第5章方差分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第五章 方差分析,t,检验法适用于样本平均数与总体平均数以及两个样本平均数间的差异显著性检验，但在生产和科学研究中经常会遇到比较多个处理优劣的问题，即需进行多个平均数间的差异显著性检验。,下一张,主 页,退 出,上一张,多个样本平均数间的差异显著性检验，,t,检验法是不适宜的，原因有三：,【,例,5-1】,以淀粉为原料生产葡萄糖过程中，残留的许多糖蜜可用于酱色生产。生产酱色之前应尽可能彻底除杂，以保证酱色质量。今选用,5,中除杂方法，每种方法做,4,次试验，试验结果见表,5-2,，试分析不同除杂方法的除杂效果有无差异？,除杂方法（,A,i,）,除杂量（,x,ij,）,合计（,x,i,.,）,平均,方差,S,i,2,A,1,25.6,24.4,25.0,25.9,100.9,25.2,0.442,A,2,27.8,27.0,27.0,28.0,109.8,27.5,0.277,A,3,27.0,27.7,27.5,25.9,108.1,27.0,0.649,A,4,29.0,27.3,27.5,29.9,113.7,28.4,1.543,A,5,20.6,21.2,22.0,21.2,85.0,21.3,0.330,x.,517.5,表,5-2,不同除杂方法的除杂量,g/kg,例如，一试验包含,5个处理，如采用,t,检验法进行检验，需作,=10,次两两平均数的差异显著性检验；若有,k,个处理，则要作,k,(,k-1,)/,2,次类似的检验。,下一张,主 页,退 出,上一张,1,、检验过程烦琐,2,、无统一的试验误差，试验误差估计的精确性和检验的灵敏性低,对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试验误差的估计值。若用,t,检验法作两两比较，由于每次比较需估计一个 ，故使得各次比较误差的估计不统一，同时没有充分利用资料所提供的信息而使误差估计的精确性降低，从而降低检验的灵敏性。,例如，试验有,5,个处理，每个处理 重复,6,次，共有,30,个观测值。进行,t,检验时，每次只能利用两个处理共,12,个观测值估计试验误差，误差自由度为,2(6-1)=10,；若利用整个试验的,30,个观测值估计试验误差，显然估计的精确性高，且误差自由度为,5(6-1)=25,。可见，在用,t,检法进行检验时，由 于估计误差的精确性低，误差自由度小，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。,下一张,主 页,退 出,上一张,3,、推断的可靠性低，犯,I,型错误的概率增大,即使利用资料所提供的全部信息估计了试验误差，若用,t,检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没有考虑相互比较的两个平均数的秩次问题，因而会增大犯,I,型错误的概率，降低推断的可靠性。,所以，多个平均数的差异显著性检验不宜用,t,检验，须采用方差分析法。,方差分析是将,k,个处理的观测值作为一个整体看待，把观测值总变异的偏差平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的偏差平方和及自由度，进而获得不同变异来源的总体方差估计值；由总体方差估计值构造,F,统计量，计算,F,值，检验各样本所属总体平均数是否相等。,下一张,主 页,退 出,上一张,方差分析,(analysis of variance),是由英国统计学家,R.A.Fisher,于,1923,年提出的。,方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。,1,方差分析的基本原理与步骤,1.1,线性模型与基本假定,假设某单因素试验有,k,个处理，每个处理有,n,次重复，共有,nk,个观测值。试验资料的数据模式如表,5-1,所示。,下一张,主 页,退 出,上一张,下一张,主 页,退 出,上一张,表,5-1,k,个处理每个处理有,n,个观测值的数据模式,表中 表示第,i,个处理的第,j,个观测值,i,=1,2,k,；,j,=1,2,n,）；,下一张,主 页,退 出,上一张,表示第,i,个处理,n,个观测值之和；,表示全部观测值的总和；,表示第,i,个处理的平均数；,表示全部观测值的总平均数；,可以分解为：,表示,第,i,个处理,n,个观测值,的总体平均数。