自动控制原 理第8章1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,8,章第,*,页,EXIT,自动控制原 理,第,8,章,离散系统的分析和综合,8.1,离散控制系统的基本概念,8.2,信号的采样与保持,8.3 Z,变换,8.4,脉冲传递函数,8.5,离散系统稳定性分析,8.6,离散系统的稳态误差分析,8.7,离散系统的动态性能分析,8.8,离散控制系统的数字校正,控制系统中有一个或若干个部件的输出信号是一串脉冲形式或是数码，由于信号在时间上是离散的，这类系统称为离散系统。随着计算机普通运用于自动控制领域以来，离散控制系统在生产、科研等各个领域中得到了广泛的应用。,对于连续时间系统，采用微分方程和拉普拉斯变换进行分析和设计；,对于离散时间系统，则采用差分方程和,z,变换进行分析和设计。,通过,Z,变换这个数学工具，可以把传递函数，频率特性，根轨迹法等概念应用于离散控制系统。,本章将重点介绍,Z,变换理论，脉冲传递函数，离散控制系统的稳定性等内容。,8.1,离散控制系统的基本概念,两类离散系统：,（,1,）采样控制系统或脉冲控制系统,离散信号是脉冲序列（时间上离散）,（,2,）数字控制系统或计算机控制系统,离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上量化）,在理想采样及忽略量化误差情况下，数字控制系统近似于采样控制系统，将它们统称为离散系统，这使得采样控制系统与数字控制系统的分析与综合在理论上统一了起来。,放大器与,执行电动机,炉,燃料供应,调节阀,炉温,炉温,设定值,大,滞后环节,8.1.1,采样控制系统,在实际工业控制系统中，有些被控对象的惯性很大且具有滞后特性。对于这类被控对象，如采用连续控制方式，其控制效果就不会很好，应运用采样控制的方式进行控制。,脉冲控制系统的特点：,系统结构简单、投资少，适合于要求不高的场合。,引入采样方式，使大延迟系统稳定。,R,(,s,),C,(,s,),G,（s）,H,（s）,T,s,8.1.2,数字控制系统,1,基本概念,计算机技术的迅速发展，使得计算机、尤其是微型计算机在工业自动控制领域中的应用越来越广泛。数字控制系统就是指系统中具有数字计算机或数字控制器的自动控制系统。由于计算机所使用的量都是数字量，所以计算机控制系统又称为数字控制系统或离散系统。这一系统的特点就是具有对数字量进行处理的计算机（或数字控制器）。工程实践证明：只要,适当选取采样周期,T,s,，在采样时刻瞬时获取的一系列离散信号完全可以表示相应的连续信号所包含的绝大部分信息，满足对控制系统的性能指标要求,。这样计算机就可以用采样时刻之间的大量时间去完成其它任务,.,数字计算机在进行信息处理时必须接受数字信号，所以必须进行信号的转换。将连续时间信号转换为离散数字信号的过程称为,模,数转换（,A/D,），,反之，则称为,数模转换（,D/A,）它们是数字控制的必要过程。,数字控制系统的特点：,控制器的控制规律由计算机实现，使得控制规律比较灵活、控制精度高，而且可以借助计算机实现许多附加功能，例如系统运行状态检测、报警、保护等。性价比超过模拟控制器。,在航空航天、军事、工业、公用事业系统中的各类控制系统已经广泛地运用计算机控制。,1,）,A/D,转换器：,采样、量化、编码,把连续的模拟信号转换为时间上离散的、幅值上整量化的数字信号（二进制的整数），实际上对信号在时间点上,采样,，对信号幅值进行,编码,。一般要求,A/D,转换器具有足够的字长（,8 bit,、,10 bit,、,12 bit,、,14bit,），,要求量化单位,q足够小。这样幅值的断续性可以忽略不记。若采样编码的时间可以忽略，这时,数字信号可以看成脉冲信号,，,A/D,转换器可以认为采样周期为,T,S,的理想采样开关。,2 A/D,转换器与,D/A,转换器,2,）,D/A,转换器,：,把离散的数字信号转换为连续模拟信号。