第三章电路.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,电路分析的一般方法,:,系统地分析和计算线性电路的方法,选取电路变量,(,电压和,/,或电流,),根据,KCL,、,KVL,及,元件的,u,i,关系，建立电路方程,3.,解电路方程,第,3,章,电阻电路的一般分析方法,特点,:,具有,普遍性,和,全面性,适用的电路,:,线性,电阻网络,的直流稳态解、交流电路的稳态分析和动态电路运算法分析，并主要用于复杂电路的求解。,电路分析的一般方法的步骤,:,根据列方程时所选变量的不同可分为,支路法、回路电流法,和,结点电压法。,重点：,熟练掌握电路方程的列写方法：,支路电流法,回路电流法,结点电压法,3.3,支路电流法,3.4,网孔电流法,3,.6,结点电压法,目录,3.1,电路的图,3.2,KCL,和,KVL,的独立方程数,3.5,回路电流法,3-1,电路的,图,电路图,F(figure),电路的,图,G(graph),确定支路内容,;,支路用一线段表示,;,结点用,表示,拓扑图,R,1,R,2,R,3,R,4,R,5,R,6,u,s,6,u,s,3,i,s,5,例:,选取一个元件作为一条支路,则有,9,条支路,6,个结点,G,1,R,1,R,2,R,3,R,4,R,5,R,6,u,s,6,u,s,3,i,s,5,选取,(,R,3,u,s,3,),为一条支路,选取,(,R,5,i,s,5,),为一条支路,选取,(,R,6,u,s,6,),为一条支路,其余电阻各为一条支路,则有,6,条支路,4,个结点。,G,2,支路内容不同,得到不同的图,R,1,R,2,R,3,R,4,R,5,R,6,u,s,6,u,s,3,i,s,5,约定：,2.,移去支路可保留结点，允许孤立结点存在。（注意与实体电路的差异）。,1.,移去结点同时移去相关支路，支路必须终端在结点上。,图的,定义：,拓扑图,G,是结点与支路的集合（顶点与边的集合）,有向图,：,指定了每条支路方向的图,G,。（,支路的方向即为电路中相应支路的电流方向,且,u,与,i,为关联参考方向）,例如,连通图,:,G,的任意二结点之间至少存在一条路径,回路,:,G,的闭合路径，但除起点和终,点外，经过的其他结点都相异,不是连通图的例子,回路不包围任何支路,称为,网孔,。,树,:,图,G,的一个连通子图,用,T,表示。,例:,含,G,的全部结点,;,不含回路,T,包含回路,不连通,3,2,4,3,2,1,2,4,3,G,1,2,3,4,5,6,选树,T,如图,连通图,G(n,b),任一树的树支数,=n1,，,连支数,=b(n1).,连支,：,不属于,T,的支路,1,5,6,，则支路,2,3,4,为树支,如支路,1,5,6,树,支,：,图,G,中构成树,T,的支路,G,1,2,3,4,5,6,T,32,4,3-2 KCL,和,KVL,的独立方程数,一般地,：,n,个结点的电路只能有,n-1,个独立的,KCL,方程。,1.KCL,的独立方程数,:,:,:,:,方程的特点,:,每一支路电流只出现在两个方程中,且一次,为正,一次为负。,4,个方程相加，结果为零，这表明,4,个方程不是相互独立。,可以证明，独立方程数是,3,。,G,1,2,3,4,5,6,2.KVL,方程的独立数,问题,1,：,一个图,G(n,b),可以有很多回路，因此可以写出很多,KVL,方程。,独立的方程数是多少,？,回路,1,（,1,2,3,）,回路,2,（,3,4,5,）,回路,3,（,1,2,4,5,）,回路,1,+回路,2,=,回路,3,独立的回路数是多少,？,1,2,3,4,5,6,独立回路的充分条件：,每选一个新回路，至少含有一条其它回路没有的新支路。,问题,2,:,如何选取一组独立回路,?,回路,1,（,1,2,3,）,回路,3,（,2,4,6,）,回路,2,（,1,2,4,5,）,所以,选取的,3,个回路相互独立,经验方法,1,2,3,4,5,6,单连支回路,(,基本回路,):,仅含一个连支其余为树支的回路。,单连支回路一定独立。,（每个回路都含新支路）,l,个,单连支回路构成基本回路组，所以,:,KVL,的独立方程数,=,电路的独立回路数,l,=b-n+1,单连支回路的选取方法,:,选定一个树,逐条加入连支,加入一条连支,形成一个只含该连支,且其余支路均为树支的回路。