,（,5-1,）,为了比较各处理的影响大小，将 再进行分解，令,（,5-2,）,（,5-3,）,则,5-4,）,其中,表示所有试验观测值,（,nk,个）,总体的平均数；,下一张,主 页,退 出,上一张,a,i,是 第,i,个 处理的效应（,treatment effects,）,表示处理,i,对试验结果产生的影响。显然有,（,5-5,）,ij,是试验误差，相互独立，且服从 正态分布,N,（,0,，,2,）。,叫做,单因素试验的线性模型,（,linear model,）,亦称数学模型。,观察值,x,ij,表示为总平均数,、,处理效应,i,、,试验误差,ij,之,和。,下一张,主 页,退 出,上一张,由,ij,相互独立且服从正态分布,N,（,0,，,2,），,可知各处理,A,i,（,i,=12,，,，,k,）所属总体亦应具正态性，即服从正态分布,N,(,i,，,2,),。,尽管各总体的均数,可以不等或相等，,2,则必须是相等的,（,外界试验条件尽可能保持一致，处理效应才可比,）,。,所以，单因素试验的数学模型可归纳为：,效应的可加性,（,additivity,）、,分布的正态性,（,normality,）、,方差的同质性,（,homogeneity,）。,这是方差分析的前提条件或基本假定。,下一张,主 页,退 出,上一张,若将表,5-1,中的观测值,x,ij,（,i,=1,2,k,；,j,=1,2,n,）,的数据结构（模型）用样本符号来表示，则,（,5-6,）,与（,5-4式比较可知，,分 别是,、（,i,-,）,=,、（,x,ij,-,）,=,的估计值。,下一张,主 页,退 出,上一张,每 个 观 测 值 都包含处理效应（,i,-,或 ），与误差（,或,),，故,kn,个观测值的总变异可分解为处理间的变异和处理内的变异两部分。,由（,5-4,）、（,5-6,）两式可以看出：,1.2,方差分析的基本步骤,1.2.1,偏差平方和与自由度的分解,在方差分析中是用样本方差即均方（,mean squares,）,来度量数据资料的变异程度。,将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要将总均方分解为处理间均方和处理内均方。,下一张,主 页,退 出,上一张,总偏差平方和分解为处理间偏差平方和与处理内偏差平方和两部分；,总自由度：,分解为处理间自由度与处理内自由度两部分来。,（,1,）总偏差平方和的分解,在表,5-1,中，反映全部观测值总变异的总偏差平方和是各观测值,x,ij,与总平均数 的离均差平方和，记为,SS,T,。,即,下一张,主 页,退 出,上一张,说明：,k,，,试验处理个数；,n,，,每个处理的重复数,其中,所以 （,5-7,）,为各处理平均数与总平均数的离均差平方和与重复数,n,的乘积，反映了重复,n,次的处理间变异，称为处理间偏差平方和，记为,SS,t,，,即,下一张,主 页,退 出,上一张,离均差和为零,为各处理内离均差偏差平方和之和，反映了各处理内的变异即,误差,，称为,处理内偏差平方和,或,误差偏差平方和,，记为,SS,e,，,即,于是有,SS,T,=,SS,t,+,SS,e,（,5-8,）,下一张,主 页,退 出,上一张,总偏差平方和,=,处理间偏差平方和,+,处理内偏差平方和,或,=,因素偏差平方和,+,误差偏差平方和,所以,（,2,）总自由度的分解,在计算总偏差平方和时，资料中的各个观测值要受 这一条件的约束，故总自由度等于资料中观测值的总个数减,1,，即,kn-,1,。,总自由度记为,df,T,下一张,主 页,退 出,上一张,各偏差平方和计算公式：,(5-9),其中，,C=/,kn,称为矫正数或修正项。,df,Tkn-,1,在计算处理内平方和时，要受,k,个条件的约束，即 （,i,=1,2,k,。,故处理内自由度为资料中观测值的总个数减,k,，即,kn-k,。,处理内自由度记为,df,e,，,在计算处理间平方和时，各处理均数 要受 这一条件的约束，故处理间自由度为处理数减,1,，即,k,-1,。,处理间自由度记为,df,t,，,下一张,主 页,退 出,上一张,df,t,=k-,1,df,e,=,kn-k,=k(n-,1,),所以,下一张,主 页,退 出,上一张,(5-11),(5-10),因为,综合以上分析：,各部分偏差平方和除以各自的自由度便可得到总均方、处理间均方和处理内均方，分别记为,MS,T,（,或 ）,、,MS,t,（,或 ）和,MS,e,（,或 ）。,下一张,主 页,退 出,上一张,（,5-12,）,即,注意：总均方不等于处理间均方加处理内均方。