代数及其应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,代数及其应用,中国民用航空学院 理学院,陈尚弟,第1,章,Mathematica,软件 在代数中的应用,1.1,Mathematica,系统简介,1.2,Mathematica,在,线性代数中的应用,1.3,Mathematica,应用实例,1.1,Mathematica,系统简介,Mathematica,是由位于美国伊利诺州的伊利诺州大学香槟(,Champaign),分校附近的,Wolfram Research,公司开发的一套专门进行数学计算的软件。从1988年问世至今，已广泛地应用到工程、应用数学、计算机科学、财经、生物、药学、生命科学以及太空科学等领域，深受科学家、学生、教授、研究人员及工程师们的喜爱。数以万计的论文、科学报告、期刊杂志、图书资料、计算机绘图等都是,Mathematica,的杰作。,早在1995年发表的,Mathematica3.0,版，可谓数学计算机软件史上的一大创新，而1999年发表的,Mathematica4.0，,则达到了这类软件的顶峰。,Mathematica,除了提供数值处理与绘图的功能之外，还具有符号计算的能力，使您能够处理多项式的各种运算、函数的微分、积分、解微分方程、统计，甚至可以制作电脑动画及音效等等。,Mathematica,对计算机的要求不高，只要能运行,Office,系列软件便能够运行,Mathematica4.,建议您的计算机配置达到如下要求：,1.操作系统：,Windows95WindowsNT3.51,以上的版本,2.,CPU,处理器：,Intel、Cyrix,或,AMD586,级以上的中央处理器。,3.硬盘空间：除了具备120,MB,的硬盘空间用以安装,Mathematica,之外，还必须由60,MB,的剩余硬盘空间作为交换文件（,Swap files）,的存取空间。若进行较复杂的运算，则必须保证有100,MB,的剩余硬盘空间。,4.内存：至少32,MB。,建议64,MB,以上。,1.1.1,Mathematica,基本操作,本节,介绍,Mathematica,的基本操作。其中包括基本运算、,Manthmatica,的输入输出以及与操作界面的互动等。,基本运算,在,工作窗口中输入2+3，再按,Shift+Enter,组合键（先按住,Shift,键不放，再按,Enter,键）执行这个简单的运算，这时在工作窗口中会显示如下图所示的结果：,图中的,In1=,与,Out1,是,Mathematica,自动生成的，而,Inx,与,Outx,中的数字,x,表示的是本次计算是运行,Mathmatica,之后的第,x,次计算。输入算式时不能输入这些序号，否则系统将会提示错误信息。如果您的工作窗口中没有如上图所示的工具栏和标尺，可以在,Format,下拉菜单中分别单击,Show Ruler,和,Show Toolbar,显示它们。,注意：启动,Mathmatica,之后，进行第一次数学计算通常会占用较长的时间，因为这时,Mathmatica,正把计算的核心文件（,Kernel files）,加载到内存。第二次及以后的计算就会快得多。,Mathmatica,的,常用语法,基本运算,Mathematica,的基本运算包括加、减、乘、除与乘方等。可以按照一般数学表达式的书写格式输入这些基本运算。例如2+4、2-4、5/72、32等都符合,Mathematica,的语法标准（注意：,Mathematica,以号表示乘方运算）。,乘法的表示方法,在,Mathematica,中，乘法的表示方法比较特殊，除了用*号之外，还可以用空格表示乘法，这一点类似于习惯的手写格式。下面三种情况都是合法的乘法运算：,x*y x,y,x(y+1),|,|,乘号,在两个变量中间插入 变量与整个括号相乘,一个空格表示相乘,在,Mathematica,的语法中规定,x2,属于变量，而2,x,则表示数字2乘以变量,x，,注意：2与,x,之间没有空格，如果在2与,x,之间加上一个空格，仍然表示数字2乘以变量,x。