第八章非线性系统.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七章,非线性系统,严格地讲，所有实际物理系统都是非线性的，总是存在诸如死区、饱和、间隙等非线性现象。所谓线性系统只是在一定的工作范围内，非线性的影响很小，以致可以忽略而已。对于相当多数的闭环系统，可采用第二章所述的线性化方程解决非线性问题；但也有一定数量的非线性问题不能这样处理，只能采用其他的方法。,一、典型非线性特性的种类,饱和特性,典型非线性特性,2,死区特性,死区非线性对系统产生的主要影响有：,1,）使系统稳态误差增大；,2,）对动态性能影响的利弊由具体系统的结构和参数确定，有时会抑制系统振荡；而有时又能导致产生自持振荡。,3,）能滤除从输入端引入的小幅干扰；,4,）当输入为阶跃、斜坡等函数时，死区会引起输出在时间上的滞后。,3,滞环特性,4,继电器特性,理想继电器,死区继电器,对于实际继电器，当流经它线圈的电流达到某一定值时，方能使继电器的衔铁吸合。,4,继电器特性,鉴于继电器的吸合电压一般都大于其释放电压，故继电器还具有回环的特性。,继电器非线性特性一般会使系统产生自持振荡，甚至导致其不稳定，并且也会使系统的稳态误差增大。,二、非线性系统的特征,（,1,）系统的输出与输入间不存在着比例关系，而且也不适用叠加原理。,（,2,）系统的稳定性也,与输入信号大小和系统初始条件有关。,对线性系统，其稳定性与输入信号大小及初始条件无关，只取决于系统的结构和参数。,对非线性系统，其稳定性则可能与输入信号大小和初始条件有关。例如，小初始偏差时系统是稳定的，大偏差可能不稳定，或者相反。,二、非线性系统的特征,0,t,x,（,3,）,自持振荡（极限环）,而非线性系统即使在没有外界输入信号作用时，系统也可能产生具有固定频率和幅值的稳定振荡。其振幅和频率由系统本身的特性所决定。,（,4,）非线性系统的畸变现象。,对线性系统，当输入为正弦信号时，其稳态输出也是同频正弦量，可以用频率特性来描述。,对非线性系统，当输入为正弦信号时，稳态输出通常是非正弦周期函数，甚至还会出现分谐波振荡或跳跃谐振等现象。这是一种频域分析法，其实质是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化，然后用频率法的结论来研究非线性系统。它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，这种方法不受系统阶次的限制。,三、非线性系统的分析方法,1,、描述函数法,相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法。通过在相平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。这是一种时域分析法，但仅适用于一阶和二阶系统。,2,、相平面法,这是一种对线性和非线性系统都适用的方法，将在现代控制理论中讲述。,3,、李亚普诺夫第二法,本章以系统分析为主，而且是以稳定性分析为核心内容，着重介绍在工程上广泛应用的,描述函数法,和,相平面法,。,描述函数,描述函数法是非线性系统的一种近似分析方法。首先通过描述函数将非线性元件线性化，然后应用线性系统的频率法对系统进行分析。分析内容主要是非线性系统的稳定性和自振荡问题，一般不能给出时间响应的确切信息。