高等代数【北大版】1.11.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.11,对称多项式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,4,最大公因式,5,因式分解,6,重因式,10,多元多项式,11,对称多项式,3,整除的概念,2,一元多项式,1,数域,7,多项式函数,9,有理系数多项式,8,复、实系数多项式,的因式分解,第一章 多项式,一、,一,元多项式根与系数的关系,二、,n,元对称多项式,1.11 对称多项式,三、一元多项式的判别式,韦达定理,设,若,在 上有 个根 ，则,把,展开，与,比较，即得根与系数的关系：,一、,一,元多项式根与系数的关系,（所有可能的,i,个不同的,的积之和）,，,特别地 ，,为其根，,则有,二、,n,元对称多项式,定义,设,，,若对任意 ，有,则称该多项式为,对称多项式,如，,下列,n,个多项式,称为,个未定元 的,初等对称多项式,1,对称多项式的和、积仍是对称多项式；,对称多项式的多项式仍为对称多项式,则,是 元对称多项式,特别地，初等对称多项式的多项式仍为对称多项式,若,为对称多项式，,为任一多项式，,性质,即，,2,对称多项式基本定理,对任一对称多项式,都有,n,元多项式,使得,为初等对称多项式,则必有,作对称多项式,设对称多项式,按字典排列法的,首项为,证明：,再作对称多项式,则,的首项为,则,有比 较“小”的首项,对,重复上述作法，并依此下去,.,即有一系列,对称多项式,它们的首项一个比一个“小”，所以必终此在有限步,故存在,，使,于是,这就是一个初等对称多项式的多项式,上述证明过程实际上是,逐步消去首项,.,逐步消去首项法的一般步骤：,则一定有,第一步,：,找出对称多项式,f,的首项,第二步,：,由,f,的首项写出,:,说明,确定它对应的指数组,第三步,：,作,，,并展开化简,如此反复进行，直到出现,，则,再对,按一,、二、三步骤进行，构造,例,1.,把多项式,f,表成初等对称多项式的多项式,令,的首项是,解,:,作对称多项式,它所对应的指数组是,它所对应的数组是,f,的首项是,令,作对称多项式,所以，,令,于是,对于,齐次对称多项式,还可以采用,待定系数法,(,设,f,是,m,次齐次对称多项式,),第一步,：根据对称多项式,f,首项对应的指数组写出,所有可能的指数组,，,且这些指数组满足：,前面的指数组先于后面的指数组,附：,待定系数法的一般步骤：,的初等对称多项式的方幂的乘积：,第二步,：对每个指数组 ，写出它对应,第三步,：设出,f,由所有初等对称多项式的方幂乘积,的线性表达式，其首项系数即为,f,的首项系数，,其余各项系数分别用,A,、,B,、,C,、,代替,第四步,：分组选取适当的 的值，计,算出,及,f,，,性,表达式中，得到关于,A,、,B,、,C,、,的线性方程组，,解这个线性方程组求得,A,、,B,、,C,、,的值,最后写出所求的,f,的表达式,将之代入第三步中设出的线,例,2,用待定系数法把,表成初等,对称,多项式的多项式,所有不先于,的三次指数组及相应的初等对称,解,:,它所对应的数组是,f,的首项是,多项式方幂的乘积如下表,:,指数组,相应的初等对称多项式方幂的乘积,这样，,f,可表成,(1),及,f,的值如下表,:,适当选取,的值，计算出,代入（,1,）式得,解之得 ，,所以,三、,一,元多项式的判别式,有特殊的重要性按对称多项式基本定理知，,对称多项式,D,可表成,由根与系数的关系知，,的多项式,是,(2),的根，则多项（,2,）有重根的充要条件是,正因为此，,称为多项式,(2),的,判别式,例,3,求,的判别式,解：,求,的判别式,练习,