这样，共形成,l,个独立回路,选取独立回路的系统方法,单连支回路的选取方法,3,1,2,例：选,定一个,树,T,如,图：,加入支路,1,这条连支形成回路,（,1,2,3,）,加入支路,4,这条连支形成回路,（,3,4,5,）,加入支路,6,这条连支形成回路,（,2,3,5,6,）,G,1,2,3,4,5,6,2,3,5,3,5,4,2,3,5,6,对于平面电路,它的网孔就是一组独立回路,是平面电路,平面电路：,可画入一个平面而不发生支路交叉的电路。,非平面电路：,在平面上无论将电路怎样画，总有支路相互交叉。,总有支路相互交叉,是非平面电路,网孔：,平面图的一个自然的“孔”，它限定的区域内不再有支路。,独立方程数,:,KCL:n-1,KVL:b-n+1,共,b,个方程数,结论,:,例:,b,=8,，,n,=5,，,l,=b,n+1,网孔数,4,1,4,3,2,3.3,支路电流法,(branch current method),举例说明：,支路电流法,：,以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,u,1,=,R,1,i,1,，,u,4,=,R,4,i,4,，,u,2,=,R,2,i,2,，,u,5,=,R,5,i,5,，,u,3,=,R,3,i,3,，,u,6,=,u,S,+,R,6,i,6,(1),i),确定支路,则,b,=6,n,=4;,写出支路方程,:,标定各支路电流参考方向,并取支路电压的参考向与支路电流的为关联参考方向,;,u,6,R,3,i,1,R,1,R,2,R,4,R,5,i,2,i,3,i,4,i,5,1,2,3,4,+,R,6,i,6,u,S,出为正，进为负,(2),结点,：,i,1,+,i,2,i,6,=0,结点,：,i,2,+,i,3,+,i,4,=0,结点,：,i,4,i,5,+,i,6,=0,(ii),选取结点,为参考结点，,对其余结,点，根据,KCL,列写方程,:,u,6,R,3,i,1,R,1,R,2,R,4,R,5,i,2,i,3,i,4,i,5,1,23,4,+,R,6,i,6,u,S,(iii),选定,l,=b-n+1,个独立,回路，根据,KVL,，,列写回路电压方程,:,回路,1,：,u,1,+,u,2,+,u,3,=0,(3),回路,3,：,u,1,+,u,5,+,u,6,=0,回路,2,：,u,3,+,u,4,u,5,=0,将,(1),式代入（,3,）得：,R,1,i,1,+,R,2,i,2,+,R,3,i,3,=0,R,3,i,3,+,R,4,i,4,R,5,i,5,=0,R,1,i,1,+,R,5,i,5,+,R,6,i,6,u,S,=0,（4）,u,1,=,R,1,i,1,，,u,4,=,R,4,i,4,，,u,2,=,R,2,i,2,，,u,5,=,R,5,i,5,，,u,3,=,R,3,i,3,，,u,6,=,u,S,+,R,6,i,6,(1),u,6,R,3,i,1,R,1,R,2,R,4,R,5,i,2,i,3,i,4,i,5,1,2,3,4,+,R,6,i,6,u,S,3,2,1,i,1,+,i,2,i,6,=0,i,2,+,i,3,+,i,4,=0,i,4,i,5,+,i,6,=0,KCL,R,1,i,1,+,R,2,i,2,+,R,3,i,3,=0,R,3,i,3,+,R,4,i,4,R,5,i,5,=0,R,1,i,1,+,R,5,i,5,+,R,6,i,6,u,S,=0,KVL,将（,2,）式和4),式联立得到支路电流方程。,解得支路电流后，再返代入（,1,）式中，即可解得支路电压。,讨论,:,方程,(4),可写为如下方程,(5),的一般形式,:,回路中：,若,i,k,的方向与回路方向一致,则,R,k,、,i,k,前取“,+”,号,反之取“,”号,;,若,u,sk,的方向与回路方向一致,u,sk,前,取“,”,反之取“,+”,号。,回路中电阻电压的代数和,回路中电压源电压,的代数和,(5),支路法的一般步骤,：,(1),标定各支路电流（电压）的参考方向；,(2),选定,(,n,1),个,结,点,，,列写其,KCL,方程；,(3),选定,b,(,n,1),个独立回路，列写其,KVL方程,(,直接写成方程,（,5,）,的形式,),；,(4),求解上述方程，得到,b,个支路电流；,(5),进一步计算支路电压和进行其它分析。,支路法的特点,：,支路电流法是最基本的方法，在方程数目不多的情况下可以使用。由于支路法要同时列写,KCL,和,KVL,方程，,所以方程数较多，,手工求解,比较繁琐。