1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,直线与椭圆的位置关系,椭圆的简单几何性质,怎么判断它们之间的位置关系？,问题,1,：直线与圆的位置关系有哪几种？,dr,d0,0,因为,所以，方程（）有两个根，,则原方程组有两组解,.,-(1),例题讲解,小结：椭圆与直线的位置关系及判断方法,判断方法,这是求解直线与二次曲线有关问题的,通法,。,0,（,1,）联立方程组,（,2,）消去一个未知数,（,3,）看,提出问题,：当直线与椭圆相交时，如何求被截的弦长？,例题讲解,例,1,、求直线,y=x-,被椭圆,x,2,+4y,2,=2,所截的弦长,|AB|.,
2、x,2,+4y,2,=2,解：联立方程组,消去,y,-(1),由韦达定理得,利用弦长公式求解：,1,、直线与圆相交的弦长,(,几何法）,A,（,x,1,y,1,）,小结：直线与二次曲线相交弦长的求法,d,r,2,、直线与其它二次曲线相交的弦长,（,1,）联立方程组,（,2,）消去一个未知数,（,3,）利用弦长公式,:,|AB|=,k,表示弦的,斜率,，,x,1,、,x,2,、,y,1,、,y,2,表示弦的,端点坐标,，一般由,韦达定理,求得,|x,1,-x,2,|,与,|y,1,-y,2,|,通法,B,（,x,2,y,2,）,=,设而不求,例,2,：在椭圆,x,2,+4y,2,=16,中，求通
3、过点,M,（,2,，,1,）,且被这一点平分的弦所在的直线方程,.,-2,-4,2,4,x,y,M(,2,1,),0,解一：（显然，只须求出这条直线的斜率即可）,如果弦所在的直线的斜率不存在，,即直线垂直于,x,轴，,则点,M,（,2,，,1,）显然不可能是这条弦的中点。故可设弦所在的直线方程为,y=k(x-2)+1,，,代入椭圆方程得,x,2,+4k(x-2)+1,2,=16,即得,(1+4k,2,)x,2,-(16k,2,-8k)x+16k,2,-16k-12=0,直线与椭圆有两个交点,故,=16(k,2,+4k+3)0,又,两式联立解得,k=,，直线方程为,x+2y-4=0,.,评：,.
4、本例在解题过程中，充分考虑了椭圆与直线相交有两个交点这一事实，由此得出,=16(k,2,+4k+3)0,，又利用了中点坐标，列出了方程，从而使问题得到解决,.,这种方法是常用的方法，大家务必掌握,.,但是，这种解法显得较繁,（特别是方程组,16(k2+4k+3)0,显得较繁）,解二,：设弦的两个端点分别为,P(x,1,y,1,),Q(x,2,y,2,),则,x,1,+x,2,=4,y,1,+y,2,=2,在,P(x,1,y,1,),Q(x,2,y,2,),椭圆上,故有,x,1,2,+4y,1,2,=16 x,2,2,+4y,2,2,=16,两式相减得,(x,1,+x,2,)(x,1,-x,2
5、)+4(y,1,+y,2,)(y,1,-y,2,)=0,点,M,（,2,，,1,）是,PQ,的中点,故,x,1,x,2,，,两边同除,(x,1,-x,2,),得,即,4+8k=0,k=,弦所在的直线方程为,y-1=,(x-2),即,x+2y-4=0,.,评：,.,本解法设了两个端点的坐标，而我们并没有真的求出它们，而是通过适当变形，得到了,从而揭示了弦所在的直线斜率,k,与弦中点坐标,(x,0,y,0,),之间在椭圆标准方程的前提下的关系：,mx,0,+ny,0,k=0.,显得很简便,.,.,但在解题过程中应注意考虑,x,1,x,2,的条件！如果有这种可能性，可采用讨论的方法，先给以解决,.
6、如果不可能有这种情况，则应先说明,例,2,：在椭圆,x,2,+4y,2,=16,中，求通过点,M,（,2,，,1,）,且被这一点平分的弦所在的直线方程,.,-2,-4,2,4,x,y,M(,2,1,),0,3,、弦中点问题的两种处理方法：,（,1,）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；,（,2,）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。,1,、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；,2,、弦长的计算方法：,（,1,）垂径定理：,|AB|=,（只适用于圆）,（,2,）弦长公式：,|,AB|=,=,（适用于任何曲线）,小 结,:,1,、,直线,l,：,y=2x+m,与椭圆 有公共点，求实数,m,的取值范围,。,作业：,2,：在椭圆,x,2,+4y,2,=16,中，求通过点,M,（,1,，,1,）,且被这一点平分的弦所在的直线方程,.,
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