,D/A,转换器有两个工作过程：,（,1,）,解码，,把离散的二进制数字信号转换为离散的模拟信号；,（,2,）,模拟信号复现,，通过,“,保持器,”,将离散模拟信号复现为连续的模拟信号，该信号才能真正驱动模拟放大器等。,8.1.3,离散控制系统的优点,1.,采样信号特别是数字信号的传递可以有效抑制噪声，提高抗干扰能力；,2.,允许采用高灵敏度的控制元件，提高控制精度；,3.,软件实现的控制规律易于改变，控制灵活，效果好；,4.,可以分时控制若干系统，提高设备利用率，经济性好；,5.,引入采样方式，使大延迟系统稳定。,8.1.4,离散系统的研究方法,在离散控制系统中，系统至少有一处的信号是一个脉冲序列，其作用的过程从时间上看是不连续的，控制的过程是断断续续的，研究连续线性系统所用的方法，例如拉普拉斯变换，传递函数和频率特性等不再适用。研究离散控制系统的数学基础是,Z,变换，通过,Z,变换这个数学工具，可以把以前学习过的传递函数，频率特性，根轨迹法等概念应用于离散控制系统。,Z,变换是分析单输入单输出线性定常离散控制系统的有力数学工具。,Z,变换法和线性离散控制系统的关系如同拉普拉斯变换和线性连续系统的关系一样。,1.,用,Z,变换法建立离散系统的数学模型后进行分析、综合。,2.,用离散系统的状态空间分析法（一阶差分方程组）对系统进行分析、设计。,8.2,信号的采样与保持,采样过程：连续信号 采样器 离散信号,8.2.1,信号的采样,1.,理想采样信号的数学表示,采样器的作用时间趋于,0,而得到的理想采样信号,实际采样信号,设采样持续时间非常小，远小于采样时间间隔,也远小于控制系统中最大的时间常数。,理想脉冲序列,单位理想脉冲序列,理想采样过程的数学描述,（重要）：,脉冲产生的时刻,nT,s,时刻脉冲强度,把窄脉冲信号当作理想脉冲信号处理是近似的，要求设采样持续时间非常小，远小于采样时间间隔,也远小于控制系统中最大的时间常数。一般都能满足。,连续信号,e,(,t,),经过采样而变成离散信号,e,*,(,t,),，,这种离散化处理不会丢失原来连续信号,e,(,t,),所,含有的信息？或者说，我们能否有离散信号,e,*,(,t,),无,失真地恢复原来连续信号,e,(,t,),？,如果能，离散化处理需要满足什么条件？香农（,shannon,）,采样定理解决了这一问题。,由以上分析可得出以下结论：,按间隔进行采样后，信号的傅立叶变换是周期函数，,是原函数傅立叶变换的,T,S,分之一按周期所进行的周期延拓。“等间隔离散化”的函数的傅立叶变换是“周期”频谱。,1,连续信号与采样信号的频谱,的频谱,可得采样信号的傅氏变换为,连续信号频谱与采样信号频谱的比较,如果采样器的 输入信号 具有有限带宽，具有最高频率为 的分量，只要采样周期满足以下条件：,信号 可以从采样信号 中恢复过来。,3,香农采样定理,工程上采用的将采样信号恢复为连续时间信号的装置称为保持器，而最常用、最简单的保持器是零阶保持器。,D/A,转换器,理想低通滤器幅频特性,从采样信号中恢复出连续时间信号称为信号的复现。在满足采样定理的前提下，采样信号没有混叠现象。这样，如用一个具有下图所示幅频特性的理想低通滤波器就可以无畸变的把原信号复现出来。,8.2.2,信号的复现及零阶保持器,脉冲过渡函数：,幅值为,1,，持续时间为,T,s,对应的,L,变换,当给零阶保持器输入一个理想单位脉冲 ，则脉冲响应（输出）,零阶保持器,可以将采样点幅值保持至下一个采样瞬时，把采样信号变为阶梯信号：,零阶保持器的频率特性,零阶保持器的特性：,（,1,）低通特性,（,2,）相角迟后特性,（,3,）时间迟后特性 （平均迟后时间,T,S,/2,）,8.3 Z,变换,8.3.1,采样信号的拉氏变换,连续信号：,f,（,t,）,其理想采样信号：,其,拉氏变换,：,从此式可以看出，任何采样信号的拉氏变换中，都含有超越函数,，因此，若仍用拉氏变换处理采样系统的问题，就会给运算带来很多困难，,8.3.2 Z,变换的定义（单边,Z,变换）,z,为变换算子，是一个复变量,F,（,z,）,定义为采样信号,f*,（,t,）的,Z,变换。