高等代数第6章线性空间.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,集合,映射,2,线性空间的定义与简单性质,3,维数,基与坐标,4,基变换与坐标变换,5,线性子空间,6,子空间的交与和,7,子空间的直和,8,线性空间的同构,第,6,章 线性空 间,1,集合,映射,一,、,集合,集合,的定义,:,作为整体看的一堆东西。通常用大写英文字母,A,B,C,表示。,组成集合的东西叫,元素,，用小写英文字母,a,b,c,表示,集合的表示法：列举法；描述法,集合的运算,空集合,（不含任何元素的集合）记为,集合的包含,集合的相等,二,、映射,从集合,A,到,B,的映射,是指,A,到B,的一个对应法则,使得对于每一个,a,A,都有,B,中唯一确定的元素,b,与之对应,记作,称元素,b,为,a,在,作用下的,象,记作,称,a,是,b,的,原象,记象集合为,例,1,设,Z,是整数全体，,M,是偶数的全体。定义,例,2,设,P,是一个数域。定义,例,3,（恒等映射）,设,M,是任意一个非空集合。定义映射,例,4,（常值映射）,设,M,M,是任意两个,非空集合。,x,0,是,M,中固定元素。,定义映射,合成,(,乘法,):,f,:,A,B,g:B,C,.,定义,gf,:,A,C,(,gf,)(,a,)=,g,(,f,(,a,),a,A,.,则,gf,是,A,到,C,的映射。称为f,和,g,的合成或,乘法。,定理,映射的合成满足结合律,.,与恒等映射的合成,:,f,:,A,B,1,B,f,=,f,1,A,=,f,单射,(1-1,映射,):,a,1,a,2,f,(,a,1,),f,(,a,2,),(,f,(,a,1,),=,f,(,a,2,),a,1,=,a,2,),满射,(,映上的,):,f,(,A,)=,B,b,B,a,A,s.t,.,b,=,f,(,a,).,双射,(1-1,对应,):,既单又满,逆映射,:,若,f,是双射,f,:,A,B,，,f,(,a,)=,b,则可以定义逆映射,f,-1,:,B,A,，,f,-1,(,b,)=,a,f,-1,还是双射,并且有f,-1,f,=1,A,f f,-1,=1,B,.,定理,设映射,f,:,A,B,g,:,B,C,(1),若,f,单,g,单,则,gf,也单,;,(2),若,f,满,g,满,则,gf,也满,;,(3),若,f,双,g,双,则,gf,也双,.,定理,设映射,f,:,A,B,g,:,B,C,(1),若,gf,单,则,f,单,;,(2),若,gf,满,则,g,满,;,(3),若,gf,双,则,f,单,g,满,.,作业,:p267:1,2,练习：,设,f,:,A,B,是双射。,U,是,A,的子集。,用,证明,表示,X,的,补集。,2,线性空间的定义与简单性质,一,、,线性空间的概念,定义,设,V是一非空集合,其元素（称为向量）以希腊字母,表示,;,P,是一数域,其元素以拉丁字母,a,b,c,k,l,表示,.,在集合,V,的元素之间定义一种“,加法,”运算,即对于任意,V,在,V,中都有唯一确定的元素,与之对应,称,为,与,的和,记作,=,+,.,在数域,P,与集合,V,的元素之间定义一种“,数量乘法”,运算,即对于任意,k,P,和,V,在,V,中也都有惟一确定的元素,与之对应,称为,k,与,数量乘积,记作,=,k,.,如果上述运算满足如下,8,条运算性质,则称,V,是 数域,P,上的,线性空间,1,加法交换律：,+,=,+,；,2,加法结合律：,(,+,)+,=,+(,+,),；,3,存在向量,0,，使得对任一个向量,都有,+,0=,;,4,对任一个向量,存在向量,，使得,+,=0.,51,的数乘,:1,=,；,6,数乘结合律：,k,(,l,)=(,kl,),;,7,数乘分配律：,k,(,+,)=,k,+,k,;,8,数乘分配律：,(,k,+,l,),=,k,+,l,.,其中,是,V,中的向量，,k,l,P,.,二,、,简单性质,(1),定义条件,3,中,0,（,称为,V,的零元素）是唯一的,(2),对于任意,V,，定义条件,4,中,（,称为,的负元素,）是唯一的记为,-,。