,2x,表示2*,x,x2,表示变量,x2,x,2,表示,x*2,变量与乘法的区别,变量与函数的表示方法,习惯上在输入,Mathematica,的内部函数时第一个字母必须大写，变量必须用方括号括起来，而圆括号表示计算的优先级别。下图说明了变量与常数的使用规则。,变量通常用小写,函数中的变量必须用方括号括起来,|,x=Siny*(6+4w),|,圆括号具有较高的计算优先级,内部函数的第一个字母必须大写,变量可以时几个 常量的第一个字母大写,英文字母的组合,|,val,=Mod15.5,2Pi,|,若函数有两个以上的参数则参数之间用逗号隔开,1.1.2 数学表达式的输入,Mathmatica,提供了多种数学表达式的方法.除了用键盘输入外，还可以使用工具栏或者快捷输入运算符、矩阵或数学表达式。,数学表达式二维格式的输入,Mathematica,提供了两种格式的数学表达式。形如,x/(2+3x)+12/(2y-z+w),的称为一维格式，形如,的称为二维格式。,一维格式适用于简短的运算或仅提供纯文字的,DOS,界面的输入环境；,二维格式则适用于进行比较复杂的数学运算或,Windows,界面的输入环境。,矩阵的二维格式输入方法,输入二维格式的矩阵，步骤如下：,（1）单击,Input,下拉菜单中的,Create Table/Matrix/Palette,命令。,（2）在弹出的对话框中选择,Matrix,并输入行数与列数。,（3）单击,OK,按钮。,另外，也可以单击基本输入工具栏上的,按钮完成矩阵二维格式的输入。,如果修改矩阵，例如增加一行或一列，可以使用快捷键。快捷键及其功能列表如下：,功能,快捷键,增加一行,Ctr.,增加一列,Ctr.ENTER,跳过矩阵的输入,Ctr.SPACE,或方向键,Mathematica,的运算类型,Mathematica,的运算类型可以概况为,数值运算,（,numerial,calculation）,和,符号运算,（,symbolic calculation）,两种。数值运算可以再细分为,精确（,exact）,运算,与,近似,（,approximate）,运算,。整数与整数相加减以及分数的运算等等都属于精确运算，而含有小数点的运算则属于近似值运算（或浮点运算）。符号运算包括不定积分的求解函数的微分以及多项式的化简与分解等。,精确运算,通常把整数称为精确数（,exact number）,因为它不带任何小数。其它如,等数也属于精确数。如果数值运算的结果是精确数，则称这一运算为精确运算。精确数能够保持计算的精度，不会因小数的取舍而导致计算上的误差，因此在实际运算中，应当尽可能地用精确数表示运算结果。,近似运算,精确值固然可以保持计算的精度，而近似值（或称为浮点数）会让我们有大小的概念。,Sin(2),对大多数人而言只是个符号，但是若把它化成近似值,sin(2)=0.909297,则会让我们有量的概念。虽然,Mathematica,会尽可能精确数来保持计算的精度，但我们也可以用一些技巧强制,Mathematica,把计算结果转换成近似值。例如,计算2+1.4,In7=2+1.4/2,注：:计算结果是一个浮点数。,Out7,=2.7,计算32,2.3,In,8,:=3x2,2.3,运算结果也是一个浮点数。,Out,8,=14.7737,如果,sin,函数的自变量是一个浮点数，,Mathematica,会自动用近似值表示运算,In,9,=Sin,2.0,结果。,Out,9,=0.909297,浮点数乘以精确,sin(2)，,运算结果是,In,10,=3+2.2Sin,2,浮点数。,Out,10,=5.00045,这是一个精确运算。,In,11,=,Out,11,=,N,命令可以将精确值化成近似值。,注意，,Mathematica,默认的有效数字位,In,12,=N,数为6位。,Out,12,=4.55581,符号运算,数值运算只是,Mathematica,运算功能的一小部分，,Mathematica,的真正用武之地表现在它的符号运算能力上。本节将对,Mathematica,的符号运算作初步介绍，用来比较它与数值运算的不同。