,说明：,F,（,z,）,实际上是理想采样信号,f*,（,t,）,的拉氏变换；从定义上看，,F,（,z,）,只考虑了采样时刻的信号值,f,（,nT,s,）,。,对于一个连续函数,f,（,t,）,，,由于采样时刻,nT,s,的值就是,f,（,nT,s,）,，,因此,F,（,z,）,既是采样信号,f*,（,t,）,的,Z,变换，也是连续信号,f,（,t,）,的,z,变换，即,z,变换是,s,变换的变形，只适用于离散信号，只表征连续函数在采样时刻的特性，与采样时刻之间的特性无关。,是一个开放形式的级数，希望写成闭合式。,1,级数求和法,已,知连续函数,f,(t),的采样值,f,（,nT,s,）,8.3.1 Z,变换的求法,一般，,函数的,Z,变换的级数形式都是收敛的，,可以写成闭合形式。根据无穷级数求和公式,例,8.2,试求单位阶跃信号的,Z,变换。,解,：单位阶跃函数,1(t),在任何采样时刻的值均为,1,。即,可写成闭合形式,若,是一个等比级数，公比,Z,变换的无穷级数形式的物理含义：,变量,z,n,的系数代表了连续时间函数在各采样时刻的采样值,。,通过级数求和法求取,Z,变换的缺点：,需要将无穷级数写成闭合形式。,2,部分分式法,已知,连续函数,f,（,t,）,的拉氏变换,对应,Z,变换,例,8.6,求拉氏变换为 的连续函数的,Z,变换。,解：,常用函数的,Z,变换及相应拉氏变换见表,8.1,。,8.3.4 Z,变换的性质,1,线性定理,2,滞后,定理（类似积分定理）,3,超前定理（类似微分定理）,初始条件,信号滞后波形 信号超前波形,5,初值定理,6,终值定理,4,复位移定理,应当注意，,z,变换只反映信号在采样点上的信息，而不能描述采样点间信号的状态。因此变换与采样序列对应，而不对应唯一的连续信号。不论什么连续信号，只要采样序列一样，其变换就一样。,8.3.5 Z,反变换,从原则上讲，经过,Z,反变换,f,（nT,s,）,或记为,f,（,nT,s,）,。,1,幂级数展开法（长除法）,对上式用分母去除分子，所得之商按,z,1,的升幂排列,方法：将 展开成部分分式 将部分分式中的每一项乘以因子,z,对照,Z,变换表,X(z),的反变换,2,部分分式法,例,8.19,设 ，试用部分分式法求,f,（,n,）。,解：,8.4,脉冲传递函数,与连续系统的分析相同，,离散系统的数学模型主要有时域模型（差分方程）与复域模型（脉冲传递函数）。二者之间可相互转换,，其关系与连续系统的微分方程、传递函数相同。在离散控制系统中，连续信号被离散时间信号所取代，描述系统的时域模型就成了差分方程，系统用变量的前后序列差表示。8.4.1,脉冲传递函数,1,脉冲传递函数的定义,在零初始条件下,脉冲传递函数是分析离散控制系统最重要的数学工具，它的作用同分析连续系统的数学工具传递函数相当，是分析与设计系统的前提。,G,(,s,),c,(,t,),T,s,r,*,(,t,),R,(,z,),T,s,c,*,(,t,),C,(,z,),r,(,t,),G,(,z,),2,脉冲传递函数的物理意义,对于上图所示系统，系统处于零初始状态，输入信号为,r,（,t,）,=,（,t,），,则有,r,*,（,t,）,=,（,t,），,R,（,z,）,=1,。,则该系统的响应与无采样开关时的响应相同，为连续系统,G,（,s,）,的单位脉冲响应，可用,g,（,t,）,表示,g,（,t,）,=,L,1,G,（,s,）,系统虚设的输出序列的,z,变换为,C,（,z,）,=Z,g,*,（,t,）,=Z,g,（,t,）,=Z,L,1,G,（,s,）,并满足,C,（,z,）,=,G,（,z,）,R,（,z,）,=,G,（,z,）,因此，该线性离散系统的脉冲传递函数为,G,（,z,）,=Z,L,1,G,（,s,）,以上分析说明，对于图所示的线性环节与采样开关相串联所组成的离散系统，其脉冲传递函数,G,（,z,）,是连续环节,G,（,s,）,脉冲过渡函数,g,（,t,）,经采样后得到的离散信号,g,*,（,t,）的,z,变换。