数学建模2-1.ppt

基础数学模型,第,2,章,数学建模选讲,第,2,章,基础数学模型,2.1,概率模型,2.2,几个简单的高等数学问题,2.3,万有引力定律与三个宇宙速度,2.4,规划模型,2.5,经济数学模型,2.6,生物种群增长的数学模型,2.1,概率模型,排列的直接原型是人员或者事物的排队。这里所讲的排队不带有歧视性。在排队过程中，所有的元素（个体）机会均等。,例,1,要把,A,、,B,、,C,三个人排成一队，有几种排法？,一全排列,排,法,1,ABC,2,ACB,3,BAC,4,BCA,5,CAB,6,CBA,三人排队总共有,种不同的排法,。,四人排队，排头可以选定为这四人中的任何人。不论选定了谁站在排头接下来的安排就变成了三人排队的问题。所以，共有,种不同的排法,。,人排队可以转化成,个,人排队问题，故,全排列数为,2.1.1,排列和组合,种不同的排法，黄组都有 种不同的排法与之对应,。,列前，黄组（人）排在后面，有几种排法？,例,2,把 个人分成红、黄两组并且排成一列，规定红组（人）,二选排列,前面 个人（红组）的排法共有 种，对于红组的每一,因此，在这样限制条件之下的排法总数为共有,实际上，如果将红组的人规定在其它的 个位置，排法的总数也与此相同,。,像这样限定部分人排在规定部位的排列称为选排列，排列计算公式为,排法的总数为 。,例,3,某个部门有把 个成员，因工作需要准备派 人外出。试问共有几种不同的选择。,三组合,如果将所有成员排成一列，排在前 个位置的人为外出者，则,由于外出的人之间可以忽略次序，留下的人也忽略次序。因此，分组的方案显然远不及这个排列数。方案总数可以表示为,这刚好是全排列和选排列之商。,一般是认为两种结果出现的机会均等，就是说两种结果出现的可能性各占一半，各自的概率都,是 。,有些时候，人们并不能完全确定某个事件是否会出现，常常需要对事件发生的可能性做出判断。概率理论最初所涉及的就是这样的问题。,如果任意向上抛起一枚硬币，让它自由落地，事先并不敢肯定当它落地后会是“正面向上”还是“反面向上”。,2.1.2,古典概率,如果用,和,分别代表两种不同的结果，用,和,代表两个结果出现的概率（可能性）。应该有,，,。,发生的概率就是,发生。则事件,个等可能性的不同结果，其中 种情况,改为先后上抛两枚硬币的话，请问两枚硬币落下后同是正面或者反面的概率有多大？,其中分母表示一共有种可能的结果，分子表示共有种结果符合要求。,显然，共有四种可能发生的结果：,正,正，,正,反，,反,正，,反,反。,“正反面相同”的概率应该是,.,如果做某项试验共有,都会导致某种事件,这就是古典概率的计算公式。,必然会发生事件的概率认为是,1,，这与人们常说“百分之百会如此”的习惯相一致，因为,例,4,某人连续投掷同一枚硬币。假定每次正面向上与反面向上的概率相同。试问：（,1,事件 连续两次都是正面向上的概率是多少？（,2,）事件 第一次正面向上、第二次反面向上的概率是多少？（,3,）事件 两次投掷正反面相同的概率有多大？（,4,）事件 连续,10,次都是正面向上的概率是多少？,；不可能会发生的事件称其概率为。,更多事件的概率都是介于和之间的正数。,假定小偷一次行窃得逞的可能性为,90,他连续,10,次作案均得逞的概率是多少,?,由于不计较四张牌的抽取顺序，取法的总数应该是,54,取,4,的组合数,例,5,从一副共,54,张的扑克牌中任意抽取,4,张，这四张牌都是,A,的概率有多大？,符合要求的结果只有一个，所以发生事件,A,的概率应该是,大约为一亿分之六。