线性代数4.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性代数 第四章 向量组的线性相关性,教学目的,理解齐次线性方程组的基础解系的概念与求法。掌握非齐次线性方程组通解的结构。掌握向量空间的基的概念与求法,作业,重点,基础解系及其求法、向量空间的基,练习册,P37,40,第,13,题,至,第,19,题，,期中交：,P37,40,难点,方程组解的结构,讲授方法,媒体与投影,讲授内容主线,齐次解的基础解系概念基础解系求法举例非齐次通解的求法向量空间的封闭与生成性基与坐标向量内积与长度。,内容概括,齐次方程组的基础解系由,n-r,个无关解向量组成，非齐次是齐次解加特解，向量组生成具有封闭线性运算的向量空间。向量内积实际上是矩阵运算，由施瓦茨不等式引出长度与正交。,班级：,时间：年 月 日；星期,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,1,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,本次课讲第四章第四节第五节，方程组解的结构与向量空间，,下次课讲第五章第一二节，,下次上课时交作业,P37,P40,2,二、齐次线性方程组解的结构：,1.,复习齐次线性方程组解的秩的判定定理,2.,解向量的概念,设有齐次线性方程组,（1）设,A,=,x,=,则（1）式可写成向量方程,Ax,=0,（2）,称为方程组（1）的解向量，,它也是向量方程（2）的解.,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,3,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,2.,解向量的性质,性质1,若,为,齐次方程组,的解,，,则 也是,相应齐次方程组,的解.,证,性质2,若,为,齐次方程组,的解,，,k,为实数，则,k,也是,相应齐次线性方程组,的解.,证：,3.,AX,=0,的基础解系,4,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,4.,求,AX,=0,的基础解系,AX,0,的通解：,事实上，上一章我们已经学会了用矩阵的秩求线性方程组通解的方法：假定,AX,=0,A,的秩为,R(A)=r,求解步骤如下,5,化,A,为行最简形矩阵,为,与,A,对应的方程组的同解方程组为,令自由未知数,则：,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,6,第十讲 向量组的秩与方程组解的结构,7,巧得很，,AX=0,的通解正好是,n-r,个解向量的线性组合，如果这,n-r,个解向量就是解集的最大无关组，我们就等于找到了,AX=0,的基础解系。事实上，我们有如下定理：,（,2,）定理：设,n,元齐次方程组,AX=0,的系数矩阵的秩,R(A)=r,解集（解向量组）为,S,则,R(S)=,n-r,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,8,定理：设,n,元齐次方程组,AX=0,的系数矩阵的秩,R(A)=r,解集（解向量组）为,S,则,R(S)=,n-r,证：,第一步：和以前一样，将系数矩阵化成行最简形：,第二步：仍然是写出与,A,对应的齐次线性方程组的同解方程组,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,9,代入同解方程组依次可得：,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,10,第四步：整理得出齐次线性方程组的一组解向量,:,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,11,该定理的论证说明了两点：,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,12,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,13,4.,齐次线性方程组的求解结论：,根据以上齐次线性方程组的通解求解过程和定理及其推论，我们可以得到如下结论：,（,4,）由此还可以推断：齐次线性方程组的基础解系不是,唯一的.齐次线性方程组的通解形式也是不唯一的.,（,3,）齐次线性方程组(1)的任何,n-r,个线性无关的解向量都,可作为它的基础解系,.,（,1,）当,R,(,A,),=n,时,齐次线性方程组,(1),只有零解,无基础解系,;,（,2,）当,R,(,A,),n,时,齐次线性方程组,(1),的基础解系含有,n r,个解向量,.,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,14,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,15,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,16,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,17,（二）非齐次线性方程组的通解,1.,非齐次线性方程组的解向量的性质,设有非齐次线性方程组,（4）,它也可写作向量方程,（5）,性质3,的齐次线性方程组,的解.,（6）,设,及,都是,（5）,的解,，,则,为对应第十一讲：方程组解的解构与向量空间,18,证,所以,满足方程（6）.,证,即 满足方程（5）.,性质4,设 是方程（5）的解，是方程（6）的解，,仍是方程（5）的解.,则,称上式为非齐次方程组,AX=b,的通解,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,19,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,20,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,21,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,22,二、向量组概念的拓展,空间的概念,封闭：,设,V,是一个集合，,若,V,则,V,；,V,则称,V,对于加法及数乘运算是,封闭,的.,定义,1,：,设,V,为,n,维非空 向量集合，,及乘数两种运算封闭，,且集合,V,对于加法,则称集合,V,为,向量空间,.,1.,向量空间的定义,定义,2,设有向量空间,V,1,及,V,2,，,若,V,1,V,2,，,就称,V,1,是,V,2,的,子空间,.,例,1:,齐次线性方程组的解集,是一个向量空间,.(,解空间,),第十一讲：方程组解的解构与向量空间,23,例,2:,非齐次线性方程组的解集,不是向量空间,当 解集,S,为空集时,不是向量空间,;,当 解集,S,非空时,也不是向量空间,.,结论：等价的向量组所生成的向量空间相同。,证：,设,V,1,则 可由 线性表示，,例,3:,设向量组 与向量组 等价，,记,试证,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,24,又,可由 线性表示，,则 可由 线性表示，,所以,即若,V,1,则,V,2,所以,V,1,V,2,；,同理可证：,若,V,2,则,V,1,，,所以,V,2,V,1,.,V,1,=,V,2,.,2.,向量空间的最大无关组,基的概念,（,1,）基的定义,设,V,为向量空间，如果,r,个向量 ,V,满足,（,i）,线性无关,；,（,ii,）,V,中,任 一,向量都由 线性表示，,那么，向量组 称为,向量空间,V,的一个基,r,称为向量空间,V,的,维数,，,并称,V,为,r,维向量空间,.,特别地：,如果向量空间,V,没有基,则,V,的维数为0。,0 维向量空间只含一个零向量 0.,（,2,）结论,1,：,任何n,个线性无关的,n,维向量都是向量空间,R,n,的一个基，由此可知,R,n,的维数为,n,.,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,25,分析：因为任意,n,1,个,n,维向量线性相关，所以按照线性相关的线性表示定理，任意一个无关向量以外的,n,维向量都能由这,n,个线性无关的,n,维向量线性表示。显然，,n,个无关向量可自身表示，故以上结论成立。,（,4,）向量由基线性表示的系数,坐标,数组 称为向量,b,在基 中的,坐标,.,（,3,）过渡矩阵概念：,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,26,例,4:,设,验证 是,R,3,的一个基，并求,在这个基中的坐标.,解,因,R(A)=3,，,故 为,R,3,的一个基，,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,27,且,第十一讲：方程组解的解构与向量空间,28,