,(3)0,=0,，,k,0=0,(4),若,k,=0,，则,k,=0,或,=0,证,若,k,0则,k,-1,(,k,)=,k,-1,0=0.,而,k,-1,(,k,)=(,k,-1,k,),=1,=,所以,=0,(5),每个向量,的负向量等于,(,1),例,1,解析几何中讨论的,3,维空间中的向量全体,加法按平行四边形法则,还有数乘,构成,3,维实向量空间,.,几何与力学的许多问题可以由此来描述,.,例,2,P,n,:,数域,P,上的所有,n,维向量组成的集合,连同在其上定义的加法和数乘运算,构成数域,P,上的线性空间,称为,n,维向量空间,(vector space),R,n,:,为,n,维实向量空间,R,3,:,是,3,维实向量空间,即通常的几何空间,.,例,3,P,m,n,:,数域,P,上,m,n,矩阵全体组成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法构成,P,上线性空间,.,例,4,C,0,(,a,b,):,闭区间,a,b,上所有连续函数全体组成的集合对于函数的加法和数与函数的乘法，即,(,f,+,g,)(,x,)=,f,(,x,)+,g,(,x,),(,kf,)(,x,)=,kf,(,x,),构成实数域,R,上的线性空间,.,例,5,P,x,:,系数属于数域,P,的一元多项式环,按通常多项式的加法和数与多项式的乘法,构成数域,P,上的线性空间,例,6,P,n,x,(,或,P,x,n,):,P,x,中次数,小于,n,的多项式全体加上零多项式,对于多项式的加法和数与多项式的乘法,构成数域,P,上的线性空间,例,7,次数等于,n,的多项式全体,在多项式加法及数乘多项式运算下不是线性空间,.,因为对于加法不封闭,即两个,n,次多项式的和不一定是,n,次的,例,8,数域,P,上的齐次线性方程组,Ax,=0,的全体解向量,在向量加法及数乘向量运算下构成,P,上线性空间,例,9,数域,P,按其本身运算即数的加法与乘法，构成数域,P,自身上的线性空间,例,10,设,V,是全体正实数的集合,R,+,数域是实数域,R.,定义,V,中的加法,与数乘,为,a,b,=,ab,k,a,=,a,k,则,R,+,对于所定义的运算构成实数域,R,上的线性空间,.,这里的零元素是实数,1,a的负元素是,a,-1,例,11,设,V,=,a,只含一个元素,P,是任意数域,.,定义,V,中的加法,与数乘运算,为,a,a,=,a,k,a,=,a,则,V,对于所定义的运算构成数域,P,上的线性空间,.,这里,a,就是,V,的零元素,这种仅有一个零向量,组成的 线性空间称为,零空间,，零空间一般记作,0=0,作业,:p267.3(3,4,5,6),3,维数,基与坐标,向量空间中的概念和结论,都可平移过来,.,定义,设,V,是数域,P,上的线性空间,1,2,s,是,V,中的一组向量,k,1,k,2,k,s,是数域,P,中的一组数,表 示式,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,s,s,称为向量组,1,2,s,的一个,线性组合,k,1,k,2,k,s,称为该组合的系数,.,若令向量,使得,=,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,s,s,，,则称,可由向量组,1,2,s,线性表示,也称,是向量组,1,2,s,的线性组合,.,定义,如果向量组,1,2,s,中的每一个向量都可以由向量组,1,2,t,线性表示,则说向量组,1,2,s,可以由向量组,1,2,t,线性表示,.,如果向量组,1,2,s,与向量组,1,2,t,可以互相线性表示，则称向量 