高数8-4,5.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节：复合函数微分法,y,u,x,问题：,如何求,z,u,v,x,定理,1,：设,z=f,(,u,v,),具有连续偏导数，,u=,(,x,),v=,(,x,),在,x,处可导，则复合函数,z=f,(,x,),(,x,),在,x,处可导，且,1,、中间变量均为一元函数的情形,由可微性,由,P,15,页定理,2,的证明,其中当,两边令,x,0,有,证明：当,x,有一个增量,x,时，有,z,v,x,u,（,1,）注意公式中,（,2,）公式可推广到二元以上的多元函数中去,全,导数,例,1,：,设,求,解：,z,y,x,t,z,u,v,x,y,定理,2,：,设,u,=,(,x,y,),v,=,(,x,y,),在点,(,x,y,),偏,导数存在，,z=f,(,u,v,),在对应的点,(,u,v,),处,具有连续,偏导数，则复合函数,z=f,(,x,y,),(,x,y,),在点,的两个,(,x,y,),的偏导数都存在，且,2,、中间变量均为多元函数的情形,例,2,：,求 的偏导数,.,解：令,则有,z,u,v,x,y,例,2,：,求 的偏导数,.,解：令,则有,z,u,v,x,y,3,、中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形,z,x,u,v,y,这是情形（,2,）中的特例，相当于,v,与,x,无关，,情形,3,的几种特殊情形,（,1,）设,z=f,(,u,x,y,),u,=,(,x,y,),z,u,y,x,x,y,看作自变量,看作中间变量,3,、中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形,两者的区别,区别类似,其中,z,u,y,x,x,y,（,2,）设,z=f,(,x,y,),y,=,(,x,),z,x,y,x,看作自变量,看作中间变量,或,写成,（,3,）设,z=f,(,u,),u,=,(,x,y,),z,x,y,u,例,3,：,设,求,解：,z,y,x,x,例,4,：,设,求,解：,z,x,y,u,x,y,u,x,y,u,例,5,：,设,z=x y,+u,u=,(,x,y,),求,解：,z,xy,u,令,v=x y,则,v,例,6,：,设 为可微函数，求证,证明：,要,证明等式,证明：,所以,/,要,证明等式,解,令,记,同理有,y,x,u,v,z,w,解,令,y,x,u,v,z,w,y,x,u,v,z,解,令,于是,链式法则,（分三种情况）,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,多元复合函数的求导法则,1,、中间变量均为一元函数的情形,2,、中间变量均为多元函数的情形,3,、中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形,二、全微分形式不变性,一元,函数全微分的不变性,？,全微分形式不变性的实质,无论变量,z,是作为自变量,u,v,的函数，还是作为,中间变量,u,v,的函数，它的全微分的形式是不变的,在,计算全微分时不必区分变量的特征,.,1,、链式法则,（分三种情况）,2,、全微分形式不变性,（特别要注意课中所讲的特殊情况）,（理解其实质）,三、小结,作业,第五节 隐函数微分法,（一）一个方程的情形,所,确定的,y,是,x,的隐函数,y,=,f,(,x,),如何求,例如：,两边对,x,求导,（,1,）由方程,下面给出用偏导数来 求导数的公式：,将,y,=,f,(,x,),代入方程得：,隐函数的求导公式,问题：,如何给出 的计算公式？,解,令,则,解,令,则,例,2,：设,解：,求,例,2,：设,解：,求,（,2,）,由方程,所,确定的二元函数,z,=,f,(,x,y,),求隐,函数存在定理,2,：设函数,F,(,x,y,z,),在点,的某一邻域内有,连续偏导数，,则,方程,F,(,x,y,z,),=,0,在点,的某一,邻域内恒能,唯一确定一个连续且具有连续偏导数的,函数,z=f,(,x,y,),它满足条件,并有,解,令,则,思路：,解：,令,则,（,1,）解出,d z,得,两边微分得,所以,解：,令,则,（,2,）解出,d x,得,两边微分得,所以,解：,令,则,（,3,）解出,d y,得,两边微分得,所以,（,1,）设,课堂练习,（,1,）设,解：令,解：方程两边同时取全微分得,整理得,所以,由,全微分的不变性有,作业,例,5,已知,确定,z,=,z,(,xy,),，,解：令,二、方程组的情形,由,方程组,在一定条件下确定两个二元隐函数,问题：,如何求偏导数,将,方程两边对,x,求偏导,解,得：,同理可求得：,则,方程组,它们满足,并有,说明：,定理的叙述及计算公式都比较麻烦，实际,计算中一般不套公式，而用推倒公式的方法。,解：,运用公式推导的方法，,将所给方程的两边对 求导并移项,解：,运用公式推导的方法，,将所给方程的两边对 求导，用同样方法得,例,7,：设,解：将方程两边去微分得,求,整理得,解得,例,7,：设,解：将方程两边去微分得,求,（分以下几种情况）,隐函数的求导法则,三、小结,（,2,）,已知,确定,z,=,z,(,x,y,),，,解：令,课外补充练习,一、求下列各极限,二、证明极限,课外补充练习题解答,解：,在,(1,0),处连续，所以,解：,解：,二、证明极限,证明：,考虑点,(,x,y,),以下面两种方式趋于原点,（,1,）,沿,x,轴趋于原点,(0,0),此时有,y,=0,（,2,）,沿,y,轴趋于原点,(0,0),此时有,x,=0,所以原极限不存在。,全微分内容小结：,如果函数的增量,可表成,其中,则记,所以,并且,或,