,G,（,z,）Z,L,1,G,（,s,）,G,(,s,),c,(,t,),T,s,r,*,(,t,),R,(,z,),T,s,c,*,(,t,),C,(,z,),r,(,t,),G,(,z,),说明：,（,1,）,G,（,s,）,一个线性环节的传递函数,G,（,z,）,是线性环节与采样开关相串联的离散系统的脉冲传递函数。,（,2,）用,G,（,z,）,只能得出输出信号的采样序列,C,（,z,），,为了强调这一点，往往在输出端画上一个假想的同步采样开关。,（,3,）,表征离散系统的固有特性，与,1,系统结构、参数；,2,采样周期；,3,采样开关的具体位置,有关。,3,脉冲传递函数的基本求法,连续系统的传递函数,G,(,s,),事实上：,（,2,）已知差分方程，进行,Z,变换，两者可转换,G,(,z,),=Z,L,1,G,(,s,),但,，,（,1,）按定义,脉冲响应函数,g,(,t,),按采样周期离散化,g,*,(,t,),变换,G,(,z,),G,(,s,),G,(,z,),Z,变换表,例,8.23,求图示系统的脉冲传递函数。,解：,得,c,(,t,),T,s,T,s,r,(,t,),例,8.23,求图示系统的脉冲传递函数。,解：,查,Z,变换表，得,c,(,t,),T,s,T,s,r,(,t,),由以上例题可见，原连续系统传递函数,G,（,s,）,的阶次与加入采样开关后的离散系统脉冲传递函数,G,（,z,）,的阶次完全相同。,8.4.2,开环系统的脉冲传递函数,当离散系统中有两个连续环节串联时，他们之间有无采样开关，系统的脉冲传递函数是不同的。,1,环节串联时的脉冲传递函数,结论：,被理想采样开关隔开的,n,个线性环节串联时，其脉冲传递函数为每个环节所对应的脉冲传递函数之积。,r,(,t,),c,(,t,),G,1,(,s,),G,2,(,s,),T,s,x,(,t,),G,1,(,z,),G,2,(,z,),T,s,X,(,z,),2,连续环节之间有同步采样开关,r,(,t,),c,(,t,),G,1,(,s,),G,2,(,s,),T,s,x,(,t,),G,1,(,z,)G,2,(,z,),例,8.25,解：两环节之间有采样开关时,两,环节串联，,G,1,(s),前有一采样开关，比较两环节之间有无采样开关时,脉冲传递函数有何区别,。,两环节之间无采样开关时,因此,环节之间有无采样开关，两个系统的脉冲传递函数往往是不同的，但极点是相同的，只是零点不同。,3,带有零阶保持器,的开环系统的脉冲传递函数,上式第二项可写为,采样后带有零阶保持器的系统的脉冲传递函数为,r,(,t,),c,(,t,),G,(,s,),T,s,零阶保持器,连续环节,R,(,z,),C,(,z,),例,8.26,采样控制系统如图所示，试求其脉冲传递函数。,解：,系统脉冲传递函数为：,可见，零阶保持器的引入对系统脉冲传递函数的阶次无影响。,4,连续信号直接进入连续环节时的脉冲传递函数,连续环节,G,1,（,s,）,的输入信号为连续信号,r(t,),，,输出的连续信号为,e(t,),。,e(t,),经采样开关后得到离散信号,e,*,(t,),，,z,变换为,而连续环节,G,2,（,s,）,输入采样信号,e,*,(t,),，,其输出序列的,z,变换为,若对于某离散系统，当连续信号首先进入连续环节时，该系统无法写出脉冲传递函数的形式，只能求出输出序列,C,（,z,）,的表达式。,G,2,(,s,),r,(,t,),c,(,t,),T,s,e,*,(,t,),E,(,z,),T,s,c,*t,),C,(,z,),G,1,(,s,),e,(,t,),8.4.3,离散控制系统的闭环脉冲传递函数,由于离散控制系统中，既有连续信号的传递,又有离散信号的传递,所以在分析离散控制系统时与连续系统分析不同，需要增加符合离散传递关系的分析。