第三章多维随机变量及其分布.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,为什么需要讨论多维随机变量？,以上我们只限于讨论一个随机变量的情况，但在实际问题中，对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。例如，为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况，对这一地区的儿童进行抽查，对于每个儿童都能观察到他的身高,H,和体重,W,。,在这里，样本空间,S=e,某地区的全部学龄前儿童,，而,H(e),和,W(e),是定义在,S,上的两个随机变量。又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定，而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量。,多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布函数,二维随机变量的边缘分布,二维随机变量的条件分布,随机变量的独立性,两个随机变量的函数的分布,返回,退出,本章小结,习题,设,X,1,X,2,X,n,时定义在同一样本空间,S,上的随机变量，则向量,(X,1,X,2,X,n,),称为,n,维随机变量或,n,维随机向量。,当,n=2,时，称为二维随机变量，记为,(X,Y).,二维随机变量的分布函数,设,(X,Y),是二维随机变量，对于任意实数,x,y,，,二元函数：,F(x,y)=P(Xx)(Yy)=P(Xx,Yy),称为二维随机变量,(X,Y),的分布函数，或称为随机变量,X,Y,的联合分布函数。,二维随机变量,二维随机变量,(X,Y),的分布函数,F(x,y),的含义,Px,1,Xx,2,y,1,x,1,时,F(x,2,y)F(x,1,y),；,对于任意固定的,x,，当,y,2,y,1,时，,F(x,y,2,)F(x,y,1,),。,思考,问,G(x,y),能否作为分布函数？,答 不能。,虽然,G(x,y),满足分布函数的前三个性质，但不满足第四个性质。当,x1=0,x2=1,y1=0,y2=1,时，,G(1,1)-G(1,0)-G(0,1)+G(0,0),=1-1-1+0=-10,如果二维随机变量,(X,Y),的所有可能取值是有限对或可列无限多对，则称,(X,Y),为离散型随机变量。,二维离散型随机变量的概念,称,PX,x,i,Y=y,j,p,ij,，,i,j=1,2,为,(X,Y),的概率函数。列成表格,称联合分布列。,概率函数,p,ij,满足,Y,X,x,1,x,2,x,n,x,1,p,11,p,12,p,1n,x,m,p,m1,p,m2,p,mn,二维离散型随机变量的概率函数,二维随机变量,(X,Y),的分布函数定义为,二维离散型随机变量的分布函数,二维连续型随机变量、概率密度函数,如果对于二维随机变量,(X,Y),的分布函数,F(x,y),，,存在非负可积函数,f(x,y),，,使对于任何实数,x,y,，,有,则称,(X,Y),为二维连续型随机变量。函数,f(x,y),称为,(X,Y),的概率密度函数（或联合密度函数）。,二维连续性随机变量概率密度函数的性质,由分布函数的性质可知，概率密度函数具有以下性质：,(1)f(x,y)0,；,注意,设,E,是一个随机试验，它的样本空间,S=e,，设,X,1,=X,1,(e)X,2,=X,2,(e),X,n,=X,n,(e),是定义在,S,上的随机变量，由它们构成的一个,n,维向量,(X,1,X,2,X,n,),叫做,n,维随机变量或,n,维随机向量。,二维随机变量的分布函数,对于任意,n,个实数,x,1,x,2,x,n,，,n,元函数：,F(x,1,x,2,x,n,)=P,X,1,x,1,X,2,x,2,X,n,x,n,称为,n,维随机变量,(,X,1,X,2,X,n,),的分布函数，或称为随机变量,X,1,X,2,X,n,的联合分布函数。它具有二维随机变量的分布函数类似的性质。,n,维随机变量,返回,设,(X,Y),为二维随机变量，则称随机变量,X,的概率分布为,(X,Y),关于,X,的边缘分布；随机变量,Y,的概率分布为,(X,Y),关于,Y,的边缘分布，其分布函数，密度函数和分布律分别记为：,F,X,(x),F,Y,(y);f,X,(x),f,Y,(y);p,i.,p,.j,.,二维随机变量的边缘分布,二维随机变量的边缘分布,例,2,设随机变量,X,和,Y,具有联合概率密度,求边缘概率密度,f,X,(x),f,Yy).,解,例,2,设二维随机变量,(X,Y),的概率密度为,返回,对于多个随机事件可以讨论它们的条件概率，同样地，对于多个随机变量也可以讨论它们的条件分布。,先从二维离散型随机变量开始讨论。,设,(X,Y),是二维离散型随机变量，其分布率为,考虑二维离散型随机变量的条件概率,设,(X,Y),是二维离散型随机变量，对于固定的,j,，,若,二维离散型随机变量的条件概率,例,1,在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的。其一是紧固,3,只螺栓，其二是焊接,2,处焊点。以,X,表示由机器人紧固的螺栓紧固得不良的数目，以,Y,表示由机器人焊接的不良焊点的数目。具积累的资料知,(X,Y),具有分布律：,X,Y,0 1 2 3,PY=j,0,1,2,0.840 0.030 0.020 0.010,0.060 0.010 0.008 0.002,0.010 0.005 0.004 0.001,0.900,0.080,0.020,PX=i,0.910 0.045 0.032 0.013,1.000,求在,X=1,的条件下，,Y,的条件分布律；求在,Y=0,的条件下，,X,的条件分布律。,解 在,X=1,的条件下，,Y,的分布律为,在,Y=0,的条件下，,X,的分布律为,例 一射手进行射击，击中目标的概率为,p(0p1),，,射击直至击中目标两次为止。设以,X,表示首次击中目标所进行的射击次数，以,Y,表示总共进行的射击次数，试求,X,和,Y,的联合分布律及条件分布律。,解 由题意可知，,X,和,Y,的联合分布律为,考虑二维连续型随机变量的条件概率,二维连续型随机变量的条件概率,返回,设,F(x,y),及,F,X,(x),F,Y,(y),分别是二维随机变量,(X,Y),的分布函数及边缘分布函数。若对所有,x,y,有,PXx,Yy=PXxPYy,则称随机变量,X,和,Y,是相互独立的。,等价命题有,F(x,y)=F,X,(x)F,Y,(y),f(x,y)=f,X,(x)f,Y,(y),PX=,x,i,Y,=,y,j,=PX=x,i,PY=y,j,i,j=1,2,随机变量的独立性,练习,1,已知二维随机变量,(X,Y),的概率密度,求：系数,A,；,F(x,y),；,P2X+3Y6,练习,2,设随机变量,(X,Y),的概率密度为,其中,G,是由,0 x2,0yx,2,围成的区域。求：,系数,A,；,f,X,(x),f,Y,(y),；,f,X|Y,(x|y),f,Y|X,(y|x),。,返回,Z=X+Y,的分布,Z=X+Y,的分布,例,1,设,X,和,Y,是两个相互独立的随机变量，它们都服从,N(0,1),分布，其概率密度为,求,Z=X+Y,的概率密度。,例,2,在一简单电路中，两电阻,R1,和,R2,串联连接，设,R1,，,R2,相互独立，它们的概率密度均为,求总电阻,R=R1+R2,的概率密度。,M=max(X,Y),与,N=min(X,Y),的分布,Z=X/Y,的分布,例 设随机变量,X,与,Y,相互独立，且都服从,U(-1,1),，求,X/Y,的概率密度。,例 设随机变量,(X,Y),的概率密度为,求随机变量,Z=X-Y,的密度函数,例 设随机变量,X,和,Y,相互独立，且都服从,N(0,1),，令,Z=X+Y,W=X-Y,，,求,(Z,W),的密度函数。,返回,参见书,P102,本章小结,返回,习题,返回,书P104,