,节点,a,：,I,1,I,2,+I,3,=0,(1),n,1=1,个,KCL,方程：,解:,(2),b,n,+1=2,个,KVL,方程,(,R,k,i,k,=,U,s,k,),：,R,2,I,2,+R,3,I,3,=,U,S2,R,1,I,1,R,2,I,2,=,U,S1,U,S2,0.6I,2,+,24,I,3,=,117,I,1,0.6,I,2,=13,1,2,例,1.,U,S1,=130V,U,S2,=117V,R,1,=1,R,2,=0.6,R,3,=24,。,求各支路电,流及各电压源发出的功率。,+,I,1,I,3,U,S1,U,S2,R,1,R,2,R,3,b,a,+,I,2,(3),联立求解,方程,，即,：,I,1,0.6,I,2,=13,I,1,I,2,+I,3,=0,0.6,I,2,+,24,I,3,=,117,解之得,I,1,=10 A,I,3,=,5 A,I,2,=5 A,(4),功率分析：,P,U,S1,发,=,U,S1,I,1,=130,10=1300 W,P,U,S2,发,=,U,S2,I,2,=117,(5)=585 W,验证功率守恒：,P,R,1,吸,=,R,1,I,1,2,=,100 W,P,R,2,吸,=,R,2,I,2,2,=,15 W,P,R,3,吸,=,R,3,I,3,2,=60,0 W,P,发,=715 W,P,吸,=715 W,P,发,=,P,吸,b,=5,n,=3,KCL,方程：,-,i,1,-,i,2,+,i,3,=0 (1),-,i,3,+,i,4,-,i,5,=0 (2),R,1,i,1,-,R,2,i,2,=,u,S,(3),KVL,方程：,解:,i,5,=,i,S,(6),R,4,i,4,u,(5),R,2i,2,+,R,3,i,3,+,R,4,i,4,=0 (4),R,1,i,1,-,R,2,i,2,=,u,S,(3),i,5,=,i,S,(5),R,2,i,2,+,R,3,i,3,+,R,4,i,4,=0 (4),例,2.,列写如图电路的支路电流方程。,+,u,i,1,i,3,u,S,i,S,R,1,R,2,R,3,b,a,+,i,2,i,5,i,4,c,R,4,2,3,1,解:,方程列写分两步：,(1),先将受控源看作独立源 列方程；,KCL,方程：,-,i,1,-,i,2,+,i,3,+,i,4,=0 (1),-,i,3,-,i,4,+,i,5,i,6,=0 (2),例,3.,列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。,u,2,u,2,i,1,i,3,u,S,i,1,R,1,R,2,R,3,b,a,+,+,i,2,i,6,i,5,u,c,i,4,R,4,+,R,5,+,(2),将控制量用方程变量表示，并代入,(1),中所列的方程，消去中间变量。,KVL,方程：,R,1,i,1,-,R,2,i,2,=,u,S,(3),补充方程：,i,6,=,i,1,(7),u,2,=,-,R,2,i,2,(8),1,2,4,3,注意：,写复杂电路方程时尤其要注意方程数必须等于变量数这一基本数学要求。,R,5,i,5,=,u,(6),R,3,i,3,-,R,4,i,4,=,u,2,(5),R,2i,2,+,R,3,i,3,+,R,5,i,5,=0 (4),u,2,u,2,i,1,i,3,u,S,i,1,R,1,R,2,R,3,b,a,+,+,i,2,i,6,i,5,u,c,i,4,R,4,+,R,5,+,将,方程,(8),代入方程,(5),并整理得,:,R,1,i,1,-,R,2,i,2,=,u,S,(3),i,1,+,i,6,=0 (6),R,2,i,2,+R,3,i,3,-,R,4,i,4,=0 (5),R,2,i,2,+,R,3,i,3,+,R,5,i,5,=0 (4),-,i,1,-,i,2,+,i,3,+,i,4,=0 (1),-,i,3,-,i,4,+,i,5,i,6,0 (2),说明：,1.,网孔是特殊的回路，两种方程的列写规律相同。,2.,网孔电流法只适用于平面电路，回路电流法不仅适用于平面电路，也可用于非平面电路。,3.4,网孔电流法,3.5,回路电流法,回路电流,：电路,G(n,b),选取,l,=b,n+1,个独立回路。假想每一回路中有一电流沿此回路流动，该电流称为回路电流,回路电流的方向,：,回路的绕行方向,支路电流与回路电流的关系,：,支流电流是,相关,回路电流的代数和。