,【,例,5-1】,以淀粉为原料生产葡萄糖过程中，残留的许多糖蜜可用于酱色生产。生产酱色之前应尽可能彻底除杂，以保证酱色质量。今选用,5,中除杂方法，每种方法做,4,次试验，试验结果见表,5-2,，试分析不同除杂方法的除杂效果有无差异？,除杂方法（,A,i,）,除杂量（,x,ij,）,合计（,x,i,.,）,平均,方差,S,i,2,A,1,25.6,24.4,25.0,25.9,100.9,25.2,0.442,A,2,27.8,27.0,27.0,28.0,109.8,27.5,0.277,A,3,27.0,27.7,27.5,25.9,108.1,27.0,0.649,A,4,29.0,27.3,27.5,29.9,113.7,28.4,1.543,A,5,20.6,21.2,22.0,21.2,85.0,21.3,0.330,x.,517.5,表,5-2,不同除杂方法的除杂量,g/kg,单因素试验，处理数,k,=5,，重复数,n,=4,。各项偏差平方和及自由度计算如下：,矫正数,总偏差平方和,下一张,主 页,退 出,上一张,处理间（不同除杂方法间）的偏差平方和,处理内（误差）的偏差平方和,总自由度,处理间自由度,处理内自由度,用,SS,t,、,SS,e,分别除,以,df,t,和,df,e,便可得到处理间均方,MS,t,及处理内均方,MS,e,。,下一张,主 页,退 出,上一张,假设各处理没有真实差异，那么 和 都是误差方差 的估计量。以 为分母，为分子，求其比值。统计学上把两个均方之比值称为,F,值。即,1.2.2,构造,F,统计量，进行,F,检验,（,1,）,F,统计量构造,F,（,df,1,df,2,）,（,2,）,F,检验,附表,4,是专门为检验 代表的总体方差是否比 代表的总体方差大而设计的。,若实际计算的,F,值大于 ，则,F,值在,=0.05,的水平上显著，我们以,95%,的 可靠性,(,即冒,5%,的风险,),推断 代 表 的总体方差大于 代表的总体方差。这种用,F,值出现概率的大小推断两个总体方差是否相等的方法称为,F,检验,（,F,-test,）。,下一张,主 页,退 出,上一张,在单因素试验结果的方差分析中，无效假设为,H,0,：,1,=,2,=,k,，,备择假设为,H,A,：,各,i,不全相等,，,或,H,0,：,=0,，,H,A,:0,；,F=,MS,t,/MS,e,，,也就是要,判断处理间均方是否显著大于处理内,(,误差,),均方,。,如果结论是肯定的，否定,H,0,；,反之，接受,H,0,。,下一张,主 页,退 出,上一张,实际进行,F,检验时，是将由试验资料所算得的,F,值与根据,df,1,=,df,t,（大均方，即分子均方的自由度）,、,df,2,=,df,e,小,（均方，即分母均方的自由度）,查附表所得的临界,F,值 ，相比较作出统计推断。,若,F,，即,P,0.05,，,不能否定,H,0,，,统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异不显著，,在,F,值的右上方标记“,ns,”,，,或 不标记符号；,若,F,，,即,0.01,P,0.05,，,否定,H,0,，,接受,H,A,，,统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异显著，在,F,值的右上方标记“*”；,若,F,，即,P,0.01,，,否定,H,0,，,接受,H,A,，,统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异极显著，在,F,值 的 右上方标记“*”。,下一张,主 页,退 出,上一张,对于,【,例,5.1】,，,因为,F,=,MS,t,/MS,e,=32.12/0.65=49.42*,；,根据,df,1,=,df,t,=4,，,df,2,=,df,e,=15,查附表,4,，得,F,0.01(4,，,15),4.89,；,因为,F,F,0.01(4,，,15),=4.89,，,P,0.01,表明,5,种不同除杂方法间的除杂效果差异极显著，不同除杂方法的除杂效果不同。,下一张,主 页,退 出,上一张,下一张,主 页,退 出,上一张,在方差分析中，通常将变异来源、偏差平方和、自由度、均方和,F,值归纳成一张,方差分析表,，见表,5-3,。