组,1,2,s,与向量组,1,2,t,等价,.,定义,对于线性空间,V,中的一组向量,1,2,s,如果存在数域,P,中不全为,0,的数,k,1,k,2,k,s,使得,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,s,s,=0,则称,1,2,s,线性相关,.,否则称,1,2,s,线性无,关,.,常用的结论,单个向量,线性相关的充分必要条件是,=0;,单个向量,线性无关的条件是,0,向量组,1,2,m,(,m,2),线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余,m,1,个向量线性表示,.,设向量组,1,2,m,线性无关,，,而向量组,1,2,m,线性相关，则,可由向量组,1,2,m,线性表示，且表示法唯一,常用的结论,若向量组,1,2,s,可以由向量组,1,2,t,线性表示,并且,s,t,则向量组,1,2,s,线性相关,设向量组,12,s,线性无关,，,并且可以由向量组,1,2,t,线性表示，则,s,t,基,维数,定义,设,V,是数域,P,上的线性空间,1,2,n,是,V,中的,n,个向量，如果满足,1,2,n,线性无关,；,V,中任意,n,+1,个向量都线性相关,，,则称,1,2,n,是,V,的一组,基,数,n,称为,V,的,维数,记作,dim,V,=,n,.,称,V,为,n,维线性空间,.,注,(1),零空间,0,没有基,规定其维数为,0,即,dim 0=,0,.,(2),维数有限的线性空间称为,有限维线性空间,否则称无限维的,.,本课程只讨论有限维线性空间,.,(3),注意基、维数与极大线性无关组与秩的定义的联系定理,如果在线性空间,V,中有,n,个线性无关的向量,1,2,n,且,V,中任一向量都可以用它们线性表示，那么,V,是,n,维的,而,1,2,n,就是,V,的一组基,.,证,由于,1,2,n,线性无关,则,V,的维数至少是,n.,现证,V,中任意,n,+1,个向量必定线性相关,.,设,1,2,n,+1,是,V,中任意,n+,1,个向量,它们可用向量,1,2,n,线性表示，从而线性相关。,定义,设,1,2,n,是,n,维线性空间,V,的一组基，,V,中向量,V,可由,1,2,n,线性表示,=,a,1,1,+,a,2,2,+,+,a,n,n,=,1,2,n,称数组,(,a,1,a,2,a,n,),为向量,在基,1,2,n,下 的,坐标,(coordinate),注,(1),任一向量在固定基下的坐标是惟一确定的,.,(2),同一向量在不同基下的坐标一般不同,.,例,1,向量组,1,=(1,0,0),2,=(0,1,0),n,=(0,0,1),是,n,维向量空间,P,n,的一组基,称为,自然基（标准基,）,且,dim,P,n,=,n,.,向量,=(,a,1,a,2,a,n,),在自然基,1,2,n,下 的坐标是,(,a,1,a,2,a,n,),例,2,P,x,是无限维线性空间,.,例,3,线性空间,P,n,x,中,1,x,x,2,x,n,1,是一组基,且,dim,P,n,x,=,n,fx,),=a,0,+,a,1,x,+,+,a,n-,1,x,n,-1,在这组基下的坐标是,(,a,0,a,1,a,n-,1,),可以证明,1,(,x,-,a,),(,x,-,a,),2,(,x,-,a,),n,1,也是一组基。,用,Taylor,公式展开,f,(,x,),在该基下的坐标是,例,4,在线性空间,P,m,n,中,记,E,ij,为第,i,行第,j,列的元素,a,ij,=1,其它元素均为,0,的,m,n,矩阵,即,第,j,列,不难验证,关于任一,m,n,矩阵,A,=,a,ij,m,n,有,所以,E,ij,i,=1,2,m,;,j,=1,2,n,线性无关,从而,E,ij,i,=1,2,m;j,=1,2,n,是,P,m,n,的一组基,且,dimP,m,n,=,mn,例,5,设,A,是,m,n,矩阵，则齐次线性方程组,Ax,=0,的解向量全体构成一个线性空间,称为线性方程组,Ax,=0,的解空间若矩阵,A,的秩为,r,则解空间的维数为,n,-,r,例,6,把复数全体,C,看作是自身上的线性空间,那么它就是,1,维的,数,1,（或任意一个非零数）就是一组基；,如果将,C,看作是实数域,R,上的线性空间，那么就是,2,维的,数,1,与,i,就是一组基,.,注,该例说明,维数与所考虑的数域是有关的,.,作业,:p268.5,8(1,2,3),4,基变换与坐标变换,问题：