第11章 均匀设计及其应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Uniform Design and,its Application,第十一章 均勻设计及其应用,注：资料来源于中国数学会均匀设计分会,沐浴在改革开发的阳光下，神州大地生机盎然，新生事物层出不穷。在科教兴国建设社会主义的过程中，人们所熟悉的那些传统的试验设计方法（如对比试验设计、全面试验设计、正交试验设计等），已不能充分满足快节奏高效率的要求。新时期呼唤新思维，新方法。,中国科学家巧妙的将“,数论方法,”和“,统计试验设计,”相结合，,发明了一种全新的试验设计方法，这就是,均匀设计法,。,均匀设计法诞生于年。由中国著名数学家,方开泰,教授和,王元,院士合作共同发明。,前 言,正交设计可使试验点“均匀分散、整齐可比”，为保证“整齐可比性”，使试验设计的均匀性受到了一定限制，使试验点的代表性还不够强，试验次数不能充分地少。,均匀设计,是另一种部分实施的,试验设计方法,。它可以用较少的试验次数，安排多因素、多水平的析因试 验，是在,均匀性,的度量下,最好,的析因试验设计方法。它可以使试验点在试验范围内充分地,均匀分散,，不仅可大大减少试验点，而且仍能得到反映试验体系主要特征的试验结果。,均匀设计方法,下面通过,制药工业中的一个实例,来说明均匀试验设计方法。,例1.1,：,阿魏酸的制备,根据试验目的，确定以阿魏酸产量作为试验指标,Y,。,阿魏酸是某些药品的主要成分，在制备过程中，我们想提高阿魏酸产量。,全面交叉试验要,N=7,3,=343,次，太多了。,建议使用均匀设计。查阅均匀设计表。,经过资料查阅，分析研究，选出影响阿魏酸产量的试验因素，确定试验因素水平为：,原料配比：,1.0-3.4,吡啶总量：10-28,反应时间：0.5-3.5,确定每个因素相应的水平数为7。,如何安排试验?,“方开泰，,均匀设计与均匀设计表，科学出版社(,1994)”,之,附表 1,网络地址,:,,www.math.hkbu.edu.hk/UniformDesing,也可以浏览如下网页：,第,1,步：,列出试验因素水平表,表,1.1.1,试验因素水平表,第,2,步,:,选择相应的均匀设计表,均匀设计表格式见下，其含义为：,U,n,(q,s,),均匀设计,试验总次数,因素水平数,因素数,例如,:,表,1.1.2:,表,1.1.3:,每个均匀设计表都有一个,使用表,，它将建议我们如何选择适当的列安排试验因素，进行试验设计，这样可以减少“试验偏差”。其中,偏差为均匀性的度量值,，数值小的设计表示均匀性好,。,例如,U,7,(,7,4,),的使用表为：,表,1.1.4:,表,1.1.2:,第,3,步,:,应用选择的,UD-,表安排试验，设计试验方案,1.,将,x,1,x,2,和,x,3,放入均匀设计表的,1,和,3,列；,x,1,x,2,x,3,2,用,x,1,的个水平（值）替代第一列的,1,到,7,；,1.0,1.4,1.8,2.2,2.6,3.0,3.4,3.,对第二列，第三列做同样的替代；,13 1.5,19 3.0,25 1.0,10 2.5,16 0.5,22 2.0,28 3.5,4.,按设计的方案进行试验，,得到个结果，将其放入最后一列。,表,1.1.5:,试验方案,第,4,步,:,用回归模型匹配数据,首先，考虑线性回归模型,:,这个结果与人们的经验不符。,使用回归分析中变量筛选的方法，比如,向后法，得到推荐的模型为：,然后，我们尝试用二次回归模型来匹配这些数据：,使用,向前,的,变量选择法，我们发现适宜的模型：,14,表,1.1.6:,方差分析（,ANOVA,）,表,状态是正常的，所以模型,(1.1.4),是可接受的。,图,1.1.1:,模型,中的三项，,在,5%,的水平下都是显著的。,图,1.1.2,a,匹配图,图,1.1.2,b,正态,Q-Q,图,图,1.1.2,c,偏回归图,16,第,5,步,:,优化,-,寻找最佳的因素水平组合,表,1.1.5,的设计是,7,3,=343,个全面试验的部分实施,其中最好的试验点是值为,Y=48.2%,的,#7,。