,表,5-3,表,5-2,资料方差分析表,变异来源,偏差平方和,自由度,方差,F,值,F,临界值,显著性,处理间,128.475,4,32.12,49.42,F,0.05,（,4,15),3.05,F,0.01(4,15),=4.89,*,处理内,9.7225,15,0.65,总变异,138.1975,19,F,检验是整体检验。,F,值显著或极显著，否定了无效假设,H,0,，,只能表明试验的总变异主要来源于处理间的变异或因素水平变化引起的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，,但,并不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异不显著。,下一张,主 页,退 出,上一张,因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。,1.2.3,多重比较,统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较,(multiple comparisons),。,多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法,(,LSD,法,),和 最小显著极差,法,(,LSR,法,),，现分别介绍如下。,此法的基本作法是：在,F,检验显著的前提下，先计算出显著水平为,的最小显著差数 ，然后将任意两个处理平均数之差的绝对值 与其比较。,下一张,主 页,退 出,上一张,LSD,法，,least significant difference,),（,1,）最小显著差数法,LSD,法实质是,t,检验法,若 ,LSD,时，则 与 在,水平上差异显著；反之，则在,水平上差异不显著。最小显著差数由下式计算，,式中：为在,F,检验中的,误差自由度,下，显著水平,为,的临界,t,值，为 均 数差异标准误，由下式求得，,下一张,主 页,退 出,上一张,其中 为,F,检验中的误差均方，,n,为各处理的重复数。,(5-17),（,5-16,）,当显著水平,=0.05,和,0.01,时，从,t,值表中查出 和 ，代入（,5-17,）式得：,利用,LSD,法进行多重比较时，基本步骤如下：,(1),列出平均数的多重比较表,各处理按其平均数从大到小自上而下排列；,(2),计算最小显著差数 和,；,(3),将平均数多重比较表中两两平均数的差数与 、比较，作出统计推断。,下一张,主 页,退 出,上一张,对例,5-1,分析，均数之差的标准误,查,t,值表得：,t,0.05(,dfe,),=,t,0.05(15),=2.131,t,0.01(,dfe,),=,t,0.01(15),=2.947,所以，显著水平为,0.05,与,0.01,的最小显著差数为：,下一张,主 页,退 出,上一张,将表,5-6,中的,10,个差数与 ，比较：,小于 者不显著，在差数的右上方标记“,ns,”或不标记符号；,介于 与 之间者显著，在差数的右上方标记“*”；,大于 者极显著，在差数的右上方标记“*”。,表,5-4 5,种除杂方法除杂效果多重比较结果 （,LSD,法）,对于,【,例,5-1】,各处理进行多重比较，结果见表,5-4,。,除杂方法,A,4,28.4,7.1,*,3.2,*,1.4,*,0.9,A,2,27.5,6.2,*,2.3,*,0.5,A,3,27.0,5.7,*,1.8,*,A,1,25.2,3.9,*,A,5,21.3,注：,LSD,0.05,=1.21,，,LSD,0.01,=1.68,结论：除,A,4,与,A,2,、,A,2,与,A,3,差异不显著外，其余方法之间的差异达到显著或极显著水平。,A,4,除杂效果最好，,A,5,效果最差。,1,、,LSD,法实质上就是,t,检验法。,下一张,主 页,退 出,上一张,LSD,法的应用说明：,2,、,LSD,法适用于各处理组与对照组比较而处理组间不进行比较的比较形式。,对于多个处理平均数所有可能的两两比较,，,LSD,法的优点在于方法比较简便，克服一般检验法所具有的某些缺点，但是由于没有考虑相互比较的处理平均数依数值大小排列上的秩次，,故仍有推断可靠性低、犯,I,型错误概率增大的问题,。为克服此弊病，统计学家提出了最小显著极差法,LSR,法。,LSR,法的特点是把平均数的差数看成是平均数的极差，根据极差范围内所包含的处理数（称为,秩次距）,k,的不同而,采用不同的检验尺度，以克服,LSD,法的不足,。在显著水平,上依秩次距,k,的不同而采用的不同的检验尺度叫做,最小显著极差,LSR,。