,1,采样信号拉氏变换的重要性质,采样函数的拉氏变换,G,*,1,（,s,）,与连续函数的拉氏变换,G,2,（,s,）,相乘后再离散化，则,G,*,1,（,s,）,可以从离散符号中提出来，即,与此相比较，若连续信号相乘后再离散化，则有,离散系统的典型结构,2,离散控制系统的闭环脉冲传递函数,考虑到离散信号拉氏变换的相关性质，则偏差信号离散化后的,s,变换为,r,(,t,),c,(,t,),H,(,s,),T,s,b,(,t,),e,(,t,),e,*,(,t,),G,(,s,),闭环系统的特征方程：,开环脉冲传递函数：,应当注意：离散系统的闭环脉冲传递函数不能从对应的连续系统传递函数的,Z,变换直接得到。,例,8,20,已知离散控制系统结构如下图所示，前向传递函,数 ，反馈传递函数,H,（,s,）,=1,，,试计算系统的闭环脉冲传递函数。,解：,r,(,t,),c,(,t,),H,(,s,),T,s,b,(,t,),e,(,t,),e,*,(,t,),G,(,s,),解：,1,）首先求出该系统闭环脉冲传递函数，由结构图可知,例,8.28,已知离散控制系统结构如图所示，试计算系统的闭环脉冲传递函数。,e,(,t,),c,(,t,),r,(,t,),T,s,T,s,b,(,t,),零阶保持器,e,(,t,),c,(,t,),r,(,t,),G,c,(,s,),G,(,s,),T,s,x,(,t,),T,s,H,(,s,),b,(,t,),2,）系统闭环传递函数为,e,(,t,),c,(,t,),r,(,t,),T,s,T,s,b,(,t,),零阶保持器,此系统为三阶离散系统，零阶保持器的引入并不影响系统的阶次。,离散控制系统中，,如果比较环节之后无采样开关，输入信号未经采样就直接输入连续环节，,这种采样开关的配置可使系统不存在闭环脉冲传递函数，但若已知外输入信号，可得输出信号的,Z,变换表达式。,表,8.1,典型离散控制系统结构图及输出信号,C,（,z,）,结论：,1,）,利用,z,变换只能求出输出信号离散序列的,z,变换，采样开关的不同位置，导致了闭环系统输出,C,（,z,）,具有不同的形式，若输出信号为连续信号，可以在输出端虚设采样开关表明只能求取输出信号在采样瞬时的值。,2,）当输入信号与第一个连续环节之间（即比较环节之后）无采样开关时，则应利用输入信号拉氏变换函数,R,（,s,）,与相连环节传递函数,G,1,（,s,）,乘积,RG,1,（,s,）的,z,变换,RG,1,（,z,）,，,以求出输出序列的,z,变换,C,（,z,），,但无法定义,（,z,）,=,C,（,z,）,/,R,（,z,）。,3,）,离散系统的脉冲传递函数与连续系统的传递函数作用类似，表征离散系统的固有特性，与系统连续部分的结构、参数，采样周期，采样开关的具体位置有关。,4,）离散系统脉冲传递函数,（,z,）,与相应的连续系统的闭环传递函数,（,s,）,具有相似的形式，可以根据,（,s,）,再考虑离散系统采样开关的位置直接写出离散系统的,（,z,）；,当环节,G,1,（,s,）,与环节,G,2,（,s,）,之间无采样开关隔开时，利用相连环节传递函数拉氏变换乘积的,z,变换,G,1,G,2,（,z,）。,需要注意的是，,由于研究的是采样输入与采样输出之间的关系，当输入信号与输出信号之间（前向通道）无采样开关时，由于输入信号未经采样就流向输出端，则无法利用上述规律直接求系统的输出序列,C,（,z,），,必须严格按照信号之间的关系求取,C,（,z,）。,8.4.4,应用,z,变换分析离散系统的局限性与条件,1,局限性,由以上分析可知，对于离散控制系统，若希望将采样点上的值,C,（,nT,s,）,平滑地连接以代表相应的连续信号,C,（,t,），,则输出响应曲线,C,（,t,）,应该是光滑无跳变的，即系统的连续部分应该能够光滑输入的脉冲序列，输出信号在采样点不应该发生跳变。,C,（,nT,s,）,t/s,0 1 2 3 4,图,CnT,s,）与,C,（,t,）,响应曲线,1.582,C,（,t,）,C,*,（,t,）,0.582,则连续系统对于一序列理想脉冲信号作用下的输出在每个采样点都不会产生跳变，输出的响应曲线将是平滑的曲线,。