如何选择适当的基，使所讨论的向量有较简单的坐标,.,一、基变换,令,称矩阵,A,为由基,1,2,n,到基,1,2,n,的,过渡矩阵,.,注,(1),过渡矩阵是上述表示式的系数矩阵的转置,;,(2),过渡矩阵一定可逆,;,(3),可采用矩阵乘积运算规则将上式形式地记为,1,2,n,=,1,2,n,A,二,、,关于形式记法,设,1,2,n,是线性空间,V,的一组基，令,则,1,2,n,是,V,的基的充分必要条件是矩阵,可逆，且当,1,2,n,为,V,的基时,有,关系式,1,2,n,=,1,2,n,A,-1,二,、,关于形式记法,设,1,2,n,和,1,2,n,是线性空间,V,的两个向 量组,A=,a,ij,B,=,b,ij,是两个,n,阶方阵,则有,(,1,2,n,A,),B,=,1,2,n,(,AB,),(,1,2,n,),A,+(,1,2,n,),B,=(,1,2,n,)(,A,+,B,),(,1,2,n,),A,+(,1,2,n,),A,=,(,1,+,1,2,+,2,n,+,n,),A,三,、,坐标变换,设,1,2,n,和,1,2,n,是线性空间,V,的 两组基,由,1,2,n,到,1,2,n,的,过渡 矩阵是,A,是,V,中的一个向量,设,对,于基,1,2,n,和,1,2,n,的坐标分,别是,(,x,1,x,2,x,n,),T,和,(,y,1,y,2,y,n,),T,则,或,例,设,P4,x,的一组基,1,x,x,2,x,3,(1),证明,:1,(1+,x,),(1+,x,),2,(1+,x,),3,也是一组基,(2),求基,1,x,x,2,x,3,到,1,(1+,x,),(1+,x,),2,(1+,x,),3,的过渡矩阵,.,解,易见,因为矩阵,可逆,故,亦为基,;,且,A,为过渡矩阵,.,注 上例给出了证明向量组为基的办法。,作业,:p269.9(1,3),10,5,线性子空间,一,、子空间,定义,设,W,是数域,P,上线性空间,V,的非空子集,若,W,对于,V,的两种运算也构成线性空间，则称,W,为,V,的线性子空间，简称,子空间,.,例,1,对于任意线性空间,V,由单个零向量组成的子集,0,和,V,都是,V,的子空间，称为,V,的,平凡子空间,其中,0,称为零子空间,.,例,2,V,=(,x,y,0),x,y,R,表示通常几何空间中由,xOy,平面上所有向量全体作成的集合，它是一个线性空间，从而是几何空间,R,3,的子空间,定理,设,W,是线性空间,V,的非空子集合，则,W,是,V,的子空间的充分必要条 件是,W,对于,V,的,运算是封闭的,证,必要性,是显然的,子空间的判别,充分性,因为,W,对于加法及数与向量的乘法运算封,闭,.,所以性质,1,2,5,6,7,8,成立。,剩下来只须证明,3,和,4,成立即可,取数,0,则对任意,W,都有,0,=0W,后者就是,W,的零向量,;,又对任意,W,取数,1,则,(,1),=,W,即为,的负向量,.,于是,3,与,4,满足,从而,W,是,V,的子空间,例,3,V,=(,x,y,1),x,y,R,表示通常几何空间中与,xOy,平面平行、竖坐标为,1,的平面上所有向量全体作成的集合，它不构成线性空间,例,4,V,=(,a,1,a,2,a,n,1,0),a,1,a,2,a,n,1,P,是 数域,P,上线性空间,因而是,P,n,的子空间,.,例,5,V,=(,a,1,a,2,a,n,1,1),a,1,a,2,a,n,1,P,不是线性空间,容易验证,V,对于加法运算,不封闭,例,6,在线性空间,P,nx,中,P,n,1,x,P,n,2,x,P,1,x,都是,P,n,x,的子空间,;,而且由于,P,n,x,P,n,1,x,P,1,x,，,后者也都是前者的子空间,例,解空间,:,在线性空间,P,n,中,齐次线性方程组,的全部解向量组成,P,n,的子空间,称之为,齐次线性方程组的解空间,.,易见,解空,间的基就是方程组的基础解系,它的维,数等于,n,r,其中,r,为系数矩阵的秩,.,二,、,生成子空间,定义,设,V,是,P,上线性空间,1,2,m,是,V,的向量,.,考虑它们所有可能的线性组合的集合,W,对于,V,的运算封闭,所以,W,为,V,的子空间,称,为,由向量组,1,2,m,生成的子空间,记作,L,(,1,2,m,),例,7,设,A,是数域,P,上的,m,n,矩阵,且,A,=,1,2,n,其中,1,2,n,是矩阵,A,的列向量,则称,L,(,1,2,n,),为矩阵,A,的列空间,它是,P,m,的子空间,注,（,1,）,L,(,1,2,m,),是,V,中包含向,量,1,2,m,的最小子空间,.,证,因为任何包含,1,2,m,的,V,的子空间 