,它不一定是全局最好的。人们想找到满足下式的,x,1,*,和,x,3,*,：,这里求取,max,的区域为：,x,1,x,3,的回归系数是正的，,x,3,的回归系数也是正的,x,1,*,=3.4,。,在,x,3,*,=2.7575,达到最大值,。,图,1.1.3,等值线图,(,x,1,*,x,3,*,),在,x,1,*,=3.4,和,x,3,*,=2.7575,处估计响应的最大值是,51.85%,。,它比个试验点的最好值,48.2%,还大。,18,讨论,:,因素,x,2,没有给响应,Y,予显著的贡献，我们可以选,x,2,为,其中点,x,2,=19,ml,.,求出的,x,1,*,=3.4,在边界上,我们需要扩大,x,1,的试验上限,。,在,x,1,=3.4,和,x,3,=2.7575,的邻域,追加一些,试验是必要的在第步，一些优化算法是很有用的。,混合型水平的均匀设计,试验中各因素若有,不同水平数,，,比如，其水平数分别为,q,1,，,q,k,。,这时应,使用,相应的混合均匀设计表。见,“方开泰,均匀设计与均匀设计表,科学出版(,1994).”,之,附表2,每个混合水平表有一个记号，含义为：,U,n,(q,1,q,k,),均匀设计,试验次数,各定量因素,之水平数,定量因素,的最大数,下表是一个,混合水平,均匀设计,表,:,此均匀设计表试验总数为 12，用它可以安排水平数为、的因素各一个。,U,12,(6,2,4),此表也是混合水平,均匀设计,表,。,23,它的试验数为 12。可以安排二个6水平因素和一个4水平因素的设计。,混合因素试验设计,考虑4个因素：,平均施肥量,X，,分为12个水平,（70,74,78,82,86,90,94,98,102,106,110,114）,；,种子播种前浸种时间,T，,分为6个水平,（1,2,3,4,5,6）,；,土壤类型,B，,分4种,B1，B2，B3，B4,；,种子品种,A，,分3个,A1，A2，A3,；,对某农作物产量的影响。,可以看出,前两个为定量因素，后两个为定性因素。,例2,.1,:,在农业试验中,如何进行试验安排？,混合型因素混合型水平的均匀设计,一般情况下试验中既有,定量型连续变化,因素，又有,定性型状态变化,因素。,假设有,k,个定量因素X,1,X,k,；,这,k,个因素可化为,k,个连续变量，其水平数分别为,q,1,，,q,k,。,又有,t,个定性因素,G,1,G,t,，,这,t,个定性因素分别有,d,1,，,d,t,个状态。,可以,使用“,拟水平法,”，,或用,优化方法,计算，求出相应的均匀设计表。,混合因素混合水平表有如下的记号和含义：,U,n,(q,1,q,k,d,1,d,t,),均匀设计,试验次数,各定性因素,之水平数,定性因素,的最大数,各定量因素,之水平数,定量因素,的最大数,U,12,(,126,43,2,),1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 2 3 1 2 2 2 2 2 3 2 2 1 3 3 3 3 2 1 1 2 4 4 4 4 3 1 2 1 5 5 5 1 1 2 2 2 6 6 6 2 3 2 1 1 7 7 1 3 1 1 1 1 8 8 2 4 3 3 2 1 9 9 3 1 1 3 2 2 10 10 4 2 2 2 1 2 11 11 5 3 1 1 1 1 12 12 6 4 2 3 2 2,例：,次试验。,可以安排,个,水平数为12、,6的定量因素，,以及总数为,的一个水平,为4、两个水,平为3和两个,水平为2的定,性因素的设计,。,U,12,(,126,43,),表2.1.1,选混合均匀设计表,2.1.1,安排此试验,第,1,列安排平均施肥量,X，,分为12个水平；,第,2,列安排种子播种前浸种时间,T，,分为6个水平；,第,3,列安排土壤类型,B，,分4种,B1，B2，B3，B4,；,第,4,列安排种子品种,A，,分3个,A1，A2，A3,。