第1章_(3)几何概率.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四讲 几何概率,早在概率论发展初期，人们就认识到，,只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的,.,请看演示,把等可能推广到无限个样本点场合,人们引入了,几何概型,.,由此形成了确定概率的另一方法,几何方法,.,几何概率,定义,:,设有一个可度量区域,S,（这个区域可以是,直线区域、平面区域或空间区域），,向,区域内任意掷一质点,M,，此点落于,S,内任,一位置是等可能的，且落在,S,内任何子区,域,A,上的可能性与,A,的度量（如长度，面,积，,）成正比，而与,A,的位置和形状,无关，,则这个试验称为几何概型试验；,并定义,M,落在,A,中的概率,P,（,A,）为：,1,样本空间无限,无限性；,2,每个样本点发生的可能性相同,等可能性。,特点：,请看演示,会面问题,例,1,（约会问题）甲、乙两人约定在,6,点到,7,点之间在,某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，,过时即可离去，求两人能会面的概率。,以,x,y,分别表示甲乙两人到达约会地点的时间，则,两人能够会面的充要条件是：,|x,y|15.,在平面,上建立直角坐标系，如图,则（,x,y,）的所有可能结果是边,长为,60,的正方形，图中阴影表示,可会面的时间。,设,A=,两人能会面，则,解：,0,15,15,60,60,y,x,y,x,15,x,y,15,例,2,甲、乙两人约定在下午,1,点到,2,点之间到某车站乘公,共汽车，这段时间内有,4,班公共汽车，发车时间分别,为,1,：,15,，,1,：,30,，,1,：,45,，,2,：,00,。如果规定见车就,上，求两个人乘同一辆公共汽车的概率。,设甲、乙到达车站的时间分别为,x,y,则,1x2,1y2,确定平面,S,，,如图正方形，设,A=,两人,乘同一辆公共汽车，则：,A,发生的充要条件是：,两人到达时间,x,y,在同一,发车区间，即阴影部分。,故,P,（,A,）,=4/16=1/4,。,0,1,1,2,2,y,x,1.5,1.5,解：,二,.,性质,:,3,若 互斥，则：,古典概率的其他性质对几何概率也同样成立。,1,对任意事件,A,，有,0P,（,A,）,1,；,2,P,（,S,）,=1,；,蒲丰投针试验,法国科学家蒲丰于,1777,年发现了随机投针的概率与圆周率,之间的关系，提供了早期学者们用随机试验求,值的范例,.,请看演示,第五讲 统计概率,下面我们从几个试验入手，揭示随机事件一个极其重要的特征：,频率稳定性,在充分多次试验中，事件的频率总在一个定值附近摆动，而且，试验次数越多，一般来说摆动越小,.,这个性质叫做频率的稳定性,.,频率稳定性,请看下面的试验,掷硬币试验,掷骰子试验,高尔顿钉板试验,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小,.,尽管每进行一连串（,n,次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要,n,相当大，频率与概率是会非常接近的,.,因此，,概率是可以通过频率来,“,测量,”,的,频率是概率的一个近似,.,频率,概率,统计概率是以事件的频率具有稳定性为基,础的，下面先介绍事件频率的概念。,频率定义：,设,A,为联系于某一试验的事件，将,试验在相同的条件下重复进行,n,次，,用,m,表示,A,出现的次数，则比值,m/n,称为事件,A,的相对频率，,记为,f,n,(A,),即,一般情况下：，只有当,n,充分大,时，频率才呈现出稳定性。,二,.,统计概率,:,在一组固定条件下，重复做,n,次试验，,如果当,n,增大时，事件,A,出现的频,率,f,n,(A,),围绕着某一个常数,p,摆动；而,且一般说来，随着,n,的增大，这种摆,动的幅度越来越小，则称常数,p,为事,件,A,的概率，即,P,（,A,）,=p,。,此定义适合于一切类型的试验,，,当,n,充分大时，频率作为概率的近似值，即,，足以满足实际需要。,例,1,用某种药物对患有胃溃疡的,512,个病人进,行治疗，结果,368,人有明显疗效，现有胃,溃疡病人预服此药，你能对其效果作何,估计？,有明显效果的频率为：，由统,计概率定义该患者服此药有明显效果的可,能性为,0.72,。,解：,定理：,事件频率具有如下性质：,1.,对任意事件,A,，有,2,3,若,为互不相容事件，,则：,古典概率的其他性质对统计概率也同样成立。,由概率是频率的数学抽象，可以推得统计概率,具有如下性质：,3.,若,互不相容，则,0P,（,A,）,1,；,2.P,（,S,）,=1,；,第六讲 概率的公理化定义,在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础,.,数学上所说的,“,公理,”,，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容,.,即,通过规定概率应具备的基本性质来定义概率,.,下面介绍用公理给出的概率定义,.,1933,年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的,公理化定义,.,柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦,.,概率的公理化定义,公理,2,P,(,S,)=1 ,规范性,(2),公理,3,若事件,A,1,A,2,互不相容，则有,(3),这里事件个数可以是有限或无限的,.,可列可加性或完全可加性,公理,1,P,(,A,),0,非负性,(1),设,E,是随机试验，,S,是它的样本空间，对于,S,中的每一个事件,A,，,赋予一个实数，记为,P,(,A,),，,称为事件,A,的概率，如果集合函数,P,(),满足下述三条公理,:,推论,1,：,证明：,推论,2,：,若 互不相容，则：,证明：,证明：,同理可证：,4.,推论,5,.,设,A,、,B,为任意俩事件，,则,P,（,A,B,）P,（,A,）,P,（,AB,）；,推论,6,.,(,一般概率加法公式,),对任意事件,A,、,B,有,P,（,AB,）,=P,（,A,）,+P,（,B,）,P,（,AB,）；,推论,3,：,0P,（,A,）,1,。,推广,:,P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C),P(AB),P(AC),P(BC)+P(ABC),；,即 古典概率的性质也是一般公理化概率的性质。,古典概率、几何概率、统计概率都是公理化概率,的特殊情况，而公理化概率是它们的数学抽象。,总结：,1.,了解几何概率、统计概率、概率的公,理化定义；,2.,会判定和计算几何概率。,例,1,设元件盒中装有,50,个电阻，,20,个电感，,30,个电容，从盒中任取,30,个元件，求所取元件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的概率,.,理解题意,用字母表示事件,电阻,50,个,电容,30,个,电感,20,个,.,导出所求事件概率,的计算公式,所求概率为,P,(,AB,),解,:,设,A,=,所取元件中至少有一电阻,B,=,所取元件中至少有一电感,代入数据计算,电阻,50,个,电容,30,个,电感,20,个,.,从盒中任取,30,个元件，求所取元件中至少有一个电阻同时至少有一个电感的概率,.,设,A,i,=,第,i,封信装入第,i,个信封,i,=1,2,3,A,=,没有一封信装对地址,某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，问没有一封信装对地址的概率是多少？,直接计算,P,(,A,),不易，我们先来计算,例,2,配,对,问,题,=,至少有一封信装对地址,则,代入计算 的公式中,应用加法公式,于是,推广到,n,封信,用类似的方法可得,:,把,n,封信随机地装入,n,个写好地,址的信封中,没有一封信配对的,概率为,:,