一定包含,1,2,m,的所有线性组合，从而包含,L,(,1,2,m,),。,（,2,）,有限维,线性空间,V,的任何子空间,W,都具形式,L,(,1,2,m,),，其中,1,2,m,V,。,证,取,W,的任何一组基作为,1,2,m,即可,定理,(1,),两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价,.,（,2,）,dim,L,(,1,2,s,),=,秩,1,2,s,.,证,(1),设,L,(,1,2,s,)=,L,(,1,2,t,),。,则,i,可由,1,2,s,线性表示,;,同样,j,也可由,1,2,t,线性表示,.,L,(,1,2,s,),中向量均可由,1,2,s,线,性表 示,从而可由,1,2,t,线性表示,;,于,是,L,(,1,2,s,),含于,L,(,1,2,t,),之,中。,同理,L,(,1,2,t,),含于,L,(,1,2,s,),之中。,(2),设,1,2,s,的秩为,r,不妨设,1,2,r,为极大线性无关组,则,1,2,r,与,1,2,s,等价,从而,L,(,1,2,r,)=,L,(,1,2,s,),L,(,1,2,r,),的一组基为,1,2,r,，,它的维数是,r,.,三、基的扩充,定理,设,W,是数域,P,上,n,维线性空间,V,的一个,m,维子空间,1,2,m,是,W,的一组基,那么这组向量必定可扩充为整个空间的基,.,也就是说,在,V,中必定可以找到,n,-,m,个向量,m,+1,m,+2,n,使得,1,2,n,是,V,的一组基,.,证,对维数差,n-m,进行归纳,.,当,n,-,m,=0,，定理显然成立，因为,1,2,m,已经是,V,的基,.,假定,n,-,m,=,k,时定理成立,考虑,n,-,m,=,k,+1,时的情形,.,既然,1,2,m,还不是,V,的一组基,它又线性,无关，那么在,V,中必定有一个向量,m,+1,不能,被,1,2,m,线性表示,把,m,+1,添加进去,1,2,m,m,+1,必定线性无关,.,从而子空间,L,(,1,2,m+1,),是,m,+1,维的,.,因为,n,-(,m,+1)=(,n,-m)-1=,k,+1-1=,k,由归纳假设,L,(,1,2,m+1,),的基,1,2,m+1,可以扩充为整个空间,V,的基,.,根据归纳法原理，定理得证。,作业,:p270.13,14,16(1);p272.4.,6,子空间的交与和,一、交与和的概念,定义,设,W,1,W,2,是线性空间,V,的两个子空间,那么它们的交与和分别定义为,W,1,W,2,=,W,1,且,W,2,；,W,1,+,W,2,=,1,+,2,1,W,1,且,2,W,2,注,(,1),交与和均满足交换律与结合律,即,(,i),W,1,W,2,=,W,2,W,1,;,(ii)(,W,1,W,2,),W,3,=,W,1,(,W,2,W,3,);,(iii),W,1,+,W,2,=,W,2,+,W,1,;,(iv),(,W,1,+,W,2,),+,W,3,=,W,1,+(,W,2,+,W,3,).,(2),由结合律,可定义任意有限多个子空间的交与和,.,定理,设,W,1,W2,是线性空间,V,的两个子,空间，则,(1),交,W,1,W,2,也是,V,的子空间,(2),和,W,1,+,W,2,也是,V,的子空间,证,(1),由,0,W,1,0,W,2,知,0,W,1,W,2,因而,W,1,W,2,非空,.,又设,W,1,W,2,即,W,1,且,W,2,那么,+,W,1,+,W,2,，因此,+,W,1,W,2,.,对数量乘积可类似证明所以,