中南大学概率论.ppt

为了对离散型的和连续型的随机变量,以及更广泛类型的,随机变量给出一种统一的描述方法，引进了,分布函数,的概念,.,f,(,x,),x,o,0.1,0.3,0.6,k,P,K,0,1,2,2.4,随机变量的分布函数,2.4.1,分布函数的概念,|,x,一、定义：,设,X,是一个,r.v,，称,为,X,的分布函数,.,记作,X,F(x),或,F,X,(x),.,如果将,X,看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数,F(x),的值就表示,X,落在区间,的概率,.,问：在上 式中，,X,x,皆为变量,.,二者有什,么区别？,x,起什么作用？,F(x),是不是概率？,X,是随机变量,x,是参变量,.,F(x),是随机变量,X,取值不大于,x,的概率,.,由定义，对任意实数,x,1,x,2,，,随机点落,在区间（,x,1,x,2,的概率为：,P,x,1,X x,2,=P,X x,2,-,P,X x,1,=,F,(,x,2,),-,F,(,x,1,),因此，只要知道了随机变量,X,的分布函数，,它的统计特性就可以得到全面的描述,.,分布函数是一个普通的函数，正是,通过它，我们可以用数学分析的工具来,研究 随机变量,.,二、离散型随机变量的分布函数,设离散型随机变量,X,的概率函数是,P,X=,x,k,=,p,k,k=,1,2,3,则,F(x),=,P,(,X,x,)=,由于,F(x),是,X,取 的诸值,x,k,的概率之和，,故又称,F(x),为累积概率函数,.,当,x,0,时，,X,x,=,，,故,F(x),=0,例,1,，求,F(x).,当,0,x,1,时，,F(x),=,P,(,X,x,)=,P,(,X,=0)=,F(x)=P,(,X,x,),解,:,当,1,x,2,时，,F(x),=,P,(,X,=0)+,P,(,X,=1)=+=,当,x,2,时，,F(x),=,P,(,X,=0)+,P,(,X,=1)+,P,(,X,=2)=1,例,1,，求,F(x).,F(x)=P,(,X,x,),解,:,故,注意右连续,下面我们从图形上来看一下,.,概率函数图,分布函数图,画 分布函,数图不难看出，,F(x),的图形是阶梯状的图形，在,x,=0,，,1,，,2,处有跳跃，其跃度分别等于,P,(,X,=0),P,(,X,=1),P,(,X,=2).,例,2,随机变量,X,具有离散均匀分布，即,P,(,X=x,i,)=1/,n,i,=1,2,，,n,，,x,(1),x x,(2),时，,F(x)=P,(,X x,)=1/,n,x,(2),x x,(3),时，,F(x)=P,(,X x,)=2/,n,显然，,x x,(1),时，,F(x)=P,(,X x,)=0,解：,将,X,所取的,n,个值按从小到大的顺序,排列为：,求,X,的分布函数,.,x,(1),x,(2),x,(n),xk),x x,(k+1),时，,F(x)=P,(,X x,)=,k/n,x x,(n),时，,F(x)=P,(,X x,)=1,于是得,这个结果在数理统计中有用,.,例,2,随机变量,X,具有离散均匀分布，即,P,(,X=x,i,)=1/,n,i,=1,2,，,n,，,求,X,的分布函数,.,三、连续型随机变量的分布函数,即分布函数是密度函数的可变上限的,定积分,.,若,X,是连续型随机变量，,X,f,(x),则,F(x)=P,(,X x,)=,由上式可得，,在,f,(,x,),的连续点,，,下面求一个连续型,随机变量的分布函数,.,例,3,设随机变量,X,的密度函数为,f,(,x,),求F,(,x,).,F(x),=,P,(,X,x,)=,解：,求,F,(,x,).,解：对,x,1,，,F,(,x,)=1,即,2.4.2,分布函数的性质,(1),F(x),非降，即若,x,1,x,2,，则,F(x,1,)F(x,2,),;,(2),F,()=,F(x),=0,(3),F(x),右连续，即,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量,X,的分布函数,.,也就是说，性质,(1)-(3),是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件,.,F,()=,F(x),=1,试说明,F(x),能否是某个,随机变量的分布函数,.,例4,设有函数,F(x),解：,注意到函数,F(x),在 