,1.,回路电流,如,i,l,1,、,i,l,2,i,1,=,i,l,1,+,i,l,2,，,3.5,回路电流法,i,l,2,如上图所示电路中：,i,2,=,-,i,l,1,，i,3,=,i,l,2,回路电流是在回路中闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以,KCL,自动满足。若以回路电流为未知量列方程来求解电路，,省掉了,(n-1),个,KCL,方程,。只需对回路列写,KVL,方程。,R,3,a,i,1,i,3,u,S1,u,S2,R,1,R,2,b,+,+,i,2,i,l,1,回路电流方程的建立,由KVL,得:,回路,1,：,R,1,i,1,-,R,2,i,2,=,u,S1,-,u,S2,回路,2,：,R,1,i,1,+,R,3,i,2,=,u,S1,代入,i,1,=,i,l,1,+,i,l,2,i,2,=,-,i,l,1,i,3,=,i,l2,有,:选定,l=b,-,n,+,1,个回路，标明各回路电流及方向。,(1),R,1,(,i,l,1,+,i,l,2,),-,R,2,(,-,i,l,1,)=,u,S1,-,u,S2,R,2,(,i,l,1,+,i,l,2,)+,R,3,i,l,3,=,u,S2,(2),整理得,:,(,R,1,+,R,2,),i,l,1,+,R,1,i,l,2,=,u,S1,-,u,S2,R,1,i,l,1,+(,R,1,+,R,3,),i,l,2,=,u,S2,(3),i,l,2,2.,回路电流法,以回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法,R,3,a,i,1,i,3,u,S1,u,S2,R,1,R,2,b,+i,2,i,l,1,R,11,=R,1,+R,2,R,22,=R,1,+R,3,R,12,=R,21,=R,1,当两个回路电流流过互电阻时方向相同，互电阻前取“,+”,号；否则为“,”,号。,u,S11,=u,S1,-,u,S2,当电压源电压方向与该回路方向一致时,该电压前取“,-”,号,反之取“,+”,号。,回路电流,方程的直观编写,(,R,1,+,R,2,),i,l,1,+,R,1,i,l,2,=,u,S1,-,u,S2,R,1,i,l,1,+(,R,1,+,R,3,),i,l,2,=,u,S2,写为线性方程的一般形式：,R,11,i,l,1,+,R,12,i,l,2,=,u,S11R,21,i,l,1,+,R,22,i,l,2,=,u,S22,自电阻总为正,u,S22,=u,S2,:,回路,2,中所有电压源电压的代数和。,:,为回路,1,中所有电阻之和,称为回路,1,的自电阻；,:,为回路,2,中所有电阻之和,称为回路,2,的自电阻；,:,回路,1,与回路,2,之间的互电阻；,:,回路,1,中所有电压源电压的代数和；,R,3,i,1,i,3,u,S1,u,S2,R,1,R,2,+,+,i,2,i,l,1,i,l,2,一般情况，对于具有,l=b,-,(,n,-,1),个回路的电路，有,其中,:,R,jk,:,回路,j,与回路,k,互电阻,:,+:,流过互阻时两个回路电流方向相同；,-,:,流过互阻时两个回路电流方向相反；,二回路无公共支路时，互阻为,0,。,不含受控源的线性网络,R,jk,=,R,kj,系数矩阵为对称阵。,R,11,i,l,1,+R,12,i,l,2,+R,1,l,i,ll,=u,S11,R,21,i,l,1,+R,22,i,l,2,+R,2,l,i,ll,=u,S22,R,l,1,i,l,1,+R,l,2,i,l,2,+,R,ll,i,ll,=,u,S,ll,R,kk,:,回路,k,的自电阻,(,为正,),k,=1,2,l,回路法的一般步骤：,(1),选定,l=b,-,(,n,-,1),个回路，标明回路电流及方向；,(2),对,l,个回路，以回路电流为未知量，列写出回路电流,方程；,(3),求解上述方程，得到,l,个回路电流；,(4),根据支路电流与回路电的关系,求出支路电流。,例,1.,电路如图所示，用回路法求,I,。,即：,解得：,I,1,=7/3A,I,2,=2A，,I=,I,1,I,2,=1/3A,说明,：,对于电阻与电流源并联的电路，列写回路方程时，可以首先将其化成电阻与电压源的串联。熟练之后，可以不必进行转化。