,(,LSR,法，,Least significant ranges),（,2,）最小显著极差法,例如有,10,个要相互比较，先,将,10,个 依其数值大小顺次排列，两 极 端平均数的差数（极差）的显著性，由 其 差 数 是 否 大于秩次,距,k,=10,时的最小显著极差决定,(,为显著，为不显著）；而后是秩次距,k,=9,的平均数的极差的显著性，则由极差是否大于,k,=9,时 的最小显著极差决定,；,直到任何两个相邻平均数的差数的显著性由这些差数是否大于秩次距,k,=2,时的最小显著极差决定为止。因此，有,k,个平均数相互比较，就有,k,-1,种秩次距 （,k,，,k,-1,，,k,-2,，,，,2,），因而需求,得,k,-1,个最小显著极差（,LSR,，,k,）,，,分别作为判断具有相应秩次距的平均数的极差是否显著的标准。,下一张,主 页,退 出,上一张,LSR,法克服,了,LSD,法的不足，但检验的工作量有所增加。常用的,LSR,法有,q,检验法（,q-test,，,Tukey,法）和新复极差法两种（,SSR,法，,Duncan,法）。,式中，,R,为极差，为标准误，其分布依赖于,误差自由度dfe,及,秩次距,k,。,利用,q,检验法进行多重比较时，为了简便起见，是将极差与 比较，从而作出统计推断。,下一张,主 页,退 出,上一张,q,检验法,(,q-,test),Tukey,，,1949,年提出,此法是以统计量,q,的概率分布为基础的。,q,值由下式求得：,（,5-18,）,称为,水平上的最小显著极差,当显著水平,=0.05,和,0.01,时，从 附 表,5,（,q,值表）中根据自由度 及 秩 次 距,k,查出 和 代入（,5-19,）式求得,LSR,即,其中,（,5-19,）,利用,q,检验法进行多重比较时，步骤如下：,（,1,）列出平均数多重比较表；,（,2,）由自由度,df,e,、,秩次距,k,查临界,q,值，计算最小显著极,差,LSR,0.05,k,，,LSR,0.01,k,；,（,3,）将平均数多重比较表中的各极差与相应的最小显著极,差,LSR,0.05,k,，,LSR,0.01,k,比较，作出统计推断。,下一张,主 页,退 出,上一张,因为,MS,e,=0.65,，故标准误 为,根据,df,e,=15,，,k,=2,、,3,、,4,、,5,，由 附表,5,查出,=0.05,、,0.01,水平下临界,q,值，乘以标准误 求得各最小显著极差，所得结果列于表,5-8,。,对于,【,例,5.1】,，各处理平均数,q,法多重比较见表,5-7,。在表,5-7,中，极差,0.9,、,0.5,、,1.8,、,3.9,的秩次距为,2,；极差,1.4,、,2.3,、,5.7,的秩次距为,3,；极差,3.2,、,6.2,的秩次距为,4,；,7.1,的秩次距为,5,。,表,5-7 5,种除杂方法除杂效果多重比较结果 （,q,法）,除杂方法,A,4,28.4,7.1,*,3.2,*,1.4,0.9,A,2,27.5,6.2,*,2.3,*,0.5,A,3,27.0,5.7,*,1.8,*,A,1,25.2,3.9,*,A,5,21.3,dfe,秩次距,k,q,0.05,q,0.01,LSR,0.05,LSR,0.01,15,2,3.01,4.17,1.21,1.683,3.67,4.84,1.48,1.95,4,4.08,5.25,1.64,2.12,5,4.37,5.56,1.76,2.24,表,5-8,q,值及,LSR,值,将表,5-7,中的均数差数（极差）与表,5-8,中相应秩次距,k,下的,LSR,比较，检验结果标记于表中。,检验结果，,A,4,、,A,2,、,A,3,三者差异不显著，其余两两均数间的差异极显著。,随着秩次距的增加，检验尺度,LSR,值也在增加，可以有效地控制犯,型错误的概率。,新复极差法（,new multiple range method,）,Duncan,，,1955,年,此法是由邓肯,(Duncan),于,1955,年提出，故又称,Duncan,法,，此法还,称,SSR,法,(shortest significant ranges),。,新复极差法与,q,检验法的检验步骤相同，唯一不同的是计算最小显著极差时需查,SSR,表（附表,6,）而不是查,q,值表。最小显著极差计算公式为,下一张,主 页,退 出,上一张,（,5-20,）,根据显著水平,、,误差自由度,df,e,、,秩次距,k,，由,SSR,表查得的临界,S,SR,。