,试验安排及结果,如表2.1.2,为了进行分析，我们引进5个,伪变量,。它们的记号和取值如下,：,它们和、一起进行回归分析。,B,因素的,A,因素的,回归方程如下:,+,=,不显著。需进一步考虑高阶回归项,。,若我们考虑除主效应外，再多考虑一个2次效应和一个交互效应。这时回归方程化为,解得,回归系数的最小二乘估计及其和值为：,+,=,解得,非常显著,回归系数的最小二乘估计及其和值为：,方程为:,其中,1.含变量,x,的两项与其它是分离的（即可加的），最大值点在,x=100.127。,2.含变量,z,41,z,42,的两项与其它是分离的，最大值点在,z,41,=0 z,42,=0，,即品种3为好。,3.含变量,z,31,z,32,z,33,的四项与其它是分离的，最大值点可能在,z,31,=1 z,32,=0 z,33,=0,类型为1，=6,或,z,31,=0 z,32,=1 z,33,=0,类型为2，=6,比较后知道为后者。,所以得到,最佳状态组合,为,施肥量,X=100.127，,浸种时间,T=6，,土壤类型,B,取2，,种子品种,A,取3，,此时,最大值,估计为,一、,表的选择,因素及水平的安排若试验中有,k,个定量因素和,t,个定性因素时，我们从混合型均匀设计表中选出带有,s=,k+t,列的,U,n,(q,1,q,k,d,1,d,t,),表,。,这里要求,nk+d+1,其中,d=(d,1,+,d,t,-t).,为了给误差留下自由度，其中的,n,最好不取等号。,表中前,k,列对应,k,个连续变量,，,表中后,t,列可安排定性因素,。,安排,n,个试验，得到,n,个结果,y,1,，y,2,，,y,n,。,下面综述应注意的事项：,为了分析，首先要将定性因素之状态,，,依照,伪变量法,，将第,i,个因素分别化成,(,d,i,-1),个相对独立的,n,维伪变量,Z,i1,Z,i2,，Z,id,i,-1)。,将这总共,d=(d,1,+,d,t,-t,),个伪变量与相应的,k,个连续变量,X,1,，,X,k,一起进行建模分析。,为了保证主效应不蜕化，要对混合型均匀设计表进行挑选,。,二、,试验结果的回归建模分析,如果不理想,则,首先考察它们的,一阶回归模型,：,再考虑一些,交互效应,，和一些连续变量的高次效应。显然最多可考虑的,附加效应数为,m,个,，这里,mn-(k+d-2),值得指出的是，由于,Z,ij,*,Z,ij,=,Z,ij,因此,无需考虑,伪变量的高阶效应,只考虑,连续变量的高次效应即可,.,又因为,Z,ij,1,*Z,ij,2,=0,j,1,j,2,时,因此也,无需考虑,同一状态因素内的伪变量间的交互效应,。,只有,i,1,i,2,时,才有可能使,Z,i,1,j,1,*Z,i,2,j,2,0，,即不同状态因素间的交互效应,可能要考虑,.。,此外，,不要忘记考虑,连续变量与伪变量的交互效应,。,至于 三个以上的状态因素间 的交互效应项,Z,i,1,j,1,*Z,i,2,j,2,*Z,i,3,j,3,0,的可能性就更少了,。,混料配方试验,许多产品都是混合多种成分在一起形成的。,面粉,水,糖,蔬菜汁,椰子汁,盐,发酵粉,乳酸,钙,咖啡粉,香料,色素,咖啡面包,怎样确定各种成分的比例呢？,经验,试验,混料试验,混料配方均匀设计,43,有,s,个因素,:,X,1X,s,满足,X,i,0,i,=1,s,和,X,1,+,+,X,s,=1.,试验区域为单纯形,T,s,=(,x,1,x,s,):,x,i,0,i,=1,s,x,1,+,+,x,s,=,1.,单纯形格子点设计,(,Scheff,e,1958),.,单纯形重心设计,(,Scheff,e,1963),.,轴设计,(,Cornell,1975),人们提出了许多混料设计方法，如,例如,成分数,s,=3,单纯形格子点设计,单纯形重心设计,d,轴设计,这些设计的全面评价请参考：,Cornell,J.A.