二阶线性齐次方程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,/29,(second-order linear ordinary differential,equation(ODE,),第四节 二阶线性微分方程,一、二阶线性齐次微分方程解的结构,二、二阶常系数线性齐次微分方程,三、高阶常系数线性齐次微分方程,四、小结,五、作业,二阶,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,形如,线性,微分方程,n,阶线性微分方程,一、二阶线性齐次微分方程解的结构,定理,1,？,证,叠加原理,一定是通解,(1),解,1.,二阶齐次方程解的结构,齐次,二、线性微分方程的解的结构,线性无关,定义,线性相关,.,否则称,线性无关,.,如,线性相关,恒等式成立,如果存在,n,个不全为零的常数,使得当,x,在该区间内,那末称这,n,个函数在区间,I,内,为定义在区间,I,内的,n,个函数,.,特别地,如,定理,2,通解,求,只要求它的两个线性无关的特解,.,线性无关,的特解,那末,就是,(1),的,齐次,线性方程的通解,通解,.,事实上，由一个非零特解可以构造出另一个与之线性无关的特解！,详情,推论,是,n,阶齐次,线性方程,的,n,个线性无关的解,那么,此方程的通解为,其中,为任意常数,.,定理,2,可推广到,n,阶齐次线性方程，即,2.,二阶非齐次线性方程的解的结构,定理,3,的一个特解,为了求,非齐次线性方程的一个特解,和对应齐次线性方程,只要求得,:,的通解,.,非齐次,(2),非齐次,线性方程的通解,Y,是与,(2),对应的齐次方程,(1),的通解,是二阶非齐次线性微分方程,(2),的,通解,.,是二阶非齐次线性微分方程,事实上，也可通过常数变易法求出非奇次方程的通解！,详情,已知,的通解,.,又容易验证,是所给方程的一个特解,.,是非齐次方程的通解,.,如,是二阶非齐次线性方程,是对应齐次方程,解的叠加原理,定理,4,之和,的特解,那么,就是原方程的特解,.,定理,3,和,定理,4,也可推广到,n,阶非齐次线性方程,.,求解,解,的通解是,再考虑两个方程,分别是原方程的特解,.,所以原方程的通解为,例,解的叠加原理,将其代入方程,故有,特征根,二阶,设解,得,特征方程,常系数,齐次,线性方程,(characteristic equation),(characteristic root),其中,r,为待定常数,.,二、二阶常系数齐次线性方程解法,两个 特解,的通解的不同形式,.,有两个不相等的实根,特征根,r,的不同情况决定了方程,特征方程,常数,线性无关的,得齐次方程的通解为,设解,其中,r,为待定常数,.,有两个相等的实根,一特解为,化简得,设,取,则,知,得通解为,有一对共轭复根,为了得到实数形式的解,重新组合,的两个线性无关的解,.,得齐次方程的通解为,用欧拉,(Euler),公式,:,称为,由常系数齐次线性方程的特征方程的根,确定其通解的方法,特征方程法,.,例,解,特征方程,故所求通解为,特征根,解,特征方程,故所求通解为,例,特征根,解,特征方程,故所求通解为,例,特征根,例,解初值问题,解,特征方程,特征根,所以方程的通解为,(,二重根,),特解,特征方程,特征方程的根,通解中的对应项,若是,k,重根,r,若是,k,重共轭复根,三、,高阶,常系数齐次线性方程解法,注意,一个根都对应着通解中的一项,n,次代数方程有,n,个根,而特征方程的每,且每一项各,一个任意常数.,例,解,特征方程,故所求通解为,特征根,即,特征根,故所求通解,解,特征方程,例,对应的特解,线性相关与线性无关的概念,线性微分方程的概念,四、小结,线性微分方程解的结构,(3),根据特征根的不同情况,得到相应的通解,(1),写出相应的特征方程,(2),求出特征根,二阶常系数齐次线性方程,特征根的情况,通解的表达式,实根,实根,复根,求通解的步骤,:,思考题,都是微分方程,:,求此方程的,通解,.,的解,高阶线性微分方程,证,齐次,方程的特解,.,非齐次,线性方程的两个特解之差,是对应,结论,所以,非齐次,线性方程,则,是,齐次,方程的解,.,高阶线性微分方程,的解,原方程的通解为,或,或,因而,齐次,线性方程的通解,解,都是微分方程,:,求此方程的,通解,.,的解,线性无关,.,所以,高阶线性微分方程,五、作业,4,习题,降阶法与常数变易法,1.,齐次线性方程求线性无关特解,-,降阶法,代入,(1),式,得,则有,(1),解得,刘维尔公式,齐次方程通解为,降阶法,的一阶方程,返回,2.,非齐次线性方程通解求法,-,常数变易法,设对应齐次方程通解为,(3),设非齐次方程通解为,设,(4),(5),(4),(5),联立方程组,积分可得,非齐次方程通解为,解,对应齐方一特解为,由刘维尔公式,对应齐方通解为,例,设原方程的通解为,解得,原方程的通解为,返回,