,9,I,1,6I,2,=9,6,I,1,+13I,2,=12,R,11,i,l,1,+,R,12,i,l,2,=,u,S11,R,21,i,l,1,+,R,22,i,l,2,=,u,S22,R,11,=3+69,R,12,=R,21,=,6,u,S11,=9 V；,u,S22,=12 V,R,22,=3+4+6=13,12V,+,_,+,_,9V,3,3,6,4,I,1,I,2,I,解：,(1),选取独立回路,(2),列 回路方程,(,R,1,+R,2,),I,a,-,R,2,I,b,=,U,S1,-,U,S2,-,R,2,I,a,+(,R,2,+R,3,),I,b,-,R,3,I,c,=,U,S2,-,R,3,I,b,+(,R,3,+R,4,),I,c,=,U,S4,(3),求解回路电流方程,，得,I,a,=0.786 A,I,b,=1.143 A,I,c,=1.071 A,(4),求各支路电流：,I,a,I,c,I,b,例,2.,已知,:,R,1,=60,R,2,=20,R,3,=,R,4,=40,U,s,1,=50 V,U,s,2,=10 V,U,s,4,=40 V.,用回路法求各支路电流。,80,I,a,-,20,I,b,=40,-,20,I,a,+60,I,b,-,40,I,c,=,10,-,40,I,b,+,8,0,I,c,=40,I,1,=,I,a,+,_,U,S2,+,_,U,S1,I,1,I,2,I,3,R,1,R,2,R,3,+,U,S4,R,4,I,4,I,3,=,I,c,-,I,b,=,-0.072,A,I,2,=,I,b,-,I,a,=,0.357 A,I,4,=,-,I,c,=,-1.071,A,例,3,.,电路如图所示，用回路,法求各支路电流,i,1,i,5,。,解：,选回路如图,对回路,1,，,2,列方程：,8,i,l,1,2,i,l,2,5,i,l,3,=0,2,i,l,1,+12,i,l,2,6,i,l,3,=26,解得：,i,l,1,=,1A,i,l,2,=1A,所以：,i,2,=,i,l,2,=1A,i,3,=,i,l,2,i,l,1,=2A,i,4,=,i,l,3,i,l,1,=,1A,i,5,=,i,l,2,i,l,3,=3A,讨论,i:,电路中含无伴电流源支路,方法,1,）：只选取一个回路电流流过该无伴电流源支路,i,l,3,2,i,l,2,i,1,=,i,l,1,=,1A,i,l,1,i,l,3,+,_,26V,4,6,1,5,i,3,i,1,i,2,i,4,i,5,2A,2,+,_,1V,5,3,i,2,4A,i,1,i,3,6A,2,i,4,i,l,1,i,l,2,i,l,3,例,4,.,电路如图所示，用回路法求各支路电流,i,1,i,4,。,解：,选回路如图,对回路,1,，,2,列方程：,i,l,2,=4,2,i,l,1,+5,i,l,2,+,10,i,l,3,=1,i,l,1,=,6,解得：,i,l,3,=,3.1A,所以：,i,2,=,i,l,1,+,i,l,2,+,i,l,3,=6.9A,i,3,i,l,2,+,i,l,3,=0.9A,i,4,=,i,l,3,=,3.,1A,i,1,=,i,l,1,+,i,l,3,=6,3.1,=,2.9A,例,5.,电路如图所示，求回路电流,i,a,i,b,i,c,对,回路,a,b,c,列方程：,10,i,a,2,i,b,=,U,2,i,a,+5,i,b,3,i,c,=1,3,i,b,+5,i,c,=,U,i,a,i,c,=2,解得：,i,a,=,1/2A,i,b,=,1/2A,i,c,=,3/2A,方法,2,）：,将无伴电流源两端的电压作为未知量，再按一般情,形列出回路电流方程，并根据电流源电流与相关回,路电流的关系列写出一个补充方程,。,+,1V,3,8,2A,2,2,+,_,U,i,a,i,b,i,C,例,6.,电路如图所示，用回路法求,i,X,和,R,L,的关系。,i,l,2,i,l,1,解：,选回路如图,则,i,l,1,3A,i,l,1,=3,回路,1,的方程不必列出，,只对回路,2,、,3,列写方程：,4,i,l,1,+,27,i,l,2,18,i,l,3,=3,i,0,18,i,l,2,+(18+R,L,),i,l,3,=0,12,+,24,i,0,18,i,X,=0,18,i,0,+(18,R,L,),i,X,=0,解得：,讨论,ii:,电路中含受控源支路,方法,：,先将受控源看作独立源，按一般情形列写回路电流方程然后，将控制量用回路电流来表示，整理方程。