,这里并不计较四张牌的抽取顺序，取法的总数应该是,54,取,13,的组合数,例,6,从一副共,52,张扑克牌（四种花色各,13,张，不包括大王和小王）中任意抽取,13,张，其中有四张牌是,A,的概率有多大？,符合要求的结果个数为,例,7,据说意大利医生兼数学家卡当有赌博嗜好。他曾曾参加过这样的一种赌博：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。已知骰子的六个面上分别为,1,6,点，那么，赌注下在多少点上最有利？,两个骰子朝上的面共有,36,种可能,骰,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,7,2,3,4,5,6,7,8,3,4,5,6,7,8,9,4,5,6,7,8,9,105,6,7,8,9,10,11,6,7,8,9,10,11,12,7,是最容易出现的和数，它出现的概率是,所以，卡当预言说押,7,最好，因为出现,7,点的概率最大。,前三种结果之一发生，梅尔将会赢得全部的,12,枚金币；梅尔赢得,全部的,12,枚金币的概率是 赢钱的期望值为 。,例,8,在,17,世纪的某一天，一位名叫保罗的人与赌徒梅尔赌钱。他们事先每人拿出,6,枚金币，然后掷骰子，约定谁先胜三局便赢得,12,枚金币。比赛开始后，保罗胜了一局，梅尔胜了两局。这时因为发生其它意外的事情中断了他们的赌博。在商量着,12,枚金币如何分配的时候两人发生了分歧。保罗认为，根据已经比赛的胜出局数，他应该拿走三分之一的金币,4,枚，梅尔应该得余下的,8,枚。但是，梅尔对此并不认同，他觉得自己获胜的可能性大，应该得到比,8,枚更多的金币。,他们先后请求数学家帕斯卡和费尔马帮助裁决。两位数学家的结论可以说是不谋而合，认为保罗应得,3,枚金币，梅尔应得,9,枚金币。具体理由如下。,如果能够继续进行两句的较量的话，则胜负自明。现在假定余下两局胜负机会均等，则这两句的胜负共有四种可能的结果：,（梅尔胜，梅尔胜），（梅尔胜，保罗胜），,（保罗胜，梅尔胜），（保罗胜，保罗胜）。,名同学每个人在,365,天中任何一天出生的机会均等，不同状况的总个数为,例,9,设一个班级共有 名同学。如果每个人生日在一年,365,天中每一天的可能性是均等的。这 名同学的生日各不相同的概率是多少？,满足要求的基本事件个数为,事件发生的概率为,35,人的班级有人生日相同的概率是,有些试验的可能结果有无限多个，一旦用不同的数来代表每个可能的结果，就可以认为是某个所谓“随机变量”可以取无限多个数值。在数轴上或者在坐标平面上研究随机变量，概率的问题就专化成了几何问题。,2.1.2,几何概型,例,10,假设在,10000,平方公里的海域内有一块面积为,100,平方公里的大陆架蕴藏着石油。如果任选一点钻探，钻到石油的概率是多少？,出油的概率应该等于面积之比，就是,这是一个原本就与面积相关的问题，概率值等于面积之比应该说并不奇怪。例,11,有两个人相约在,9,点钟到,10,点钟之间在某咖啡厅见面。不过不曾作更精确的时间规定，只约定先到者等候,20,分钟离去。试求两人会面的概率。,问题集中在,60,分钟的时间间隔内。设两人到达的时刻分别为,则两人到达时刻组成一个数组,，它对应着平面区域,60,，,0,60,无论谁先到都停留,20,分钟，这告诉我们只要,20,，,两人就能见面,。,20,20,，,O,D,20,20,60,60,例,12,（蒲丰投针问题）这是法国数学家蒲丰在,1777,年提出的一个著名概率问题。平面上画着若干间距均为 的平行线，将一枚长度为 的针任意投放在平面内，试计算针与某直线相交的概率。,O,D,问题简化成下图，针的端点到直线距离成为问题的关键。,返回,