W,1,W,2,是,V,的子空间,(2),由,0,W,1,0,W,2,知,0=0+0,W,1,+,W,2,故,W,1,+,W,2,非空,.,又设,W,1,+,W,2,即,=,1,+,2,1,W,1,，,2,W,2,=,1,+,21,W,1,，,2,W,2,则,+,=(,1,+,2,)+(,1,+,2,),=(,1,+,1,)+(,2,+,2,),W,1,+,W,2,同样可证,k,=,k,1,+,k,2,W,1,+,W,2,所以，,W,1,+,W,2,是,V,的子空间,例,1,在,3,维几何空间,R,3,中,W,1,表示一条通过原点的直线,W,2,表示一张通过原点且与,W,1,垂直 的平面,.,则,W,1,W,2,=0;,W,1,+,W,2,=R,3,.,例,2,在线性空间,V,中,有,L,(,1,2,s,)+,L,(,1,2,t,),=,L,(,1,2,s,1,2,t,),例,3,线性空间,P,n,中,W,1,W,2,分别表示齐次线性方程组,和,的解空间,则,W,1,W,2,就是齐次线性方程组,的解空间,例,4,设,W,1,是,P,n,n,中由全体上三角矩阵组,成的子空间,W,2,是,P,n,n,中由全体对称矩,阵组成的子空间,W,3,是,P,n,n,中由反对称,矩阵全体组成的子空间,.,则,W,1,W,2,是,P,n,n,中由对角矩阵全体组成的子空间，,W,1,W,3,是,P,n,n,中的零子空间，,W,2,W,3,是,P,n,n,中的零子空间,，,W,1,+,W,2,=,W,1,+,W,3,=,W,2,+,W,3,=,P,n,n,.,dim,W,1,=dim,W,2,=,dim,W,3,=,dim(W,1,W,2,)=,n,dim(,W,1,W,3,)=dim(,W,2,W,3,)=0,dim(,W,1,+,W,2,)=dim(,W,1,+,W,3,),=dim(,W,2,+,W,3,)=,n,2,例,5,求,L,(,1,2,),和,L,(,1,2,),的交与和,并分别求它们的维数与一组基,其中,1,=(2,5,-1,-5),2,=(-1,2,-2,-3),1,=(2,0,-1,2),2,=(1,3,2,-4),解,(1),L,(,1,2,)+,L,(,1,2,)=,L,(,1,2,1,2,),因为,r(,1,2,1,2,)=3,故维数,3;,基,1,2,1,.,(2),令,L,(,12,),L,(,1,2,),则,=,k,1,1,+,k,2,2,=,l,1,1,+,l,2,2,解齐次方程组,基础解系,(1,-1,1,1),得向量,0,=,1,-,2,=,1,+,2,=(3,3,1,-2),所以交为,L,(,0,);,维数为,1;,基为,0,=(3,3,1,-2).,已知实数域上线性空间 的两个子空间：,(1),求 的维数和一组基；,(2),求 的维数和一组基。,二、,维数公式,定理,设,W,1,W,2,是线性空间,V,的两个子,空间,则,dim,W,1,+dim,W,2,=dim(,W,1,+,W,2,)+dim(,W,1,W,2,),证,设,W,1,W,2,W,1,W2,的维数分别是,r,s,m,则,m,r,m,s,.,若,m,0,取,W,1,W,2,的一组基,1,2,m,.,把它扩充成,W,1,的基：,1,2,m,1,2,r,-,m,把它扩充成,W,2,的基：,1,2,m,1,2,s,-,m,现证,1,2,m,1,2,r,-,m,1,2,s,-,m,是,W,1,+,W,2,的基,.,因为,W,1,=,L,(,1,2,m,1,2,r,-,m,),W,2,=,L,(,1,2,m,1,2,s,-,m,),所以,W,1,+,W,2,=,L,(,1,2,m,1,2,r,-,m,1,2,s,-,m,),下证,1,2,m,1,2,r,-,m,1,2,s,-,m,线性无关,.,假设,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,m,m,+,l,1,1,+,l,2,2,+,+,l,r,-,m,r,-,m,+,p,1,1,+,p,2,2,+,+,p,s,-,m,s,-,m,=0,=,