,得：,代入,i,l,2,=,i,0,，,i,l,3,=,i,X,i,X,+,_,3,i,0,5,4,18,3A,R,L,i,0,i,l,3,解：,选取独立回路如图,4,I,a,-,3,I,b,=2,-,3,I,a,+6,I,b,-,I,c,=,-,3,U,2,-,I,b,+3,I,c,=3,U,2,4,I,a,-,3,I,b,=2,-,12,I,a,+15,I,b,-,I,c,=0,9,I,a,-,10,I,b,+3,I,c,=0,U,2,=,3,I,2,=3(,I,b,-,I,a,),I,a,=1.19A,I,b,=0.92A,I,c,=,-,0.51A,I,a,I,b,I,c,将,代入,，得,各支路电流为：,I,1,=,I,a,=1.19A,I,2,=,I,a,-,I,b,=0.27A,I,3,=,I,b,=0.92A,I,4,=,I,b,-,I,c,=1.43A,I,5,=,I,c,=0.52A.,解得,*,由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。,例,7.,用回路法求图示电路的各支路电流。,+,+,2V,3,U,2,+,3,U,2,1,2,1,2,I,2,I,3,I,4,I,5,_,I,1,写出,回路方程为：,如：,u,n3,、,u,n2,、,u,n1,3.6,结点电压法,(node voltage method),结点法：,以,结点电压,为变量,列写电路方程,求解电路的方法。,结点电压,：,选择一个结点作为参考结点，其余结点与参考结点之间的电压称为结点电压。结点电压的,方向,均由结点指向参考结点。,u,n1,u,n2,u,n3,1.,基本概念,R,1,R,2,R,3,R,4,R,5,R,6,u,s,6,u,s,3,i,s,5,0,i,1,i,3,i,2,i,4,i,5,i,6,ii,）,支路联接在两个结点,之间，则支路电压为,相关二结点电压之差,；,支路电压与,结点电压的关系,:,支路电压为,相关,结点电压之差。,i,）,支路的一端为参考结,点，则支路电压为结点,电压或相差一,个“,”号；,如,：,u,1,=,un1,u,3,=,u,n2,u,5,=,u,n3,如,：,u,2,=,u,n1,u,n2,，,u,4,=,u,n2,u,n3,，,u,6,=,u,n1,u,n3,1,2,3,4,6,0,u,n1,u,n2,u,n3,5,支路背离结点的结点电压,减去指向结点的结点电压,由,KVL,：,u,b,+,u,nj,u,ni,=0,即：,u,b,=,u,ni,u,nj,u,ni,u,b,b,j,i,0,u,nj,(b),对,n,-1,个独立结点列,写,KCL,方程：,(a),选定参考节点，标明其余,n,-1,个独立节点,2.,结点电压方程,举例说明：,i,1,+,i,2,+i,3,+i,4,=,i,S1i,S2,+i,S3,-,i,3,-,i,4,+i,5,=,-,i,S3,(1),(c),写出支路方程：,i,1,=,u,1,/,R,1,=,u,n,1,/,R,1,i,2,=,u,2,/,R,2,=,u,n,1,/,R,2,i,3,=,u,3,/,R,3,=(,u,n,1,u,n,2,)/,R,3,i,4,=,u,4,/,R,4,=(,u,n,1,u,n,2,)/,R,4,i,5,=,u,5,/,R,5,=,u,n,2,/,R,5,(2),1,2,u,n1,u,n2,i,S1,i,S2,i,S3,R,1,i,1,i,2,i,3,i,4,i,5,R,2,R,5,R,3,R,4,(3),(d),将方程,(2),代入方程,(1),:,整理方程,(3),得：,(4),令,G,k,=1/,R,k,，,k,=1 5,，,并,将方程,(4),写为线性方程的一般形式：,3.,直接列写结点电压方程,G,11,u,n1,+,G,12,u,n2,=,i,s11,G,21,u,n1,+,G,22,u,n2,=,i,s22,(5),(4),结点1、,2,的自电导,G,11,=,G,1,+,G,2,+,G,3,+,G,4,G,22,=,G,3,+,G,4,+,G,5,G,12,=,G,21,=,-(,G,3,+,G,4,)：,结点1与结点2之间的互电导，为,联接在节点1与节点2之间所有支路的电导之和，并冠以负号。,i,S11,=,i,S1,i,S2,+,i,S3,：,流入节点1的电流源电流的代数和。,i,S22,=,i,S3,：,流入节点2的电流源电流的代数和。,*,流入节点取正号，流出取负号。