1、二、函数的间断点,一、函数连续性的定义,第八节,函数的连续性与间断点,第一章,1,可见,函数,在点,一、函数连续性的定义,定义,:,在,的,某邻域内有定义,则称,函数,(1),在点,即,(2),极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件,:,存在,;,且,有定义,存在,;,第一章第八节,2,continue,若,在,某区间上每一点都连续,则称它在该,区间上,连续,或称它为该,区间上的,连续函数,.,例如,在,上,连续,.,(,有理整函数,),又如,有理分式函数,在其,定义域内连续,.,在,闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,3,对自变量的增量,有,函数的增量,左连续,右连续,当,时
2、有,函数,在点,连续有下列,等价命题,:,4,例,.,证明函数,在,内,连续,.,证,:,即,这,说明,在,内,连续,.,同样可证,:,函数,在,内,连续,.,5,在,在,二、函数的间断点,(1),函数,(2),函数,不,存在,;,(3),函数,存在,但,不连续,:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一,函数,f,(,x,),在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为,间断点,.,在,无定义,;,6,间断点分类,:,第一类间断点,:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点,:,及,中至少一个不存在,称,若,其中有一个为振荡,称,若,其中有一个为,为,可去间断点,.,为,跳
3、跃间断点,.,为,无穷间断点,.,为,振荡间断点,.,7,为其,无穷间断点,.,为其,振荡间断点,.,为,可去间断点,.,例如,:,8,显然,为其,可去间断点,.,(4),(5),为,其跳跃间断点,.,9,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,在点,连续的等价形式,10,思考与练习,1.,讨论函数,x,=2,是第二类无穷间断点,.,间断点的类型,.,2.,设,时,提示,:,3.P64,题,2,P65,题,5,为,连续函数,.,答案,:,x,=1,是第一类可去间断点,11,P65,题,5,提示,:,作业,P64 3;4,12,备用题,确定函数,间断点的类型,.,解,:,间断点,为,无穷间断点,;,故,为,跳跃间断点,.,13,
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