,=0.05,和,=0.01,水平下 的 最小显著极差为：,对于,【,例,5.1】,分析，,=0.403,，依,df,e,=15,，,k,=2,、,3,、,4,、,5,，由附表,6,查临界,SSR,0.05(15,k),和,SSR,0.01(15,k),值，乘以 ，求得各最小显著极差，所得结果列于表,5-9,。,下一张,主 页,退 出,上一张,dfe,秩次距,k,q,0.05,q,0.01,LSR,0.05,LSR,0.01,15,2,3.01,4.17,1.21,1.68,3,3.16,4.37,1.27,1.76,4,3.25,4.50,1.31,1.81,5,3.31,4.58,1.33,1.85,表,5-9,SSR,值与,LSR,值,表,5-7 5,种除杂方法除杂效果多重比较结果 （,SSR,法）,除杂方法,A,4,28.4,7.1,*,3.2,*,1.4,*,0.9,A2,27.5,6.2,*,2.3,*,0.5,A,3,27.0,5.7,*,1.8,*,A,1,25.2,3.9,*,A,5,21.3,式中,k,为试验的处理数，（,i,=1,2,k,）为第,i,处理的重复数。,当各处理重复数不等时，为简便起见，不论,LSD,法还是,LSR,法，可用下式计算出各处理的平均重复,数,n,0,，,以代替计算 或 时所需,的,n,。,（,5-21,）,以上介绍的三种多重比较方法，其检验尺度关系如下：,当秩次距,k=2,时，取等号；秩次距,k 3,时，取小于号。在多重比较中，,LSD,法的尺度最小,，,q,检验法尺度最大，新复极差法尺度居中。一 般 地 讲，一 个试验资料，究竟采用哪一种多重比较方法，主要应根据否定一个正确的,H,0,和接受一个不正确的,H,0,的相对重要性来决定。,试验要求严格时，用,q,检验法较为妥当,。,生物试验中，由于试验误差较大，,下一张,主 页,退 出,上一张,常采用新复极差法,LSD,法,新复极差法,q,检验法,（,3,）多重比较方法的选择,（,4,）多重比较结果的表示,常用的表示方法有以下两种。,三角形法,此法是将多重比较结果直接标记在平均数多重比较表上，,如表,5-4,所示。,此法的优点是简便直观，缺点是占的篇幅较大。,标记字母法,此法是先将各处理平均数由大到小自上而下排列；然后在最大平均数后标记字母,a,，并将该平均数与以 下各平均数依次相比，凡差异不显著标记同一字母，直到某一个与其差异显著的平均数标记字母,b,；再以标有字母,b,的平均数为标准，与上方比它大的各个平均数比较，凡差异不显著一律,再加标,b,，,直至显著为止；再以标记有字母,b,的最大平均数为标准，与下面各未标记字母的平均数相比，凡差异不显著，继续标记字母,b,，,直至某一个与其差异显著的平均数标记,c,；,；,如此重复下去，直至最小一个平均数被标记比较完毕为止。这样，各平均数间凡有一个相同字母的即为差异不显著，凡无相同字母的即为差异显著。,占篇幅小，在科技文献中常见。,下一张,主 页,退 出,上一张,对于,【,例,5.1】,，多重比较结果用字母标记见表,5-10,。,下一张,主 页,退 出,上一张,表,5-10 5,种除杂方法除杂效果多重比较结果 （,SSR,法）,除杂方法,差异显著性,0.05,0.01,A,4,28.4,a,A,A,2,27.5,ab,A,A,3,27.0,b,A,A,1,25.2,c,B,A,5,21.3,d,C,由表,5-10,可以看出，在,0.05,水平下，,A,4,与,A,2,、,A,2,与,A,3,均数间差异不显著，其余均差异显著；在,0.01,水平下，,A,4,、,A,2,、,A,3,三者均数间差异不显著，其余差异显著。,dfe,秩次距,k,q,0.05,q,0.01,LSR,0.05,LSR,001,15,2,3.01,4.17,1.21,1.68,3,3.16,4.37,1.27,1.76,4,3.25,4.50,1.31,1.81,5,3.31,4.58,1.33,1.85,表,5-9,SSR,值与,LSR,值,表,5-10 5,种除杂方法除杂效果多重比较结果 （,SSR,法）,除杂方法,差异显著性,0.05,0.01,A,4,28.4,a,A,A,2,27.5,ab,A,A,3,27.0,b,A,A,1,25.2,c,B,A,5,21.3,d,C,1,资料总偏差平方和与自由度的分解；,2,列出方差分析表，计算各项均方和,F,值，进行,F,检验，以判断各变异因素的影响大小；,3若,F,检验显著，则进行多重比较。,下一张,主 页,退 出,上一张,方差分析的基本步骤归纳如下,2,单因素试验资料的方差分析,根据各处理内重复数是否相等，单因素试验资料的方差分析又分为重复数相等和重复数不等两种情况。