在前面的分析中已经指出，为了使采样信号不失真地复现原连续信号，应该满足两个条件：,采样频率满足香农采样定理；采样信号应该通过低通滤波器滤掉采样引起的高频分量，,其,物理意义是采样开关后接的连续环节应该具有较好的低通滤波特性，则采样后的信号可以恢复为原信号。,当连续部分传递函数,G,（,s,）,的极点比零点的个数多于,2,个（分母的阶次,n,与分子的阶次,m,之差,n,m,2,）,时，,G,（,s,）,在单位脉冲信号（,t,）,作用下的脉冲过渡函数,g,（,t,）,在,0,时刻时无跳变，即：,2,应用,z,变换分析离散系统的条件,当连续环节传递函数,G,（,s,）,的极点与零点数不满足上述条件时，如果离散系统在采样开关之后串联了零阶保持器，则采样开关输出的每个脉冲信号被零阶保持器保持为矩形信号，脉冲序列变为了连续的阶梯信号，系统的输出,C,（,t,）,在每个采样点也不会产生跳变。,实际上，对于大多数离散系统，其连续部分的传递函数都满足极点比零点的个数多于,2,个的条件；同时，对于大多数数字控制系统，,D/A,转换器都具有零阶保持器的作用。,综上所述，对于大多数离散系统，其输出信号,C,（,t,）,都是平滑无跳变的，通过,z,变换所求取的输出脉冲序列,C,（,z,）,完全可以准确地描述实际的输出信号,C,（,t,）。,8.4.5,差分方程,1,差分方程的基本概念,g,（,t,）,是系统连续部分的脉冲响应函数。系统的输入信号,r(t,),经理想开关采样后变成一个理想脉冲序列,r,*,(t,),G,（s）,r(t,),c(t,),T,s,r,*,(t,),T,s,c,*,(t,),在某一采样瞬时,t,=,nT,s,，,输出信号的瞬时值为,例,8.32,求上图所示系统的差分方程，其中,解,：系统连续部分的脉冲响应函数为,在,t,=,nT,s,瞬时的输出为,由以上两式得,为了强调是序列，可令采样周期为,1,s,，,则上式可写成,上式就是描述图所示离散控制系统的差分方程，也称前向差分方程。由于此离散系统在任一采样时刻的输出值,c,（,n,+1,）,与系统在前一采样时刻的输出值,c,（,n,）,有关，称为一阶差分方程。从此系统的差分方程可见，系统在任一采样时刻的输出值,c,（,n,+1,）,也与系统在当前采样时刻的输入瞬时值,r,（,n,）,有关，即某一采样瞬时的输入将立刻改变系统在此采样时刻的输出瞬时值，说明了系统的输出在每个采样时刻将发生跳变。,对于,n,阶连续系统所构成的离散系统，其时域模型是,n,阶差分方程，即当前采样时刻的输出与系统在过去,n,个采样时刻的输出有关。,2,应用,Z,变换求解差分方程,（类似用,s,变换求解微分方程）,已知外输入和初始条件时，可以用迭代解法求出在任一采样时刻的输出值，但输出在采样时刻的一般表达式却很难得到。但利用,Z,变换可以实现。,利用,Z,变换的超前定理,(,T,s,=1s),将差分方程 代数方程,解,：对差分方程两边取,Z,变换,例,8.33,用,Z,变换法解二阶差分方程,代入初始条件化简得,得,:,3,差分方程与脉冲传递函数的相互转换,解：,差分方程,脉冲传递函数,已知,求解,求解,已知,例,8.34,设初始条件为,0,，已知差分方程,，试求脉冲传递函数,G,（,z,）。,解：,将上式等号两边分子、分母交叉相乘，得,例,8.35,已知脉冲传递函数，试求差分方程。,在零初始条件下，应用,z,变换实位移定理，得,在离散系统分析中，最常用的数学模型仍然是脉冲传递函数，差分方程由于便于用迭代法求解，主要用于数字计算机求解，但一般不能得到解的闭合形式。,8.5,离散系统稳定性分析,建立起离散系统的数学模型（脉冲传递函数）后，就能够分析离散系统各方面的性能。与连续系统的性能分析类似，分析离散控制系统主要包括对系统稳定性、稳态性能、动态性能的分析。,由于离散系统的拉氏变换是,s,的超越函数，不能直接使用连续系统的相关分析方法，离散系统分析必须在,z,变换的基础上进行。,8.5.1,离散系统稳定的充分必要条件,设系统为零初始状态，则在单位理想脉冲信号作用下输出的,Z,变换为,当,C,(,z,),无重根时（如果有重根，结论相同）：,为,C,(,z,),的单极点，也是闭环脉冲传递函数的极点,结论：,系统稳定的充分必要条件是,C,(,z,),的所有极点位于,z,平面上的以原点为圆心的单位圆内。