 235 159 337 258 133 204 -84 3 -126,y(n,),定义的区间可以这样求出：因为 ，其中,x(k,),的非零区间为,-3k1,而,h(n-k,),的非零区间为,-1n-k4,将这两个不等式相加就得到,y(n,),的非零区间4n5,。,2.9.2,离散信号变换的,Matlab,实现,1,离散信号的,DTFT,DTFT,就是,2.6,节讨论的离散信号的傅里叶变换。在,Matlab,中，可以利用,freqz,函数计算序列的,DTFT,在给定的离散频率点上的抽样值。,假设 可以表示为 ，则,freqz,函数有如下几种调用方式：,（,1,）,H,w,=,freqz(b,a,N,),其中，,b,和,a,分别表示,X(e,j,),的分子和分母多项式的系数向量。此函数在单位园上半部上等间隔地计算,N,个点处的频率响应，返回该系统的,N,点频率响应矢量,w,和,N,点复数频率响应矢量,H,。,如果,N,没有说明，则缺省值为512,。,（,2,）,H=,freqz(b,a,w,),它返回矢量,w,指定的那些频率点上的频率响应，频率范围在,0,到之间。,（,3,）,H=,freqz,(,b,a,F,Fs,),给定单位为,Hz,的抽样频率,Fs,，,返回矢量,F,指定的那些频率点上的复数频率响应，单位也是,Hz,。,（,4,）,H,w,=,freqz(b,a,N,whole,),在整个单位园上等间隔地计算,N,点频率响应，即频率的范围是,0,2,。,（,5,）,H,F=,freqz,(,b,a,N,Fs,),和,H,F=,freqz,(,b,a,N,whole,Fs,),给定抽样频率,Fs,，,单位为,Hz,；,返回单位为,Hz,的频率矢量,F,。,也可以利用,Matlab,提供的函数,abs,、,angle,、,real,、,image,等来计算,DTFT,的幅度（）、相位 以及实部和虚部。,例,2.22,已知因果系统,，试画出 的幅度响应 和相位响应 。,图,2.29,例,2.22,的系统的频率响应,1,z,变换与,z,反变换,（,1,）,函数,tf2zp,和,zp2tf,函数,tf2zp,和,zp2tf,可以进行系统函数的不同表示形式之间的转换。,假设 ，利用函数,z,p,k,=tf2zp(b,a),，,可以将,H(z,),转换成,零、极点的表示形式。,其中输入变量,b,、,a,分别是按,z,的降幂排列的分子、分母多项式的系数向量；输出变量,z,表示,H(z,),的零点，,p,表示,H(z,),的极点，,k,表示增益。,函数,b,a,=zp2tf(z,p,k),用来实现相反的过程。,（,1,）,函数,zplane,函数,zplane,可以用来画出,z,变换的零、极点图，该函数有以下两种调用方式：,zplane(zeros,poles,),，,其中,zeros,、,poles,分别为,z,变换的零点和极点；,zplane(b,a,),，,其中,b,、,a,分别为,z,变换中分子和分母多项式的系数向量，注意这里的多项式按照,z,的降幂排列。,例,2.23,已知离散系统的差分方程为,求其,z变换，画出零、极点示意图，并判断系统的稳定性。,解：,由差分方程可得,图,2.30,例,2.23,的系统的零极点示意图,由于系统的极点全部在单位圆内，所以系统是稳定的。,（,3,）函数,residuez,residuez,函数可以计算有理函数的留数和直接项（即多项式项），因此可以用来求,z,反变换。,设多项式为：,residuez,函数的调用有以下两种方式：,用语句,R,p,C,=,residuez(b,a,),可以求得的留数、极点和直接项，其中输入数据,b,、,a,分别是分子多项式和分母多项式的系数向量（这些多项式都按,z,的降幂排列），输出数据,R,包含着留数，,p,包含着极点，,C,包含着直接项。,语句,b,a,=,residuez(R,p,C,),有三个输入变量和两个输出变量，它把部分分式变成多项式的系数行向量,b,和,a,。,例,2.24,求,（）的,z,反变换。,解：,b=0,1;a=3,-4,1;,R,p,C,=,residuez(b,a,),%,b,a,=,residuez(R,p,C,),运行结果如下（留数、极点、直接项以及分子分母多项式的系数）：,R=0.5000 -0.5000,p=1.0000 0.3333,C=,a=-0.0000 0.3333,b=1.0000 -1.3333 0.3333,因此可以得到：,所以,z,反变换的结果为：,而由,a,、,b,可以得到,X(z,),原来的形式：,3,求解差分方程,Matlab,中用,filter,函数求解给定输入时差分方程的解，该函数调用形式为：,y=,filter(b,a,x,),其中,b=b,0,b,1,.,b,M,；,a=a,0,a,1,.,a,N,是差分方程的系数，而,x,则是输入序列数组。输出,y(n,),和输入,x(n,),的长度一样，这里必须保证系数,a,0,不为零。,例,2.25,离散系统的差分方程为,y(n,),y(n-1)+0.5y(n-2)=,x(n,),（,1,）,计算并画出冲激响应,h(n,),，,n=-10,50,。,（,2,）,由此,h(n,),确定系统是否稳定。,解：,图,2.31,例,2.25,的系统的冲激响应,b=1;a=1,-1,0.5;,%,求冲激响应,x=impseq(0,-10,50);n=-10:50;,h=,filter(b,a,x,);,stem(n,h,),axis(-10,50,-1,1.5),title(,Impulse,Response,);xlabel(,n,);ylabel(,h(n,),),%,求出冲激响应的和，以判断系统是否稳定,sum(abs(h,),ans,=3.3333,看出，的曲线逐渐趋于零，而 求得为,3.3333,，这意味着系统是稳定的,