(1990).,Experiments with Mixtures:Designs,Models and the Analysis of Mixture Data.,Wiley,New York.,45,混料均匀设计,上述设计的弱点：,许多点在,T,s,的边界上；,给用户设计的选择不多。,混料均匀设计,是要寻找在,T,s,上,均匀散布,的试验点。,问题,:,怎样设计这些,试验点呢？,变换方法,46,给定,s-1,维单位立方体,C,s,-1,上的均匀设计，且用,C,k,=(,c,k,1,c,k,s,-1,),k,=1,n,表示。则进行下列必要的,变换：,(3.1.1),x,k,=(,x,k,1,x,ks,),k,=1,n,是,T,s,.,上的均匀设计。,47,变换方法,例,3.1,构造,T,3,上带有,11,个(配方)试验点的均匀设计。,假设我们选用,U,11,(11,2,),和相关的,C,k,k,=1,11:,48,变换公式,(4.1),现在成为,:,(3.1.2),用这个变换公式,正方形,0,1,2,上的均匀设计,C,k,=(,c,k,1,c,k,2,),k,=1,11,导出,T,3,上的均匀设计,X,k,=(,x,k,1,x,k,2,x,k,3,),k,=1,11,如下,:,49,区域,T,3,是一个边长为 的等边三角形,用,V,2,表示。,1,1,1,T,3,x,1,x,2,x,3,T,3,可以证明：,V,2,上的任何点,(,z,1,z,2,),到,V,2,的三条边之距离,d,1,d,2,和,d,3,满足,d,1,+,d,2,+,d,3,=1,.,d,1,d,2,d,3,因此，,V,2,上任何点,(,z,1,z,2,),都对应一个,T,3,上的点,(,x,1,x,2,x,3,),，,如果我们像这样在,V,2,上建立一个新坐标系统的话。,x,1,x,2,x,3,50,给定点,(,x,1,x,2,x,3,),，,计算点,(,z,1,z,2,),的公式是：,图,3.1.2,a,c,1,c,2,图,3.1.2,b,51,-,4,-,均匀设计软件,52,介绍,均匀设计软件,均匀设计软件有中、英文两个版本。该软件中列举了许多均匀的设计表，并给出了数据分析方法。,53,54,程序设计者杜明亮和方法指导者方开泰教授在一起,均匀设计软件可用于,*与试验设计相关的大学本科或研究生课程,*自然科学研究的试验设计,*工业试验和国防科研,*系统工程、仿真试验,（一）设计,均匀设计表,-用好格子点法生成,-用拉丁方生成,-用优化方法生成,带拟水平的均匀设计表,带约束的配方设计,无约束的配方设计,（二）数据分析,建模,-简单线性模型,-二次模型,-自选模型,选择变量,-前进法,-逐步回归法,-最优子集法,-自选变量,统计诊断,-残差点图、正态,Q-Q,点图,-偏回归点图,-拟合比较图,-等高线图,-三维图,综合分析,-多响应模型分析,-优化,-预报,-相关系数,-各类诊断点图,小结,我们介绍了有关均匀设计的一些知识：,均匀设计表的构造和用法,；介绍了有关,均匀设计软件,的一些内容。,我们强调的是,正确使用,均匀设计表。即：,能确定,试验目标，,能找出,影响因素及其变化范围，,合理确定,水平数及其值，,正确安排,试验，对试验结果,进行,适当的分析，,得出,恰当的认识。幸好，均匀设计,分会研制的“,均匀设计软件3.0,”可以,帮助,你完成这些工作。,想了解原理者请接看下面的附录。,主要参考文献,Uniform Design and its Application,PPT,，,kaitai,Fang,含有定性因素的均匀设计,PPT,王柱,均匀设计八讲，拷贝，方开泰,均匀设计与均匀设计表，书，方开泰,均匀设计与正交设计的关联和比较，文章，方开泰，马长兴,含有定性因素均匀设计均匀性的度量，文章,王柱，方开泰,均匀设计理论及其应用研讨会，论文集,均匀设计论文选，第一集,均匀设计.0，软件，方开泰,，,杜明亮,均匀设计论文选，第二集,