在后续的章节中，我们将会把学习的重心转到,Mathematica,的符号运算上。,计算,In,1,:=,我们注意到积分的结果是,Out,1,=,一个符号运算,式,而不是数,值运算式,-,alog,基本数学运算,有了,Mathematica,运算的基本概念之后，现在可以学习一些简单的数学运算。,Manthmatica,将数值分成了整数、实数（含有小数点的数，或称近似值或浮点数）和复数。分数可以看作是两个整数相除；整数的有效位数可以认为是无数位；而实数的有效位数则可以认为是有限的。,整数的运算,整数的基本运算命令（一）,Factorialn,或,n!,计算,n,的阶乘。,Modm,n,计算,m/n,的余数，其中,m,n,必须为整数,Quotientm,n,计算,m/n,的商，其中,m,n,必,须为整数,整数的基本运算命令（二）,FactorIntger,n,因数分解,GCDx,1,x,2,求最大公约数,LCMx,1,x,2,求最小公倍数Divisorsn,求所有可以整除,n,的整数,RandomInteger,m,n,随机产生,m,到,n,之间的整数，其中,m,n,为,Primen,求第,n,个质数（2为第一个质数）,PrimeQ,n,判断整数,n,是否为质数，若是，运算结果为,True,否则结果为,False.,分数与浮点数,如果,m,n,属于整数，则分数,m/n,属于精确值。如果要把精确值化成近似值或浮点数，只要把分母或分子中的任一项化成浮点数，,Mathmatica,就会自动用浮点数表示分式的运算结果。另外，还可以用,N,命令把精确值化成近似值。,Nnum,或,num/N,把精确数,num,化成浮点数（默认16位有效数字）,Nnum,n,把,num,化成具有,n,个有效数字的浮点数,NumberForm,num,n,以,n,个有效数字表示,num,虽然浮点数的默认的精确度位16位有效数字，但在大多数情况下，,为了节省输出空间，,Mathematica,只显示6位有效数字。,内部常数,Pi,常数,E,欧拉常数,Degree,角度转换成弧度的常数，,Degree=,/180,Infinity,常数,I,虚数,I,1.2,Mathematicazai,在线性代数中的应用,数组运算是,Mathematica,的强大功能之一，这个优点主要反映在矩阵的运算上，因为,Mathematica,的矩阵是由数组构成的。,Mathematica,不但可以完成基本向量与矩阵的运算，同时还可以处理矩阵的秩与零核空间，以及线性代数所包含的各种数学运算。,1.2.1 一维与多维数组,矩阵(,array),是数组的延伸。在,Mathmatica,中，向量(,Vector),是用一维数表示的，而矩阵(,matrix),则是数组的数组(,list of list,即二维数组)，但矩阵的各个次数组必须有相同的长度。,a,b,c,向量,ai,+,bj,+ck,a,b,c,d 22,矩阵,虽然数学上有行向量（,column vector）,和列向量（,row vector）,之分，但,Mathematica,都用一维的数组表示这两种向量。,这是一个向量,In1=a,b,c,Out1=a,b,c,MatrixFormne,能够以,In2=,MatrixForm,%,列的形式显示向量,Out2/,MtrixForm,=,这是一个24的矩阵,In3=7,6,4,1,2,6,12,3,out3=7,6,4,1,2,6,12,3,MatrixForm,能把矩阵显,In4=,MatrixForm,%,示成类似于手写的格式,Out4/,MtrixForm,=,Dimensions,可计算矩阵的维度,In5=Dimensions%,Out5=2,4,一维数组与向量,除了,Table,命令之外，,Mathematica,还提供了多个命令用以生成向量。下表了列出了与向量相关的命令及其格式,。,Tablef,i,n,用,f,生成包含,n,个元素的向量,Arraya,n,生成一个,a1,a2,an,的向量,Rangen,生成一个1,2,n,向量,Rangem,n,生成一个,m,m+1,n,的向量,Rangem,n,d,生成,m.m+d,n,的向量,Lengthlist,计算向量的长度,二维矩阵,有了向量的概念之后，理解矩阵就显得简单多了。