第七节常系数线性微分方程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七节 常系数线性微分方程,二阶常系数齐线性方程,二阶常系数非齐线性方程,特征方程,特征根,一、二阶常系数齐次线性微分方程,形如,的,方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，,即,特征方程,二阶常系数齐线性微分方程,的,特征方程为,是,方程,(1),的两个线性无关的解，故方程,(1),的通解为,二阶常系数齐线性微分方程,的,特征方程为,由,求根公式,由刘维尔公式求另一个解：,于是，当特征方程有重实根时，方程,(1),的通解为,二阶常系数齐线性微分方程,的,特征方程为,3),特征方程有一对共轭复根：,是,方程,(1),的两个线性无关的解，其通解为,利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位,i,。,欧拉公式：,由,线性方程解的性质：,均为方程,(1),的解，且它们是线性无关的：,故当特征方程有一对共轭复根,时，原方程的通解可表示为,二阶常系数齐线性微分方程,特征方程,特 征 根,通 解 形 式,例,1,解,例,2,解,例,3,解,故,所求特解为,例,4,解,此时弹簧仅受到弹性恢复力,f,的作用。求反映此弹,突然放手，,开始拉长，,簧,运动的规律（设其弹性系数为,k,）。,例,4,解,此时弹簧仅受到弹性恢复力,f,的作用。求反映此弹,突然放手，,开始拉长，,簧,运动的规律（设其弹性系数为,k,）。,取,x,轴如如图所示。,由,力学的虎克定理，有,（恢复力与运动方向相反）,由,牛顿第二定律，得,它能正确描述我们的问题吗？,记,拉长后，突然放手的时刻为,我们要找的规律是下列初值问题的解：,从而，所求运动规律为,简谐振动,解,:,由上节,知,位移满足微分方程为前述,质量为,m,的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始,求物体的运动规律,立坐标系如图,设,t,=0,时,物体的位置为,取其,平衡位置为原点建,因此定解问题为,自由振动方程,例,5,方程,:,特征方程,:,特征根,:,利用初始条件得,:,故所求特解,:,方程通解,:,1),无阻尼自由振动情况,(,n,=0,),解的特征,:,简谐振动,A,:,振幅,:,初相,周期,:,固有频率,(,仅由系统特性确定,),方程,:,特征方程,:,特征根,:,小阻尼,:,n,k,临界阻尼,:,n,=,k,解的,特征,解的,特征,解的,特征,n,阶常系数齐线性微分方程,形如,的,方程，称为,n,阶常系数齐线性微分方程，,n,阶常系数齐线性微分方程的特征方程为,特 征 根,通 解 中 的 对 应 项,例,6,解,例,7,解,在,研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程,试求此,方程的通解。,二、二阶常系数非齐线性微分方程,形如,的,方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，,它对应的齐方程为,我们只讨论函数,f,(,x,),的几种简单情形下，,(2),的特解。,方程,(2),对应的齐方程,(1),的特征方程及特征根为,单根,二重根,一对共轭复根,你认为方程应该有什么样子的特解？,假设方程,有,下列形式的特解：,则,代入方程,(2),，得,即,方程,(3),的系数与方程,(2),的特征根有关。,由,方程,(3),及多项式求导的特点可知，应有,方程,(2),有下列形式的特解,:,由,多项式求导的特点可知，应有,方程,(2),有下列形式的特解,:,由,多项式求导的特点可知，应有,方程,(2),有下列形式的特解,:,定理,1,当,二阶常系数非齐线性方程,它有下列形式的特解：,其中：,例,8,解,对应的齐方程的特征方程为,特征根为,对应的齐方程的通解为,将它,代入原方程，得,比较两边同类项的系数，得,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,例,9,解,对应的齐方程的特征方程为,特征根为,对应的齐方程的通解为,将它,代入原方程，得,请同学们自己算,上式即,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,例,10,解,对应的齐方程的通解为,综上所述，原方程的通解为,你有什么想法没有？,欧拉公式：,性质,4,的,一个特解。,例,11,解,代入上述方程，得,从而，原方程有一特解为,解,代入上述方程，得,比较系数，得,例,12,从而，原方程有一特解为,故,解,由,上面两个例题立即可得,例,13,解,对应的齐次方程的通解为,将它代入此方程中，得,从而，原方程有一特解为,例,14,故原方程的通解为,我想，,你一定会做这种推广工作。,四、欧拉方程,形如,的,方程，称为,n,阶,欧拉方程，其中,关于变量,t,的常系数线性微分方程。,引入算子记号：,由,数学归纳法可以证明：,解,这是三阶欧拉方程，,作,代数运算后，得,即,这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且,例,15,方程,(1),对应的齐方程的通解为,为方程,(1),特解形式，代入方程,(1),中，得,从而,故原,欧拉方程的通解为,(,n,k,),大阻尼解的特征,:,1),无振荡现象,;,此图参数,:,2),对任何初始条件,即随时间,t,的增大物体总趋于平衡位置,.,(,n,=,k,),临界阻尼解的特征,:,任意常数由初始条件定,最多只与,t,轴交于一点,;,即随时间,t,的增大物体总趋于平衡位置,.,2),无振荡现象,;,