本节各举一例予以说明。,下一张,主 页,退 出,上一张,【,例,5-2】,对某地区,5,类海产食品中无机砷含量进行检测，测定结果见,表,5-12,，其中藻类以干重计，其他,4,类以鲜重计。试分析不同类型海产品的砷含量差异是否显著。,下一张,主 页,退 出,上一张,2.1,各处理重复数相等的方差分析,表,5-12,五种不同类型海产品中无机砷含量,0.57,这是一个单因素试验，,k,5,，,n,=7,。,现对此试验结果进行方差分析：,1,、计算各项平方和与自由度,下一张,主 页,退 出,上一张,2,、列出方差分析表，进行,F,检验,表,5-13,不同类型海产品无机砷含量方差分析表,下一张,主 页,退 出,上一张,下一张,主 页,退 出,上一张,根据,df,1,=,df,t,=4,df,2,=,df,e,=30,查临界,F,值,得：,F,0.05(4,30),=2.69,，,F,0.05(4,30),=4.02,因为,F,F,0.01(4,30),，即,P,0.01,，,表明品种间无机砷含量差异达到,1%,显著水平，有极显著差异。,3,、多重比较 采用新复极差法,SSR,因为,MS,e,=0.0084,，,n,=7,，,所以 为：,根据,df,e,=30,，,秩次距,k,=2,，,3,，,4,，,5,由附表,6,查出,=0.05,和,=0.01,的各临界,SSR,值，乘以,，即得各最小显著极差，所得结果列于,表,5-14,。,下一张,主 页,退 出,上一张,表,5-14,SSR,值及,LSR,值,下一张,主 页,退 出,上一张,表,5-14,不同类型海产品无机砷含量差异重比较结果,(,SSR,法,),下一张,主 页,退 出,上一张,结论：,藻类中无机砷含量极显著高于贝类、软体类、甲壳类以及鱼类；贝类、软体类、甲壳类,3,种海产品无机砷含量差异不显著，但均极显著高于鱼类。,类型,平均数,/,（,mg/kg,）,差异显著性,=,0.05,=,0.01,藻类（,D,）,1.341,a,A,贝类（,B,）,0.637,b,B,软体类（,E,）,0.636,b,B,甲壳类（,C,）,0.613,b,B,鱼类（,A,）,0.393,c,C,设处理数为,k,；,各处理重复数为,n,1,，,n,2,，,，,n,k,；,试验观测值总数,为,N,=,n,i,。则,下一张,主 页,退 出,上一张,2.2,各处理重复数不等的方差分析,（,5-22,）,（,5-23,）,修正项,1,平方和与自由度的分解,2,多重比较,因为各处理重复数不等，应先计算出平均重复次数,n,0,来代替标准误 中的,n,，,下一张,主 页,退 出,上一张,【,例,5-3】,在食品质量检查中，对,4,种不同品牌腊肉的酸价进行了随机抽样检测，结果见表,5-16,，试分析,4,种不同品牌腊肉的酸价指标有无差异。,下一张,主 页,退 出,上一张,品牌（,Ai,）,酸价（,x,ij,）,x,i,.,n,i,A1,1.6,1.5,2.0,1.9,1.3,1.0,1.2,1.4,11.9,1.49,8,A2,1.7,1.9,2.0,2.5,2.7,1.8,12.6,2.10,6,A3,0.9,1.0,1.3,1.1,1.9,1.6,1.5,9.3,1.33,7,A4,1.8,2.0,1.7,2.1,15,2.5,2.2,13.8,1.97,7,47.6,28,x,i,.,表,5-16 4,种品牌腊肉酸价检测结果,处理数,k,=4,，各处理重复数不等。,方差分析如下：,下一张,主 页,退 出,上一张,（,1,）计算各项偏差平方和与自由度,下一张,主 页,退 出,上一张,临界,F,值为：,F,0.05(3,24),=3.01,，,F,0.01(3,24),=4.72,，,因为品牌间的,F,值,为,7.287,F,0.01(3,24),，故,P,0.01,，,表明,4,个品牌腊肉的酸价有极显著差异。,下一张,主 页,退 出,上一张,（,2,）列出方差分析表，进行,F,检验,表,5-17 4,个品牌腊肉酸价方差分析表,变异来源,SS,df,MS,F,值,显著性,品牌间,2.8027,3,0.9342,7.287,*,误差,3.0773,24,0.1282,总变异,5.8800,27,因为各处理重复数不等，应先计算出平均重复次数,n,0,，,下一张,主 页,退 出,上一张,（,3,）多重比较,那么，标准误为：,根据,df,e,=24,，秩次距,k,=2,3,4,，从附表,5,中查出,=0.05,与,=0.01,的临界,q,值，计算最小显著极差，所得结果列于,表,5-18,。