1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,定理1:(,克拉默(Cramer)法则),如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,即,那么,线性方程组(1)有解,且解是唯一的,解可以表为,其中,D,j,是把系数行列式,D,中第,j,列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的,n,阶行列式,即,证明:,用系数行列式,D,的第,j,列元素的代数余子式,A,1,j,A,2,j,A,nj,依次乘方程组(1)的,n,个方程,得,再把,n,个方程相加,得,D,由行列式代数余子式的性质可知,上式中,x,j,的系数等于,D,而,x,i,(,i,j,)的系数均等
2、于0,等式右端为,D,j,.,于是,因此,当,D,0,时,方程组(2)有唯一解:,Dx,j,=,D,j,(,j,=1,2,n,),(2),由于方程组(2)与方程组(1)等价,故,也是方程组(1)的唯一解.,定理2:,如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一,则它的系数行列式必为零.,定理3:,如果齐次线性方程组(3),的系数行列式,D,0,则齐次线性方程组(3)没有非零解.,(3),定理4:,如果齐次线性方程组(3)有非零解,则它的系数行列式,D,必为零.,在后面我们将证明:,齐次线性方程组(3)有非零解的充分必要条件为(3)的系数行列式,D,必为零,.,例1:,用克拉默法则解方程组,解:,所以
3、解:,例2:,用克拉默法则解方程组,所以,例2:,问,取何值时,齐次方程组,有非零解?,由于齐次方程组有非零解的充分必要条件为,D,=0,解:,则,=0,=2或,=3时,齐次方程组有非零解.,例3.,求使得 3 点,共线的充分必要条件.,解：,假设这3点位于直线,上，其中,a,b,c,不同时为 0,即有,3点共线等价于上述关于,a,b,c,的齐次线性方程组有非零,解，其充要条件是,例4.,证明,n,次多项式至多有,n,个互异的根.,证明：,用反证法,假设,n,次多项式,有,n,个互异的根：,即有,上述关于,的齐次线性方程组的系数,行列式为：,因为,互不相等，,所以,从而齐次方程组只有零解，,这与,矛盾，,故结论成立！,用克拉默法则解方程组的两个条件:,(1)方程个数等于未知量个数;,(2)系数行列式不等于零.,2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.,它主要适用于理论推导,并不适用于实际计算,.,小结,思考题,当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?此时方程组的解为何?,思考题解答,不能.此时方程组可能为无解,或有无穷多解.,
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