上下降，,不满足性质,(1),，故,F(x),不能是分布函数.,不满足性质,(2),，,可见,F,(,x,),也不,能是,随机变量,的分布函数,.,或者,例,5,在区间,0,，,a,上任意投掷一个质点，以,X,表示这个质点的坐标,.,设这个质点落在,0,a,中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比,，试求,X,的分布函数.,解：设,F(x),为,X,的分布函数，,当,x,a,时，,F(x),=1,当,0,x a,时，,P,(0,X x,)=,kx,(,k,为常数,),由于,P,(0,X a,)=1,ka,=1,，,k,=,1/,a,例,5,在区间,0,，,a,上任意投掷一个质点，以X,表示这个质点的坐标,.,设这个质点落在,0,a,中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比,，试求,X,的分布函数.,这就是在区间,0,，,a,上服从均匀分布的随机变量的分布函数,.,F(x)=P,(,X x,)=,P,(,X,0)+,P,(0,X x,),=,x,/,a,求,F,(,x,).,例6,设,由于,f(x),是分段表达的,求,F(x),时注意分段求.,解：,=,0,1,F(x),对连续型,随机变量，,若已知,F(x),，,我们通过求导也可求出,f(x),，,请看下例,.,即,例7,设,随机变量,X,的分布函数为,(1),求,X,取值在区间,(0.3,0.7),的概率；,(2),求,X,的概率密度,.,解:(1),P,(0.3,X,0,时,(,x,),的值.,当,-,x,0,时,若,N,(0,1),若,X,N,(0,1),由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，,X,的取值几乎全部集中在,-,3,3,区间,内，超出这个范围的可能性仅占不到,0.3%,.,当,X,N,(0,1),时，,P,(|,X,|1)=2,(,1,)-,1,=,0.6826,P,(|,X,|2)=2,(,2,)-,1,=,0.9544,P,(|,X,|3)=2,(,3,)-,1,=,0.9974,三、,3,准则,将上述结论推广到一般的正态分布,时，,可以认为，,Y,的取值几乎全部集中在,区间内,.,这在统计学上称作“,3,准则,”,（三倍标准差原则）,.,我们已经看到，当,n,很大，,p,接近,0,或,1,时，二项分布近似泊松分布,;,如果,n,很大，而,p,不,接近于,0,或,1,，那么可以证明，二项分布近似于正态分布,.,下面我们不加证明地介绍有关,二项分布近似于正态分布,的一个定理，称为,棣莫佛拉普拉斯定理,.,它是第,3,章要介绍的中心极限定理的一个最重要的特殊情况,.,四、二项分布的正态近似,定理,(,棣莫佛拉普拉斯定理）,设随机变量 服从参数,n,p,(,0,p,1,),的二项分布，则对任意,x,，有,定理表明，当,n,很大，,0,p,1,是一个定值时（或者说，,np1-,p,),也不太小时），,二项,变量 的,分布近似正态分布,N,(,np,np,(1-,p,),.,实用中，,n,30,，,np,10,时正态近似的效果较好.,例,1,将一枚硬币抛掷,10000,次，出现正面,5800,次，认为这枚硬币不均匀是否合理,?,试说明理由,.,解,:,设,X,为,10000,次试验中出现正面的次数，,采用正态近似,np,=5000,np,(1-,p,)=2500,若硬币是均匀的，,X,B,(10000，0.5),近似正态分布,N,(0,1).,即,=1,-,(16),0,此概率接近于,0,，故认为这枚硬币不均匀是合理的,.,P,(,X,5800),=1-,PX,5800),近似正态分布,N,(0,1).,例,2,公共汽车车门的高度是按男子与车门,顶头碰头机会在,0.01,以下来设计的,.,设男子,身高,X,N,(,170,6,2,),问车门高度应如何确定,?,解,:,设车门高度为,h,cm,按设计要求,P,(,X h,)0.01,或,P,(,X,h,),0.99,，,下面我们来求满足上式的最小的,h,.,再看一个应用正态分布的例子,:,因为,X,N,(,170,6,2,),故,P,(,X,0.99,所以,=,2.33,即,h,=170+13.98 184,设计车门高度为,184,厘米时，可使,男子与车门碰头,机会不超过,0.01,.,P(,X,h,)0.99,求满足,的最小的,h.,我们介绍的正态分布，,它的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道,.,后面第,3,章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布,.,