平面向量的基本定理及坐标表示.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面向量的基本定理及坐标表示,问题提出,1.,向量加法与减法有哪几种几何运算法则？,2.,怎样理解向量的数乘运算,a,？,（,1,）,|,a,|=|,a,|,；,（,2,）,0,时，,a,与,a,方向相同；,0,时，,a,与,a,方向相反；,=0,时，,a,=0.,3.,平面向量共线定理是什么？,4.,如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为,G,，下滑力为,F,1,，木块对斜面的压力为,F,2,，这三个力的方向分别如何？,三者有何相互关系？,G,F,1,F,2,非零向量,a,与向量,b,共线 存在唯一实数,，使,b,a,.,5.,在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算,.,力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和,.,将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论,.,平面向量基本定理和,正交分解及坐标表示,探究（一）：,平面向量基本定理,思考,1,：给定平面内任意两个向量,e,1,，,e,2,，如何求作向量,3,e,1,2,e,2,和,e,1,2,e,2,？,e,1,e2,2,e,2,B,C,O,3,e,1,A,e,1,D,3,e,1,2,e,2,e,1,-2,e,2,思考,2,：如图，设,OA,，,OB,，,OC,为三条共点射线，,P,为,OC,上一点，能否在,OA,、,OB,上分别找一点,M,、,N,，使四边形,OMPN,为平行四边形？,M,N,O,A,B,C,P,大家应该也有点累了，稍作休息,大家有疑问的，可以询问和交流,8,思考,7,：根据上述分析，平面内任一向量,a,都可以由这个平面内两个不共线的向量,e,1,，,e,2,表示出来，从而可形成一个定理,.,你能完整地描述这个定理的内容吗？,若,e,1,、,e,2,是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量,a,，有且只有一对实数,1,，,2,，使,a,1,e,1,2,e,2,.,思考,8,：上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量,e,1,，,e,2,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,.,那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量,a,的表示式是否相同？,若,e,1,、,e,2,是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量,a,，有且只有一对实数,1,，,2,，使,a,1,e,1,2,e,2,.,探究,(,二,):,平面向量的正交分解及坐标表示,0,，,180,思考,1,：不共线的向量有不同的方向，对于两个非零向量,a,和,b,，作,a,，,b,，如图,.,为了反映这两个向量的位置关系，称,AOB,为向量,a,与,b,的夹角,.,你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？,b,a,a,b,A,B,O,思考,2,：如果向量,a,与,b,的夹角是,90,，则称向量,a,与,b,垂直，记作,a,b,.,互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？,b,a,思考,3,：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解,.,如图，向量,i,、,j,是两个互相垂直的单位向量，向量,a,与,i,的夹角是,30,，且,|,a,|=4,，以向量,i,、,j,为基底，向量,a,如何表示？,B,a,i,O,j,A,P,思考,4,：在平面直角坐标系中，分别取与,x,轴、,y,轴方向相同的两个单位向量,i,、,j,作为基底，对于平面内的一个向量,a,，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数,x,、,y,，使得,a,x,i,y,j,.,我们把有序数对（,x,，,y,）叫做向量,a,的坐标，记作,a,(x,，,y).,其中,x,叫做,a,在,x,轴上的坐标，,y,叫做,a,在,y,轴,上的坐标，上式叫做向量,的坐标表示,.,那么,x,、,y,的,几何意义如何？,a,i,x,y,O,j,x,y,思考,5,：相等向量的坐标必然相等，作向量,a,，则,(x,，,y),，此时点,A,是坐标是什么？,A,a,i,x,y,O,j,A(x,y),理论迁移,例,1,如图，已知向量,e,1,、,e,2,，求作向量,2.5,e,1,3,e,2,.,e,1,e,2,C,O,A,2.5,e,1,B,3,e,2,例,2,如图，写出向量,a,，,b,，,c,，,d,的坐标,.,2,4,5,2,a,b,c,d,4,2,5,2,x,y,O,a,=(2,3),b,=(-2,3),c,=(-2,-3),d,=(2,-3),小结作业,1.,平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理，同时又是向量坐标表示的理论依据，是一个承前起后的重要知识点,.,2.,向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是,0,或,180,，垂直向量的夹角是,90.,3.,向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义,.,将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标,.,2.3.3,平面向量的坐标运算,2.3.4,平面向量共线的坐标表示,问题提出,1.,平面向量的基本定理是什么？,若,e,1,、,e,2,是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意向量,a,，有且只有一对实数,1,，,2,，使,a,1,e,1,2,e,2,.,2.,用坐标表示向量的基本原理是什么？,设,i,、,j,是与,x,轴、,y,轴同向的两个单位向量，若,a,x,i,y,j,，则,a,(x,，,y).,3.,用坐标表示向量，使得向量具有代数特征，并且可以将向量的几何运算转化为坐标运算，为向量的运算拓展一条新的途径,.,我们需要研究的问题是，向量的和、差、数乘运算，如何转化为坐标运算，对于共线向量如何通过坐标来反映等,.,平面向量的坐标运算,及向量共线的坐标表示,探究（一）：,平面向量的坐标运算,思考,1,：设,i,、,j,是与,x,轴、,y,轴同向的两个单位向量，若,a,=(x,1,，,y,1,),b,=(x,2,，,y,2,),则,a,x,1,i,y,1,j,，,b,x,2,i,y,2,j,，,思考,2,：根据向量的坐标表示，向量,a,b,，,a,b,，,a,的坐标分别如何？,a,b,(x,1,x,2,y,1,y,2,);,a,b,(x,1,x,2,，,y,1,y,2,);,a,(x,1,，,y,1,).,思考,3,：如何用数学语言描述上述向量的坐标运算？,两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；,实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标,.,a,b,(x,1,x,2,，,y,1,y,2,);,a,b,(x,1,x,2,，,y,1,y,2,);,a,(x,1,，,y,1,).,o,x,y,B,A,思考,4,：如图,已知点,A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,),，,那么向量 的坐标如何？一般地，一个,任意向量的坐标如何计算？,(x,2,x,1,，y,2,y,1,).,任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标,.,思考,6,：若向量,a,=(x,，,y),，则,|,a,|,如何计算？若点,A(x,1,y,1,),，,B(x,2,，,y,2,),，则 如何计算？,A,a,x,y,O,探究（二）：,平面向量共线的坐标表示,思考,1,：如果向量,a,，,b,共线（其中,b,0,），那么,a,，,b,满足什么关系？,思考,2,：设,a,=(x,1,，,y,1,),b,=(x,2,，,y,2,),，,若向量,a,，,b,共线（其中,b,0,），则这两个向量的坐标应满足什么关系？反之成立吗？,a,b,.,向量,a,，,b,（,b,0,）,共线,a,x,y,O,b,A,B,C,D,思考,3,：如何用解析几何观点得出上述结论？,向量,a,，,b,（,b,0,）,共线,理论迁移,例,1,已知,a,=(2,1),b,=(,3,4),求,a,b,，,a,b,，,3,a,4,b,的坐标,.,a,b,(,1,，,5),，,a,b,(5,，,3),，,3,a,4,b,(,6,，,19).,例,2,如图，已知,ABCD,的三个顶点的坐标分别是,A,（,-2,，,1,）、,B,（,-1,3,）、,C(3,4),，试求顶点,D,的坐标,.,o,x,y,A,B,C,D,D,（,2,，,2,）,