D2_5微分.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二、微分运算法则,三、微分在近似计算中的应用,四、微分在估计误差中的应用,第五节,一、微分的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数的微分,第二章,一、微分的概念,引例:,一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为,x,面积为,A,则,面积的增量为,关于,x,的,线性主部,高阶无穷小,时为,故,称为函数在 的微分,当,x,在,取,得增量,时,变到,边长由,其,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的,微分,定义:,若函数,在点 的增量可表示为,(,A,为不依赖于,x,的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理:,函数,在点 可微的,充要条件,是,即,在点,可,微,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理:,函数,证:,“必要性”,已知,在点 可微,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的,充要条件,是,在点 处可导,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理:,函数,在点 可微的,充要条件,是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,微分的几何意义,当 很小时,则有,从而,导数也叫作,微商,切线纵坐标的增量,自变量的微分,记作,记,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,基本初等函数的微分公式,(见,P115,表),又如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、微分运算法则,设,u,(,x,),v,(,x,),均可微,则,(,C,为常数),分别可微,的微分为,微分形式不变,5.复合函数的微分,则复合函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,设,求,解:,利用一阶微分形式不变性,有,例3.,在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明:,上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意 目录 上页 下页 返回 结束,注意:数学中的反问题往往出现多值性.,数学中的反问题往往出现多值性,例如,注意 目录 上页 下页 返回 结束,三、微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别当,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的近似值.,解:,设,取,则,例4.,求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的近似值.,解:,例5.,计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,有一批半径为1,cm,的球,为了提高球面的光洁度,解:,已知球体体积为,镀铜体积为,V,在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,(,g),用铜多少克估计一下,每只球需,要镀上一层铜,厚度定为 0.01,cm,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、微分在估计误差中的应用,某量的精确值为,A,其近似值为,a,称为,a,的,绝对误差,称为,a,的,相对误差,若,称为测量,A,的,绝对误差限,称为测量,A,的,相对误差限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,误差传递公式:,已知测量误差限为,按公式,计算,y,值时的误差,故,y,的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得,x,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.,设测得圆钢截面的直径,测量,D,的,绝对误差限,欲利用公式,圆钢截面积,解:,计算,A,的,绝对误差限约为,A,的,相对误差限约为,试估计面积的误差.,计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(,mm,),内容小结,1.微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2.微分运算法则,微分形式不变性:,(,u,是自变量或中间变量),3.微分的应用,近似计算,估计误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1.设函数,的图形如下,试在图中标出的点,处的,及,并说明其正负.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5.,设,由,方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,6.设,且,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,P122 1;,3,(4),(7),(8),(9),(10),;,4;5;8,(1);,9,(2),;,12,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,1.,已知,求,解,：,因为,所以,备用题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方程两边求微分,得,已知,求,解,：,2.,习题课 目录 上页 下页 返回 结束,