,若：，系统稳定,有一极点 ，系统不稳定,有一极点 ，系统临界稳定,s,平面与,z,平面有如下映射关系：,系统稳定的充分必要条件：,离散特征方程的全部特征根均位于,z,平面上以原点为圆心的单位圆内。,例,8.36,已经求得离散系统的闭环特征方程，,利用求根公式可直接求出两个闭环特征根为,z,1,=,0.076,z,24.876,该闭环系统有一个特征根,z,2,的模,|,z,2,|,4.876,1,，,故该闭环系统不稳定。,将,T,s,=1s,代入，有,8.5.2,离散系统的劳斯判据,1 W,变换与劳斯稳定判据,令,w,复,平面上的复数,z,复平面上的复数,由于,z,与,w,均为复自变量，有,将,z,代入,w,的表达式，并将实部虚部分解有,可见，,z,平面与,w,平面有如下映射关系：,1 z,平面的单位圆映射为,w,平面的虚轴，即,u,=0,（,实部等于,0,），,为临界稳定区域；,2 z,平面的单位圆外的区域映射为,w,平面的右半平面，即,u,0,（,实部大于,0,），为不稳定区域；,3 z,平面的单位圆内的区域映射为,w,平面的左半平面，即实部,u,0,（,实部小于,0,），为稳定区域。,特征方程,的根在,w,平面左半部，则 的根在,z,平面上以原点为圆心的单位圆内。,2,应用劳斯稳定判据判别离散系统稳定性的步骤,（,1,）求离散系统的特征方程,（,2,）将 得,（,3,）应用劳斯稳定判据,离散系统稳定的充分必要条件是 的根均在,w,平面左半部。,例,8.37,试判断系统稳定否。,将 代入,解：,化简后，,w,3,w,2,w,1,w,0,1 2 0,2 40,18 0,40 0,第一列元素符号改变两次，不稳定有,2,个根位于,w,平面左半部，即位于,z,平面上以原点为圆心的单位圆外。,例,8.38,试确定图示系统稳定的,K,的取值范围。,解：,离散系统开环脉冲传递函数为,系统稳定的充分必要条件是,将 代入,判断离散系统稳定性的方法还有朱利稳定判据,(,类似连续系统的赫尔维茨判据,),与雷伯尔,(,Raibel,),稳定判据，也可在采用双线性变换后利用频率法分析，读者可以参考其他资料。,8.5.3,小结,1,）线性离散系统的稳定性与初始条件和外作用信号的形式无关，完全由系统本身的结构与参数，以及采样周期,T,s,决定。,2,）二阶连续系统总是稳定的（包括临界稳定），而加入采样开关后，稳定性降低，开环传递系数过大，可能导致系统不稳定。,3,）大多数情况下，,加入采样开关对系统稳定性不利,。当开环传递系数一定时，采样周期,T,s,越长，丢失的信息越多，对离散系统的稳定性与动态性能的影响就越大。反之，,T,s,越短（即采样频率越高），离散系统就越接近于连续系统，稳定性就越好。,4,）存在一些特殊情况，如对于有延迟环节的系统，加入采样开关可以改善稳定性。,5,）采用双线性变换后，凡适用于分析连续系统的方法（频域法、根轨迹法）均可推广到离散系统。,8.6,离散系统的稳态误差分析,与连续系统一样，离散控制系统的稳态误差也是分析、设计系统的重要指标。系统存在稳态误差的前提是该系统是稳定的。当系统存在稳态误差时，,稳态误差的大小取决于系统的类型、开环放大系数和输入信号，并与采样周期,T,s,有关。,离散控制系统的稳态误差可以从,z,变换的终值定理求出。,由,Z,变换的终值定理，系统的稳态误差为,8.6.1,采样瞬时的稳态误差,与输入信号和 有关,r,(,t,),c,(,t,),G,(,s,),T,s,e,(,t,),e,*,(,t,),E,(,z,),上式只说明系统在采样时刻的稳态误差，并表明线性定常离散系统的稳态误差与输入序列,R,(,z,),及系统本身的结构和参数有关。此外，由于,G,（,z,）,与采样周期有关，因此离散系统的稳态误差还与采样周期的大小有关。,如果要求出其他结构形式离散系统的稳态误差，或者要求求出离散系统在扰动作用下的稳态误差。