向量只需1个标注便能存储所有的元素，而,n,维矩阵则需要,n,个标注。,Tablef,i,m,j,n,生成一个,mn,矩阵,Arraya,m,n,生成一个,a,mn,的矩阵,DiagonalMatrix,list,生成一个对角矩阵,IndentityMatrix,n,生成一个,nn,单位矩阵,Partlist,i,或,listi,提取矩阵的第,i,行,Partlist,i,j,或,listi,j,提取矩阵的第,i,行第,j,列元素,Dimensionslist,矩阵的阶数,另外，,Mathematica,也提供了把向量或矩阵输出成类似一般数学格式的命令，如下所示：,ColumnForm,list,将,list,输出成一列,TableForm,list,将,list,输出成表格,MatrixForm,list,将,list,输出成矩阵,1.2.2,向量运算,向量的基本运算,向量的点积和叉积可以用,Dot,与,Cross,命令运算。,Dotv,1,v,2,或,v,1,.v,2,计算向量,v,1,v,2,的点积,Crossv,1,v,2,计算向量,v,1,v,2,的叉积,虽然在数学上标量不能和向量相加，但,Mathematica,会把标量,k,看成,k,k.,k,再和向量相加。,向量的大小与夹角,Mathematica,没有直接提供用以计算范数与向量之间夹角的命令，但我们可以根据它们的数学表达式来定义它们。,向量,a,b,c,的范数为,向量,F,G,的夹角由下来公式来求得,向量的范数计算公式,In1=norm,vect,_:=,向量的夹角计算公式,In2=anglev1_,v2:=,1.2.3,矩阵的基本运算,Mathematica,提供了完整的矩阵运算命令，来协助处理矩阵的运算。,基本矩阵运算,常用的矩阵运算包括矩阵的加法、乘法、常数乘以矩阵、矩阵的转置与逆矩阵。,A_1+A_2,计算矩阵,A_1+A_2,c*M,常数,c,乘以矩阵,M,A_1A-2,两个矩阵相乘,An,对矩阵,A,的每个元素进行,n,次方运算,InverseA,求矩阵,A,的逆矩阵,TransposeA,求矩阵,A,的转置,MatrixPower,A,n,求矩阵,A,的,n,次方,MatrixExp,A,求矩阵,A,的幂，即,e,A,Tr,A,求矩阵,A,的迹，即对角线元素的和,当然，有些数学上的限制使得执行矩阵运算命令时会产生警告或错误信息。例如一个矩阵可能本身没有逆矩阵，而我们却对它进行,Invrse,运算,Mathematics,会提示错误信息。,另外，对一个行向量或列向量进行,Transpose,运算，,Mathematica,会提示错误信息。如果对1,n,或,n1,矩阵进行,Transpose,运算，则不会发生这类,问题。,a1,a2,an 1n,矩阵,a1,a2,an n,1,矩阵,矩阵元素的操作命令,Mathematica,还提供了一些命令用以删除矩阵的行或,列，或者将具有相同行数的矩阵组合成一个新的矩阵。,因为这些命令属于内部命令，,所以在调用它们之前须,先加载,LinearAlgebr,MatrixManipulation,函数库。,矩阵基本操作命令（一）,AppendColumns,m,1,m,2,以列方式合并矩阵,m,1,m,2,AppendRows,m,1,m,2,以行方式合并矩阵,m,1,m,2,BolckMatrix,blocks,将多个矩阵,blocks,重新组成一,个 新的矩阵,矩阵基本操作命令（二）,TakeColumns,m,n,提取矩阵,m,的前,n,列,TakeColumns,m,-n,提取矩阵,m,的倒数第,n,列,TakeColumns,m,n,1,n,2,提取矩阵,m,第,n,1,列到第,n,2,列,TakeRows,m,n,提取矩阵,m,的前,n,行,TakeRows,m,-n,提取矩阵,m,的倒数第,n,行,TakeRows,m,n,1,n,2,提取矩阵,m,第,n,1,行到第,n,2,行,SubMatrix,m,pos,dim,从,m,的,pos,位置开始，提取维,度为,dim,的子矩阵,1.2.4 矩阵初等行变换,所谓的基本行运算是指下面的三种运算方式：,(1)用一个非零的常数乘以矩阵的某一行.,(2)将矩阵的任意两行互换。