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,m,m,+,l,1,1,+,l,2,2,+,+,l,r,-,m,r,-,m,令,=-,p,1,1,-,p,2,2,-,p,s,-,m,s,-,m,由前一等式,W,1,由后一等式,W,2,因此,W,1,W,2,则,可由,1,2,m,线性表示,设,=,q,1,1,+,q,2,2,+,+,q,m,m,则,q,1,1,+,q,2,2,+,q,m,m,=-,p,1,1,-,p,2,2,-,-,p,s,-m,s,-,m,即,q,1,1,+,q,2,2,+,+,q,m,m,+,p,1,1,+,p,2,2,+,+,p,s,-,m,s,-,m,=0,由于,1,2,m,1,2,s,-,m,线性无关，所以,q,1,=,q,2,=,=,q,m,=,p,1,=,p,2,=,=,p,s,-,m,=0,于是,k,1,1,+,k,2,2,+,+,k,m,m,+,l,1,1,+,l,2,2,+,+,l,r,-,m,r,-,m,=0,又因为,1,2,m,1,2,r,-,m,线性无关,所以,k,1,=,k,2,=,=,k,m,=,l,1,=,l,2,=,=,l,r,-,m,0,则,1,2,m,1,2,r,-,m,1,2,s,-,m,线性无关，即为,W,1,+,W,2,的一组基于是,dim(,W,1,+,W,2,)=,r,+,s,-,m,，,即得维数公式,dim,W,1,+dim,W,2,=dim(,W,1,+,W,2,)+dim(,W,1,W,2,),三、性质,（,1,）如果,n,维线性空间,V,的两个子空间,W,1,W,2,的 维数之和大于,n,则,W,1,与,W,2,必有非零的公共向量,.,（,2,）,W,1,W,2,是,V,的既包含 在,W,1,中,又包含在,W,2,中的最大子空间,（,3,）,W,1,+,W,2,是,V,的既包含,W,1,又包含,W,2的,最小子空间,作业,:p270.18(2,3),7,子空间的直和,子空间的直和是和的一个重要的特殊情形,.,定义,设,W,1,W,2,是线性空间,V,的两个子空间,如果和,W,1,+,W,2,中每个向量,的分解,(,表示,),式,=,1,+,2,，,1,W,1,，,2,W,2,，,是唯一的,这个和就称为,直和,记为,W,1,W,2,例,在,3,维几何空间,R,3,中,W,1,表示一条通过原点的直线,W,2,表示一张通过原点且与垂直的平面,.,则和,W,1,+,W,2,=R,3,就是直和,即,W,1,W,2,=R,3,.,定理,和,W,1,+,W,2,是直和的充分必要条件是,V,中的零向量分解成,0=,1,+,2,1,W,1,2,W,2,的分解式是唯一的,.,即由,1,+,2,=0,1,W,1,2,W,2,可推出,1,=,2,=0.,证,必要性显然,.,充分性 设,W,1,+,W,2,中向量,有两个分解式,=,1,+,2,=,1,+,2,i,i,W,i,(,i,=1,2),于是,(,1,-,1,)+(,2,-,2,)=0,由假设,i,-,i,=0,即向量,的分解式唯一,推论,和,W,1,+,W,2,是直和的充分必要条件是,W,1,W,2,=0.,证,必要性,.,任取,W,1,W,2,.,则零向量可表成,0=,+(-,),W,1,-,W,2,.,因为是直和,所以,=-,=0.,即,W,1,W,2,=0.,充分性,由,0=,1,+,2,1,W,1,2,W,2,则,1,=-,2,W,1,W,2,=0,所以,1,=0,2,=0-,1,=0,即任意向量,分解式唯一,.,W,1,+,W,2,是直和,.,定理,W,1,+,W,2,是直和的充分必要条件是,dim(,W,1,+,W,2,)=dim,W,1,+dim,W,2,证,由维数公式,dim,W,1,+dim,W,2,=dim(,W,1,+,W,2,),+dim(,W,1,W,2,),由推论,W,1,+,W,2,是直和的充分必要条件是,W,1,W,2,=0,这与,dim(,W,1,W,2,)=0,等,价,.,也就是与,dim(,W1,+,W,2,)=dim,W,1,+dim,W,2,等价,.,定理,