,一般情况：,G,11,u,n1,+,G,12,u,n2,+,G,1,n,-,1,u,n,n,-,1,=,i,S11,G,21,u,n1,+,G,22,u,n2,+,G,2,n,-1,u,n,n,-1,=,i,S22,G,n,-,1,1,u,n1,+,G,n,-,1,2,u,n2,+,G,n-1,n-1,u,n,n,-,1,=,is,n-1,n,-,1,其中,G,ii,结点,i,自电导，,等于接在节点,i,上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。,总为,正,。,*,当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。,i,Si,i,流入节点,i,的所有电流源电流的代数和,(,包括,由,电压源与电阻串联支路等效的电流源,),。,G,ij,=,G,ji,结点,i,与结点,j,之间互电导，,等于接在节点,i,与节点,j,之间的所支路的电导之和，并冠以,负,号。,结点法的一般步骤：,(1),选定参考结点，标定,n,-,1,个独立节点；,(2),对,n,-,1,个独立结点，以结点电压为未知量，列写结点电压,方程；,(3),求解上述方程，得到,n,-,1,个结点电压；,(5),其它分析。,(4),求各支路电流,(,用,结点电压,表示,),；,其中,G,k,=1/,R,k,(,G,1,+,G,2,+,G,3,+,G,4,),u,n1,-,(,G,3,+,G,4,),u,n2,=,G,1,u,S1,-,i,S2,+,i,S3,-,(,G,3,+,G,4,),u,n1,+(,G,3,+,G,4,G,5,),u,n2,=,-,i,S3,G,11,=,G,1,+,G,2,+,G,3,+,G,4,；,G,22,=,G,3,+,G,4,+,G,5,；,G,12,=,G,21,=,-(,G,3,+,G,4,),i,S11,=,G,1,u,S1,i,S2,+,i,S3,；,i,S22,=,i,S3,讨论i),若电路中含电压源与电阻串联的支路,将该支路变换为电流源与电阻的并联组合,+,-,1,2,u,n1,u,n2,u,S1,i,S2,i,S3,R,1,i,1,i,2,i,3,i,4,i,5,R,2,R,5,R,3,R,4,1,G,1,u,S1,G,1,解：,对,结点,1,列方程：,解得:,U=U,1,=7V;,I,1,=2/3A,I,2,=,-,1/2A,I,3,=,7,/6A,U,1,=7V,例,1.,电路如图所示，用结点法求,U,I,1,I,2,I,3,。,8V,_,+,+,_,9V,3,6,2,I,3,I,2,I,1,+,_,U,1,0,1,0,_,I,3,+,3,6,2,4A,UI,1,I,2,3A,例,2.,电路如图所示，用结点法求各支路电压,。,解：,U,n,3,=,-,2V,对,结点,1,、,2,列结点方程：,8,U,n,1,2,U,n,2,5,U,n,3,=0,2,U,n,1,+12,U,n,2,6,U,n,3,=26,讨论,:ii),电路中存在无伴电压源支路,解得：,U,n,1,-,1,V,U,n,2,1V,U,12,U,n1,-,U,n2,=,-,2V,U,13,U,n1,-,U,n3,=,1,V,U,23,U,n2,-,U,n3,=3V,方法,1,：,若有一个无伴电压源，可选择无伴电压源中的一个端点作为参考结点，则另一个端点的结点电压即为已知，这样就可以少列一个方程。,1,2,3,0,2V,26A,2S,5S,6S,4S,1S,1,2,3,0,8,U,n,1,-,2,U,n,2,5,U,n,3,=0,解：,U,n,2,1V,U,n,3,-,2V,解得：,U,n,1,-,1,V,说明,：,若有两个或两个以上的无伴电压源具有一个共同的端点，此时可选此共同端点作为参考结点，这些电源的另一个端点即为已知，可以不再列写这些结点方程。,例,3.,电路如图所示，试列出其结点方程，,并求各支路电压。,2V,1V,2S,5S,6S,1S,结点,1,的方程为：,1,2,3,0,U,n,1,3,V,结点,2,：,-2,U,n,1,+,6,U,n,2,=26,i,结点,3,：,-,5,U,n,1,+,13,U,n,2,=,i,补充方程：,U,n,3,-,U,n,2,=2,解得：,U,n,2,=21/19V,U,n,3,=59/19V,解：,方法,2,：,若有两个以上无伴电压源，它们没有共同的端点，此时只,能选择其中一个电压源的某一个端点作为参考点，并且设,其它无伴电压源所在的支路电流为,i,，,同时补充这些电压源,电压与其相连接的两个结点的结点电压的关系方程，以便,使方程式数与未知数一致，使方程组有唯一解。