完全平方数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,完全平方数,(,一,),完全平方数的性质,一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：,0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：,性质,1,：完全平方数的末位数只能是,0,1,4,5,6,9,。,性质,2,：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。,观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。,证明奇数必为下列五种形式之一：,10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9,分别平方后，得,(10a+1),2,=100a,2,+20a+1=20a(5a+1)+1,(10a+3),2=,100a,2,+60a+9=20a(5a+3)+9,(10a+5),2,=100a,2,+100a+25=20(5a,2,+5a+1)+5,(10a+7),2,=100a,2,+140a+49=20(5a,2,+7a+2)+9,(10a+9),2,=100a,2,+180a+81=20(5a,2,+9a+4)+1,综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数,1,5,9,；十位数字为偶数。,性质,3,：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是,6,；反之，如果完全平方数的个位数字是,6,，则它的十位数字一定是奇数。,证明已知,m,2,=10k+6,，证明,k,为奇数。因为,m,2,的个位数为,6,，所以,m,的个位数为,4,或,6,，于是可设,m=10n+4,或,10n+6,。则,10k+6=(10n+4),2,=100n,2,+(8n+1)x10+6,或,10k+6=(10n+6),2,=100n,2,+(12n+3)x10+6,即,k=10n,2,+8n+1=2(5n,2,+4n)+1,或,k=10n,2,+12n+3=2(5n,2,+6n)+3,k,为奇数。,推论,1,：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是,6,，那么这个数一定不是完全平方数。,推论,2,：如果一个完全平方数的个位数字不是,6,，则它的十位数字是偶数。,性质,5,：奇数的平方是,8n+1,型；偶数的平方为,8n,或,8n+4,型。,在性质,4,的证明中，由,k(k+1),一定为偶数可得到,(2k+1),2,是,8n+1,型的数；由,k,2,为奇数或偶数可得,(2k),2,为,8n,型或,8n+4,型的数。,性质,4,：偶数的平方是,4,的倍数；奇数的平方是,4,的倍数加,1,。,这是因为,(2k+1)2=4k(k+1)+1 (2k),2,=4k,2,因为自然数被,3,除按余数的不同可以分为三类：,3m,3m+1,3m+2,。平方后，分别得,(3m),2,=9m,2,=3k,(3m+1),2,=9m,2,+6m+1=3k+1,(3m+2),2,=9m,2,+12m+4=3k+1,性质,6,：平方数的形式必为下列两种之一：,3k,3k+1,。,性质,7,：不能被,5,整除的数的平方为,5k1,型，能被,5,整除的数的平方为,5k,型。,性质,8,：平方数的形式具有下列形式之一：,16m,16m+1,16m+4,16m+9,。,同理可以得到：,除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，,256,它的各位数字相加为,2+5+6=13,，,13,叫做,256,的各位数字和。如果再把,13,的各位数字相加：,1+3=4,，,4,也可以叫做,256,的各位数字的和。,下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：,一个数的数字和等于这个数被,9,除的余数。,设四位数为 ，则,下面以四位数为例来说明这个命题。,=1000a+100b+10c+d,=999a+99b+9c+(a+b+c+d),=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d),显然，,a+b+c+d,是四位数被,9,除的余数。,对于,n,位数，也可以仿此法予以证明。,关于完全平方数的数字和有下面的性质：,性质,9,：完全平方数的数字之和只能是,0,1,4,7,9,。,证明因为一个整数被,9,除只能是,9k,9k1,9k2,9k3,9k4,这几种形式，而,(9k),2,=9(9k,2,)+0,(9k1),2,=9(9k,2,2k)+1,(9k2),2=,9(9k,2,4k)+4,(9k3),2,=9(9k,2,6k)+9,(9k4),2,=9(9k,2,8k+1)+7,除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：,性质,10,：,a,2,b,为完全平方数的充要条件是,b,为完全平方数。,证明充分性：设,b,为平方数,c,2,，则,a2,b=a,2,c,2,=(ac),2,必要性：若,a,2,b,为完全平方数，,a,2,b=x,2,，则,b=,2,性质,11,：如果质数,p,能整除,a,，但,p,2,不能整除,a,，则,a,不是完全平方数。,证明,:,由题设可知，,a,有质因子,p,，但无因子,p,2,，可知,a,分解成标准式时，,p,的次方为,1,，而完全平方数分解成标准式时，各质因子的次方均为偶数，可见,a,不是完全平方数。