1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,一、偏导数的定义及其计算法,复习,几何意义,:,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数,.,二、高阶偏导数,纯偏导,全微分的定义,可微的条件,定理：如果函数在点,(,x,y,),的,偏导数存在且连续，则函数在该点可微分,第,3,节 多元复合函数与,隐函数求导法则,目的与要求,掌握二元函数的三种不同形式及链式法则,并会求各种形式的偏导数或全微分,掌握隐函数的求导,问题的提出,这一法则称为一元复合函数的链式求导法则,.,现在，我们要将这一法则推广到多元复合函数,.,一、复合函数的求导法则,1,.,
2、复合函数的中间变量都是多元函数的情形,链式法则如图示,沿线相乘，分线相加,解,推论,2.,复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函,数的情形,即,其中,z,u,x,x,y,y,2.,复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函,数的情形,即,其中,两者的区别,z,u,x,x,y,y,设,z=f(x,y,),可微，且,可导,则复合函数,对,t,可导,且,z,x,y,t,全,导数,对,t,3.,复合函数的中间变量都是一元函数的情形,z,u,v,x,上述定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况,.,如,以上公式中的导数 称为,全导数,.,解,二元函数的全微分形式不变性,二元函数的全微分形式不变性,二元函
3、数的全微分形式不变性,二、隐函数的求导公式,(Implicit differentiation),在一元函数微分学中我们已经提出了隐,函数的概念，并且通过举例的方法指出了不,经过显化直接由方程,求出它所确定的隐函数的导数的方法。,一个方程的情形,(One equation),隐函数的求导公式（,1,）,.,一元隐函数,根据链式法则，方程两边对,x,求导,解,令,则,（2）,二元隐函数,推导,复合函数的求导法则（三种情形）,隐含数求导法则,第,3,节多元复合函数与 隐含数求导法则小结,1.,复合函数的中间变量都是多元函数的情形,z,u,x,x,y,y,2.,复合函数的中间变量既有一元函数,又有多
4、元函 数的情形,其中,设,z=f(x,y,),可微，且,可导,则复合函数,对,t,可导,且,对,t,3.,复合函数的中间变量都是一元函数的情形,z,x,y,t,隐函数的求导法则,第,4,节 多元函数的极值,目的与要求,明确二元函数取得极值的充分必要条件,熟练掌握求二元函数的无条件极值,定义：如果函数,f,(,x,),在,x,0,处及其邻域内有定义，并且恒有：,一元函数极值,如果函数,f,(,x,),在,x,0,处及其邻域内有定义并且恒有：,可导函数极值必要条件,求极值的方法,1.,求出一阶导数等于零的点,(,驻点,),及不可导点,由第一判别法进行判断,;,2.,求二阶导函数,由第二判别法进行判
5、断,;,1.,二元函数极值的定义,一、二元函数极值,(1),(2),例1,例,例：,z,=,xy,在,(0,0),点既不是极大值也不是极小值,2.,二元函数取得极值的条件,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数,同时,为零的点，均称为函数的驻点,.,驻点 不一定是极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意,：,说明,对于偏导数不存在的点，也可能是极值点。,1,）,求函数在,D,内的所有“驻点”和“一阶偏导数,不存在的点,”,处的函数值,2,）求函数在,D,的边界上的最大值和最小值,一般很难。若根据实际问题可确定,D,内一定有最值，而函数在,D,内有唯一极值，则该极值就是最值。,3,）比较各函数
6、值的大小，其中最大者即为最,大值，最小者即为最小值,.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值,.,求最值的一般方法：,3.,有界闭区域上多元函数的最值,例4,某厂要用铁板做成一个体积为,2,的有盖长方体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？,解：设水箱的长为,x,宽为,y,则其高为,此水箱的用料面积,x,2,/,(,xy,),y,时，,A,取得,最小值，,根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域,D,(,x,0,y,0),内取得。又函数在,D,内只有唯一的驻点，因此可断定当,就是说，当水箱的长、宽、高均为,时，,水箱所用的材料最省。,24cm,x,24-2,x,24-2,x,+2,x,cos,x,xsin,24-2,x,24-2,x,+2,x,cos,x,xsin,多元函数的极值,（取得极值的必要条件、充分条件）,多元函数的最值,第,4,节多元函数的极值小结,以上讨论的极值问题，对自变量没有附加其他的条件，称为无条件极值。但在实际问题中，常会对自变量增加条件，这样的极值称为有条件极值（不做要求）。,如书例,4-26,表面积为,a,2,而体积最大的长方体的体积。,相关习题：习题,4,：,15,16,。,17,20,不要求,
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