,一、描述函数的定义,1,、描述函数的应用条件,-,由于描述函数主要用于研究非线性系统的自持振荡，而自持振荡只与非线性系统的结构和参数有关，与外施信号（或初始条件）无关,一、描述函数的定义,1,、描述函数的应用条件,-,一、描述函数的定义,1,、描述函数的应用条件,-,2,、描述函数的定义,-,因为系统的线性部分具有良好的低通滤波特性，能把输出中的各项高次谐波滤掉，只剩下一次谐波项，即,二、描述函数的求法,0,0,1,、理想继电器特性,奇函数,0,0,2,、饱和特性,奇函数,0,0,2,、饱和特性,奇函数,表,8-1,用描述函数法分析非线性控制系统,由于描述函数仅表示非线性元件在正弦输入信号作用下，其输出的基波分量与输入正弦信号间的关系，因而它不能像线性系统中的频率特性那样能全面地表征系统的性能，只能近似地用于分析非线性系统的稳定性和自持振荡。,一、非线性系统的稳定性分析,-,当系统产生自持振荡时，其闭合路径上的各点都会出现相同频率的正弦振荡信号。,-,一、非线性系统的稳定性分析,-,当系统产生自持振荡时，其闭合路径上的各点都会出现相同频率的正弦振荡信号。,-,一、非线性系统的稳定性分析,-,当系统产生自持振荡时，其闭合路径上的各点都会出现相同频率的正弦振荡信号。,-,此时若把断开点接上，即使撤销外施信号,y,1,，系统的振荡也能持续下去。这就是系统产生自持振荡的条件。,描述函数的负倒特性,非线性系统,线性系统,0,0,0,自持振荡,稳定,不稳定,自振荡的稳定性,0,二、自振荡的分析和计算,-,0,自振荡稳定,习题,8-2,习题,8-3,-,0,0,0,相平面法,一、相平面法的基本概念,0,0,0,0,0,0,相平面,相轨迹,0,一族椭圆，自持振荡，,初始条件不同，椭圆大小也随之变化,0,二、相平面图的绘制,1.,解析法,-,例7-5,绘制系统相平面图,0,2.,图解法,表示相平面上相轨迹的斜率,等倾线方程,即,等倾线方程,当等倾线为直线时，应用等倾线 画相平面图是很方便的。,3.,实验法,三、奇点和奇线,引入相平面的概念，不仅是求取相轨迹，而且要通过对相平面的研究，确定系统所有可能的运动状态及性能。因此需要进一步研究相平面图的基本特征，从而找出相平面图与系统的运动状态和性能之间的关系。,系统的相平面图有以下两个基本特征。,奇点,奇线,奇点一定在 轴上，即速度为零，加速度也为零。,有了奇点的一些概念，便可以利用对奇点的认识较快的画出相轨迹的草图，其步骤为：,1,、求出奇点；,2,、在奇点附近通过线性化判断奇点类型（性质），并在奇点附近画出相应的相轨迹线；,3,、在远离奇点处，用等倾线等方法完成相轨迹图。,-2 0,-2 0,忽略,将,相平面分成了两个不同的区域。故称分隔线,-2 0,非线性系统的运动状态和性能与初始条件有关,0,从相平面图上看，稳定极限环把相平面划分成两个区域。内部的相轨迹随时间的增加是发散的，故为不稳定区；而外部的相轨迹随时间的增加收敛于这个极限环，故为稳定区。,设计时，应尽量减小这种极限环，以满足对稳态误差的要求。,0,若初始条件在环内，则系统状态将趋于平衡点。反之，系统状态将远离平衡点。所以具有不稳定极限环的系统，其平衡状态小范围是稳定的，大范围是不稳定的。,设计时，应尽量增大极限环。,0,被极限环划分的两区域都不稳定，因此系统将具有振荡发散状态。,0,两区域都稳定，因此系统的运动状态最终将趋于环内平衡点，不会产生自振荡。,0,里面是不稳定极限环，而外面是稳定极限环。当系统的初始状态处于不稳定的极限环的内部时，系统能稳定工作。而当初始条件处于不稳定的极限环的外部时，则系统将产生自振荡，这个自振荡由稳定极限环所决定。,应当指出，对于实际的非线性系统，可能有极限环，也可能没有极限环，有的系统还可能有几个极限环。,非线性系统的相平面法分析,系统的相平面图是系统微分方程解的一种几何表示，它与系统的运动状态和性能有着密切的联系。本节将讨论如何利用相平面法分析非线性系统，以及由相平面图求取系统时间解的方法。,一、用相平面法分析非线性系统,例7-8,-,0,0,0,0,0,0,例7-9,-,-,-,0,I,II,由图可知，这是一个中心点，系统将产生周期运动。注意，这个周期运动不是自振荡。,-,-,0,I,II,