,下一张,主 页,退 出,上一张,dfe,秩次距,k,q,0.05,q,0.01,LSR,0.05,LSR,0.01,24,2,2.92,3.96,0.396,0.537,3,3.53,4.55,0.479,0.617,4,3.90,4.91,0.529,0.666,表,5-18 q,值及,LSR,值,表,5-19 4,个种品牌腊肉酸价多重比较（,q,法）,下一张,主 页,退 出,上一张,多重比较结果表明，,A,2,与,A,4,、,A,1,与,A,3,在,5,水平上差异不显著，但,A,2,，,A,4,与,A,1,，,A,3,在,5%,水平上差异显著，即,A,2,，,A,4,的酸价高于,A,1,，,A,3,；,A,2,，,A,4,，,A,1,在,1%,上差异不显著，但,A,2,，,A,4,与,A,3,差异显著，,A,1,与,A,3,在,1,上差异不显著。,品牌,x,i,.,差异显著性,=0.05,=0.01,A,2,2.10,a,A,A,4,1.97,a,A,A,1,1.49,b,AB,A,3,1.33,b,B,4,两因素试验资料的方差分析,两因素试验按水平组合的方式不同，分为,交叉分组,和,系统分组,两类，这里仅以,两因素交叉分组资料,为例来说明如何进行方差分析。,下一张,主 页,退 出,上一张,考查两个因素对试验指标的影响情况,4.1,交叉分组资料的方差分析,设试验考察,A,、,B,两个因素，,A,因素,分,a,个水平,，,B,因素,分,b,个水平。,所谓交叉分组是指,A,因素每个水平与,B因素的每个水平都要搭配，两者交叉搭配形成,a,b,个水平组合即处理 ，试验因素,A,、,B,在试验中处于平等地位,。如果将试验单元分成,a,b,个组，每组随机接受一种处理，因而试验数据也按两因素两方向分组，这种试验数据资料称为两向分组资料，也叫交叉分组资料。这种试验以各处理是无重复观测值还是有重复观测值又分为两种类型。,对于,A,、,B,两个试验因素的全部,a,b,个水平组合，每个水平组合只有一个观测值（无重复），全试验共有,a,b,个观测值，其数据模式如,表,5-20,所示。,下一张,主 页,退 出,上一张,4.1.1,两因素无重复试验资料的方差分析,表,5-20,两因素无重复观测值的试验数据模式,注：,A,因素有,a,个水平，,B,因素有,b,个水平，共计有,ab,个水平组合，每一组合观测一次，有,ab,个观测值（表,5-20,），,x,ij,为,A,的第,i,水平与,B,的第,j,水平组合观测值。,A,的第,i,水平,b,个观测值之和,A,的第,i,水平,b,个观测值的平均数,B,的第,j,水平,a,个观测值之和,B,的第,j,水平,b,个观测值的平均数,ab,个观测值的总和,ab,个观测值的总平均数,两因素无重复观测值试验资料的数学模型为：,式中，,为总平均数；,下一张,主 页,退 出,上一张,(5-26),i,，,j,分别为,A,i,、,B,j,的效应；,i,=,i,-j,=,j,-,，,i,、,j,分别为,A,i,、,B,j,观测值总体平均数，,且,i,=0,，,j,=0,；,ij,为随机误差，相互独立，且服从,N,(0,，,2,),交叉分组两因素无重复观测值的试验，,A,因素的每个水平有,b,次重复，,B,因素的每个水平有,a,次重复，每个观测值同时受到,A,、,B,两因素及随机误差的作用。因此全部,a,b,个观测值的总变异可以分解为,A,因素水平间变异,、,B,因素水平间变异及试验误差三部分；自由度也相应分解。,下一张,主 页,退 出,上一张,偏差平方和与自由度的分解如下：,(5-27),矫正数,总平方和,A,因素偏差平方和,B,因素偏差平方和,5-28),各项偏差平方和与自由度的计算公式为,:,误差平方和,SS,e,=,SS,T,-,SS,A,-,SS,B,总自由度,df,T,=ab-,1,A,因素自由度,df,A,=a-,1,B,因素自由度,df,B,=b-,1,误差自由度,df,e,=,df,T,-,df,A,df,B,=(,a-,1)(b-1),相应均方为,【,例,5-4】,某厂现有化验员,3,人，担任该厂牛奶酸度（,T,）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验，连续,10,天的检验分析结果见表,5-22,。试分析,3,名化验员的化验技术有无差异，以及每天的原料牛奶酸度有无差异（新鲜牛奶的酸度不超过,20 T,）。,化验员,B