第三章矩阵的秩与线性方程组.PPT

单击此处编辑母版标题样式,第一节 矩阵的秩,Ch3,矩阵的秩与线性方程组,一、矩阵秩的概念,例1,解,例2,解,取自非零行首非零元所在列,例3,解,计算,A,的,3,阶子式，,另解,显然，非零行的行数为,2,，,此,方法简单！,二、矩阵秩的计算,问题：,经过初等变换后，矩阵的秩变吗？,证明略,初等变换求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩,.,例,4,解,(1),由阶梯形矩阵有三个非零行可知,例5,解,分析：,三、小结,(2),初等变换法,1.,矩阵秩的概念,2.,求矩阵秩的方法,(,1),利用定义,(,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩,).,(,即寻找矩阵中非零子式的最高阶数,);,思考题,1,思考题,1,解答,思考题,2,(2),设,A,为可逆阵,且,r(A)=3,则,r(AB)-r(B)=-,。,0,思考题,2,解答,答,相等,.,即,由此可知,俩方程组,第二节 齐次线性方程组,Ch3,矩阵的秩与线性方程组,一、齐次线性方程组有解的判定条件,问题,：,引例,求解齐次线性方程组,解,-2,，,-,，得,-,，,得,说明第,3,个方,程是多余的,！,说明什么,问题？,得，,行最简形,矩阵,即得与,原方程组同解的方程组,移项即得,证,必要性,.,(,),n,D,n,A,n,A,r,阶非零子式,中应有一个,则在,若,=,(,),根据克拉默定理,个方程只有零解,所对应的,n,D,n,从而,定理,1,这与原方程组有非零解相矛盾，,(,),.,n,A,r,即,充分性,.,(,),n,r,A,r,=,设,.,个自由未知量,从而知其有,r,n,-,任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，,即可得方程组的一个非零解,.,为求齐次线性方程组的解，只需将,系数矩阵化成,行最简形矩阵,，便可写出其通解。,二、线性方程组的解法,例,1,求解齐次方程组的通解,解,对系数矩阵,A,进行初等变换,故方程组有非零解，且有,为什么选,为非自由未知量？,选,行最简形矩阵,中非零,行首非零元,1,所在列！,得方程组的通解为,例,2,设有齐次线性方程组,解,且其通解为,且其通解为,代入,讨论同前,。,另解,因为,系数矩阵,为含参数的方阵，故可考虑使用,“,行列式,”,法，,对齐次线性方程组,三、小结,解法一,因为,系数矩阵,为含参数的方阵，故可,考虑使用,“,行列式,”,法，而,当,a,取何值时，下述齐次线性方程组有非,零解，并且求出它的通解,思考题,通解为,解法二,用,“,初等行变换,”,（法）把系数矩阵,化为阶梯形,第三节 非齐次线性方程组,Ch3,矩阵的秩与线性方程组,一、非齐次,线性方程组有解的 判定条件,问题,：,证,必要性,有解,(,反证法,),设方程组,b,Ax,=,这与方程组有解相矛盾,.,定理,1,(,),(,),r,A,r,设,则 的行最简形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，,并令 个自由未知量任意取值，,r,n,-,即可得方程组的一个解,充分性,.,证毕,其余 个作为自由未知量,把这,行的第一个非零元所对应的未知量作为,非自由未知量,例,1,求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵 进行初等变换,，,定理,1,故,方程组无解,此乃第三章的,精华所在,为求解非齐次线性方程组 ，只需将,增广矩阵 化成,行阶梯形矩阵,，便可判断其是否有解若有解，再将行阶梯形矩阵化成,行最简形矩阵,，便可写出其通解。,二、线性方程组的解法,例,2,求解非齐次方程组的通解,解 对增广矩阵 进行初等变换,所以方程组的通解为,例,3,证,方程组的增广矩阵为,对增广矩阵 进行初等变换，,由于原方程组等价于方程组,由此得通解：,例,4,设有线性方程组,解一,且其通解为,这时又分两种情形：,解,二：,当,对非齐次线性方程组,三、小结,思考题,思考题解答,思考题,设有线性方程组,思考题解答,