设,U,线性空间,V,的一个子空间,那,么一定存在一个子空间,W,使,V,=,U,W,.,注：,这里的,W,叫做,U,的补空间,证,取,U,的一组基,1,2,m,.,把它扩充为,V,的一组基,1,2,m,m,+,1,m,+,2,n,.,令,W,=,L,(,m,+,1,m,+,2,n,).,W,即满足要求,.,推广到多个子空间的情形,.,定义,设,W,1,W,2,W,S,都是线性空间,V,的子空间,.,若和,W,1,+,W,2,+,+,W,S,中每一个向量,的分解式,=,1,+,2,+,+,S,，,i,W,i,(,i,=1,2,s,),是唯一的,就称为,直和,.,记为,W,1,W,2,W,S,.,定理,设,W,1,W,2,W,S,是,V,的子空间,下述等价,:,(,1,),W,i,是直和；,(2,),零向量的表法唯一；,(3,),(,i,=1,2,s,),(4)dim,W,i,=,dim,W,i,作业,:p270.19,20,21.,8,线性空间的同构,定义,设,V,与,V,是数域,P,上的两个线性空间,是,由,V,到,V,的一个一一对应,(,双射,),如果,满足如下条件,:,(1),(,+,)=,(,)+,(,),，,V,k,P,(2),(,k,)=,k,(,),，,则称,为,同构映射,.,如果存在一个由,V,到,V,的同构映射,则称,V,与,V,同构,记作,V,V.,例,1,设,V,是数域,P,上的,n,维线性空间,1,2,n,是线性空间,V,的一组基,则,:,V,P,n,=,a,1,1,+,a,2,2,+,+,a,n,n,|(,a,1,a,2,a,n,),是一个同构映射.,例2,如下,P,n,n,到其自身的映射,:,P,n,n,P,n,n,A,|,A,T,是一个同构映射.,例,3,设,V,1,是实数域,R,看作自身上的线性空间，,V,2,是全体正实数的集合,R,+,看作实数域,R,上的线性空间,.,其中,V,2,中的加法,与数乘,定义为,a,b,=,ab,k,a,=,a,k,则,:,V,1,V,2,a|,2,a,是一个同构映射,.,其逆映射,-1,也是同构映,射,-1,:,V,2,V,1,b|,log,2,b,(,b,R,+,).,例,4,复数域,C,看作实数域,R,上的线性空间,则,:C,R,2,a,+,bi,|,(,a,b,),是一个同构映射,.,若,W,1,表示,C,的由全体,实数组成的子空间,W,2,表示由全体纯虚数,和,0,组成的子空间,.,则,C=,W,1,W,2,(,W,1,)=(,a,0,),a,R,(,W,2,)=(,0,b,),b,R,(,W,1,),(,W,1,),都是,R,2,的子空间,且,R,2,=,(,W,1,),(,W,1,),例,5,设,V,是,P,x中全部常,数项为零的,多项式所成的子空间,是无限维的非平,凡子空间,则,:,P,x,V,f,(,x,),|,xf,(,x,),是一个同构映射,.,注,无限维线性空间可以与它的一个非平凡子 空间同构,;,有限维线性空间则不可能,.,同构性质,命题,1,同构关系是线性空间之间的等价关系,.,即满足,(1),自反性,(2),对称性,(3),传递性,命题,2,设,是数域,P,上线性空间,V,到,V,的同构 映射,则,(1),(,0,)=0,(2),(-,)=-,(,),(3),(,k,1,1,+,+,k,s,s,)=,k,1,(,1,)+,+,k,s,(,s,),命题,3,设,是数域,P,上线性空间,V,到,V,的同构映射,1,2,S,是,V,中的向量,则,1,2,S,线性相关当且仅当它们的像,(,1,),(,2,),(,s,),线性相关,.,命题,4,设,是数域,P,上线性空间,V,到,V,的同构 映射,W,是,V,的非空子集,则,W,是,V,的子空间当且仅当,W,在,下的象集合,(,W,)=,(,),W,是,V,的子空间,且,W,与,(,W,),维数相同,.,命题,5,(1),同构映射的逆映射还是同构映,射,.,(2),两个同构映射的乘积,(,合成,),还,是同构 映射,.,定理,数域,P,上的两个有限维线性空,间,V,和,V,同构的充分必要条件是它们,的维数相同,.,