,性质,12,：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若,性质,13,：一个正整数,n,是完全平方数的充分必要条件是,n,有奇数个因子,(,包括,1,和,n,本身,),。,n,2,km,n,2,-m,2,=89,n,2,=x+44=m,2,+45+44m,2,(,n-m)(n+m,)=89,但,89,为质数，它的正因子只能是,1,与,89,，于是,n-m,=1,n+m=89.,解之，得,n=45,。代入,(2),得,x=45,2,-44=1981,。,故所求的自然数是,1981,。,例,2,：求证：四个连续的整数的积加上,1,，等于一个奇数的平方,(1954,年基辅数学竞赛题,),。,分析设四个连续的整数为,n,n+1,n+2,n+3,，其中,n,为整数。欲证,n(n+1)(n+2)(n+3)+1,是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。,而,n(n+1),是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为,2n+1,是奇数，因而,n(n+1)+2n+1,是奇数。这就证明了,m,是一个奇数的平方。,证明设这四个整数之积加上,1,为,m,，,例,3,：求证：,11,111,1111,这串数中没有完全平方数,(1972,年基辅数学竞赛题,),。,分析形如 的数若是完全平方数，必是末位为,1,或,9,的数的平方，即,或,在两端同时减去,1,之后即可推出矛盾。,证明,:,若,则,因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。,综上所述，不可能是完全平方数。,若,则,因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。,另证由 为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数,十位上的数字为,1,，所以 不是完全平方数。,的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而,例,4,：试证数列,49,4489,444889,的每一项都是完全平方数。,证明,=,=+1,=4,+8 +1,=4 ()(9 +1)+8 +1,=36(),2,+12 +1,=(6 +1),2,即,为完全平方数,。,解：设由,300,个,2,和若干个,0,组成的数为,A,，则其数字和为,600,3600,3A,此数有,3,的因子，故,9A,。但,9,不能整除,600,，,矛盾。,故不可能有完全平方数。,例,5,：用,300,个,2,和若干个,0,组成的整数有没有可能是完全平方数？,例,6,：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同,(1999,小学数学世界邀请赛试题,),。,解：设此数为,此数为完全平方，则 必须是,11,的倍数。因此,11a+b,，而,a,b,为,0,1,2,，,9,，故共有,(2,9),(3,8),(4,7),(9,2),等,8,组可能。,直接验算，可知此数为,7744=88,2,。,例,7,：求满足下列条件的所有自然数：,(1),它是四位数。,(2),被,22,除余数为,5,。,(3),它是完全平方数。,解：设 ，其中,n,N,为自然数，可知,N,为奇数。,11N-4,或,11N+4,或,k=1,k=2,k=3,k=4,k=5,所以此自然数为,1369,2601,3481,5329,6561,9025,。,解：,n,头羊的总价为,n,2,元，由题意知,n,2,元中含有奇数个,10,元，即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是,6,。所以，,n,2,的末位数字为,6,，即乙最后拿的是,6,元，从而为平均分配，甲应补给乙,2,元。,例,8,：甲、乙两人合养了,n,头羊，而每头羊的卖价又恰为,n,元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元,(,第,2,届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题,),？,例,9,：矩形四边的长度都是小于,10,的整数,(,单位：公分,),，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积,(1986,年缙云杯初二数学竞赛题,),。,9x+1,是一个完全平方数，而,，验算知,x=7,满足,条件。又由,x+y,=11,得,解：设矩形的边长为,x,y,，则四位数,N,是完全平方数，,11,为质数,x+y,能被,11,整除。,又,N=1000 x+100 x+10y+y=1100 x+11y=11(100 x+y)=11(99x+x+y),得,x+y,=11,。,而,例,10,：求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。,解：设符合题意的四位数为,，则,为五位数，,为三位数，,经计算得,其中符合题意的只有,2401,一个。,例,11,：求自然数,n,，使,n,6,的,值是由数字,0,2,3,4,4,7,8,8,9,组成。,解：显然，,为了便于估计，我们把,的变化范围放大到,于是,即,，,另一方面，因已知九个数码之和是,3,的倍数，故,n,6,及,n,都是,3,的倍数。这样，,n,只有,24,27,30,三种可能。但,30,结尾有六个,0,，故,30,不合要求。,经计算得,故所求的自然数,n=27,。,(,四,),讨论题,1.(1986,年第,27,届,IMO,试题,),设正整数,d,不等于,2,5,13,，求证在集合,2,5,13,d,中可以找到两个不同的元素,a,b,，使得,ab,-1,不是完全平方数。,2.,求,k,的最大值，使得,3,7,可以表示为,k,个连续正整数之和。,