,(3),将某一行乘以某个常数之后再与另一行相加。,用,Mathematica,进行初等行变换，需要四个命令,Agument,A,B,扩展矩阵,A:B,AddRow,A,r,1,r,2,m,将矩阵,A,的,r,1,行乘以,m,再与,A,的,r,2,行相加,MulRow,A,r,m,将矩阵,A,的第,r,列乘以,m,SwapRow,A,r,1,r,2,将矩阵,A,的第,r,1,行与第,r,2,行互换,用初等行变换既可解线性方程组，又可求矩阵的逆。,如果想快速求得矩阵,A,的简约行梯形矩阵，可用,RowReduce,命令。,RowReduce,A,将矩阵,A,化成简约行梯形矩阵,1.2.5,行列式,Det,A,计算矩阵,A,的行列式,Minors,计算,A,n,n,的子行列式，其中第,i,j,个元素元素是移去第,n-i+1,列与,n-j+1,行之后的行列式,.,MapReverse,MinorsA,0,1,同上，但第,i,j,个元,素是移去第,i,列与第,j,行所得行列式的值,代数余子式,c,ij,=(-1),i+j,MapReverse,Minorsm,0,1i,j,矩阵,A,的伴随矩阵：,Adjoint,A_:=TransposecofactorA,利用伴随矩阵可求得,A,的逆矩阵：,Adjoint,A/,Det,A/,MatrixForm,1.2.6,特征值与特征向量,Mathematica,所提供的,Eigenvalues,Eigenvectors,与,Eigensystem,命令可以方便地求出矩阵,A,的特征值与,特征向量。,Eigenvalues,A,求矩阵,A,的特征值,EigenvectorsA,求矩阵,A,的特征向量,Eigensystem,A,求出矩阵,A,的,特征值,特征向量,1.2.7,矩阵的秩与空间,若,A,为,mn,矩阵，则由,A,的列向量所形成的子空间,R,n,称为矩阵,A,的列空间，而由,A,的行向量所形成的子空间,R,m,称为矩阵,A,的,h,行空间，齐次线性方程组,AX=O,的解空间（,Solution space）,称为零核空间（,null space）.,另外，矩阵,A,的行空间与列空间共同的维度，称为矩阵,A,的秩（,rank）,而,A,的零核空间的维度称为零核维度（,nullity）,矩阵的维度定理告诉我们。若,A,为一个含有,n,列的矩阵，则有,rank(A)+nullity(A)=n,Mathematica,提供了,Nullspace,命令用以计算零核空间。矩阵的秩与零核维度等的计算可根据它们的数学定义进行求解。,NullSpace,A,计算矩阵,A,的零核空间,Length,NullSpace,A,计算矩阵,A,的零核维度,定义计算,rank,的函数为：,in1=RankA_:=Length,DeleteCases,A,Table0,LengthPartA,1,另外，,Rank,命令也可求出矩阵,A,的秩。,in2:=RankA,定义计算矩阵零核维度的函数为：,in3=NullityA_:=Length,NullSpace,A,1.2.8,解线性方程组,Mathematica,提供了两种解线性方程组的命令，即,Solve,和,LinearSolve,.,Solve,eqn,x,解方程式，求变量,x,的解,Solveeqn,1,eqn,2,x,y,z,解方程组，求变量,x,y,z,的解,LinearSolve,m,b,求满足矩阵方程,mx,=b,的向,量,x.,如果方程个数少于变量的个数，则会出现警告信息，但仍然能得到一个解（含有自由未知量）。,当方程的个数多于要求解的变量个数，并且所有的方程式都线性独立时，,Mathematica,会输出一个空集（无解）。,Mathematica,会判断方程组是线性独立还是线性相关，然后输出一个正确的解。,