,例,4.,电路如图所示，试列写其结点方,程，并求各支路电压。,2V,26A,2S,5S,8S,4S,3V,i,U,12,=,36/19V,U,132/19V,U,23,=,2V,U,10,=,3V,U,20,=,21/19V,U,30,=,59/19V,讨论,:iii),电路中含受控源，处理方法与回路法相同。,例,5.,电路如图,列写 电,路的结点电压方程。,将受控源,当作独立源,列写结点电压方程,:,(G,1,+G,2,),u,n1,G,1,u,n2,=,i,s1,G,1,u,n1,+(G,1,+G,3,),u,n2,=g,u,2,i,s1,b.,代入,u,2,=,u,n1,并整理得：,(G,1,+G,2,),u,n1,G,1,u,n2,=,i,s1,(G,1,+g),u,n1,+(G,1,+G,3,),u,n2,=,i,s1i,s,1,0,g,u,2,R,1,R,2,+u,2,R,3,1,2,0,解：,G,11,=1/2+1/4 S,G,22,=1/4+1/2 S,G,21,=G,21,=,1/4 S,解得：,U,n,1,=16V,U,n,2,=8V.,所以：,U,0,=,U,n,1,U,n,2,=8V,说明,：,若电流源支路串联电阻，列结点方程时，电流源支路 中的串联电阻不起作用，可移去,。,例,6.,电路如图所示，用结点法求,U,0,_,12V,+,2,3,2,2A,U,0,4A,4,+,_,2,1,2,0,解：,解得：,u,+,例,7.,电路如图所示，用结点,法求端口,输入电阻。,i,u,n,2,0.010.01,i,1,0.05,3,i,1,支路法、回路法和结点法的比较,(2),对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立结点较容易。,支路法,回路法,结点法,KCL,方程,KVL,方程,n,-,1,b,-,n,+,1,0,0,n,-,1,方程总数,b,-,n,+,1,n,-,1,b,-,n,+,1,b,(1),方程数的比较,练习,：,1.,列写下图含,VCCS,电路的结点电压方程。,i,S1,R,1,R,3,R,2,g,m,u,R,2,+,u,R,2,_,用结点法求各支路电流。,2.,20k,10k,40k,20k,40k,+120V,-,240V,U,A,U,B,I,4,I,2,I,1,I,3,I,5,试列写下图含理想电压源电路的结点电压方程。,3.,G,1,G,4,G,5,G,2,+,_,Us,G,3,G,3,(1),先,把受控源当作独立源列方程；,(2),用结点电压表示控制量。,u,R,2,=,u,n1,1,2,1.,列写下图含,VCCS,电路的结点电压方程。,i,S1,R,1,R,3,R,2,g,m,u,R,2,+,u,R,2,_,解：,练习答案,：,(,整理过程略,),(1),列结点电压方程：,U,A,=21.8V，,U,B,=,-,21.82V,I,1,=(120,-,U,A,)/20k=4.91mA,I,2,=(,U,A,-,U,B,)/10k=4.36mA,I,3,U,B,+240)/40k=5.45mA,I,4,=,U,B,/40=0.546mA,I,5,=,U,B,/20=,-,1.09mA,(0.05+0.025+0.1),U,A,-,0.1,U,B,=0.006,-,0.1,U,A,+(0.1+0.05+0.025),U,B,=,-,0.006,(2),解方程，得：,(3),各支路电流：,解：,用结点法求各支路电流。,2.,20k,10k,40k,20k,40k,+120V,-,240V,U,A,U,B,I,4,I,2,I,1,I,3,I,5,3.,试列写下图含理想电压源电路的结点电压方程。,方法,1:,以电压源电流为变量，增加一个结点电压与电压源间的关系,方法,2,：,选择合适的参考点,(,G,1,+,G,2,),U,1,-,G,1,U,2,I,-,G,1,U,1,+(,G,1,+,G,3,+,G,4,),U,2,-,G,4,U,3,=0,-,G,4,U,2,+(,G,4,+,G,5,),U,3,I,U,1,-,U,3,=,U,S,U,1,=,U,S,-,G,1,U,1,+(,G,1,+,G,3,+,G,4,),U,2,-,G,3,U,3,=0,-,G,2,U,1,-,G,3,U,2,+(,G,2,+,G,3,+,G,5,),U,3,=0,G,1,G,4,G,5,G,2,+,_,Us,2,3,1,I,G,3,G,1,G,4,G