,只要根据系统结构求出系统给定误差的,z,变换函数,E,(,z,),或扰动误差的,z,变换函数,E,n,(,z,),。,在离散系统稳定的前提下，应用,z,变换的终值定理即可求出系统采样瞬时的稳态误差。,8.6.2,离散系统系统的型别与典型输入信号作用下稳态误差,1,单位阶跃输入,0,型系统,型及以上的系统,令 位置误差系数,2,单位斜坡输入,令 速度误差系数,0,型系统,型及以上系统,型系统,系统稳态误差为有限值。,3,单位抛物线输入,令 加速度误差系数,0,型和,型系统,型及以上系统,型系统,系统稳态误差为有限值。,离散控制系统的无差度,连续系统类似的结论：离散系统的型别根据开环脉冲传递函数,G,(z),中,z1,的极点个数来确定。,v,=1,，,2,，,3,，,分别称为,0,型、,型、,型等等。,当离散系统为前图所示的典型系统时，可以直接由此表根据系统的开环脉冲传递函数直接求取在给定信号作用下的稳态误差。如果是其他结构的离散系统，则先求出,E,(z),，,再根据终值定理求取稳态误差。,表,8.2,典型离散系统在不同信号作用下采样瞬时的稳态误差,G,(,s,),的极点和,G,(z),极点的关系,（,1,）,G,(,s,),的极点数量,=,G,(z),的极点数量；,（,2,）,G,(,s,),的零值极点数量,=,G,(z),中“,z,=1”,的极点数量；,（,3,）与连续系统一样,G,(,s,),中所含积分环节个数,=1,表征系统的无差度，,=0,是有差系统，,=1,是一阶无差系统，,=2,是二阶无差系统；,（,4,）采样瞬时的,e,(,),与采样周期,T,s,有关，,T,s,，,e,(,),。,例,8.40,求图示系统的速度误差系数。,解：,系统连续部分的传递函数为：,系统是一阶无差系统，并可判断该系统是稳定的。,系统开环脉冲传递函数为：,K,p,=,由于输入信号为,r,（,t,）,=1+,t,，,则根据表,8.2,可得系统的稳态误差为,由于系统连续部分有,积分环节,，系统在阶跃输入作用下的稳态误差为,0,。,8.7,离散系统的动态性能分析,应用,z,变换法分析线性定常离散系统的动态性能，通常有时域法、根轨迹法和频域法，其中时域法最简便。本节主要介绍在时域中如何求取离散系统的时间响应，以及在,z,平面上定性分析离散系统闭环极点与其动态性能之间的关系。,8.7.1,离散系统的时间响应,通过,z,反变换，可以求出输出信号的脉冲序列,c*,（,t,）,代表线性定常离散系统在单位阶跃输入作用下的响应过程。,由于离散系统时域指标的定义与连续系统相同，故根据单位阶跃响应曲线,c*,（,t,）,可以方便地分析离散系统的动态和稳态性能。,在已知离散系统结构和参数情况下，应用,z,变换法研究系统的动态性能时，通常假定外作用为单位阶跃函数。如果可以求出离散系统输出量的,z,变换函数为,如果无法求出离散系统的闭环脉冲传递函数,（,z,）,，,但由于,R,（,z,）,是已知的，且,C,（,z,）,的表达式总是可以写出的，因此求取,c,*,（,t,）,在技术上是没有困难的。,应当指出，由于离散系统的时域性能指标只能按采样周期整数倍的采样值来计算，所以是近似的。,8.7.2,闭环极点与动态响应的关系,与连续系统类似，离散系统的结构参数，决定了闭环脉冲传递函数的极点在,z,平面上单位圆内的分布，对系统的动态响应具有重要的影响。,可求出离散系统输出的,z,变换,(,离散系统稳定，假定,（,z,）,无重极点，,r,（,t,）,=1,（,t,）,）,部分分式展开，有,式中系数可由留数定理求取。,式中，等号右端第一项的,z,反变换是稳态分量，若其值为,1,，则单位反馈离散系统在单位阶跃输入作用下的稳态误差为零；第二项的,z,反变换为,c*,（,t,）,的瞬态分量。,p,j,在单位圆内的位置不同，它所对应的,c*,（,t,）,的动态响应形式也就不同。,闭环实极点分布与相应动态响应形式的关系。,闭环复数极点分布与相应动态响应形式的关系。,综上所述,，闭环脉冲传递函数极点在单位圆内，对应的瞬态分量均为收敛的，故系统是稳定的。当闭环极点位于单位圆上或单位圆外，对应的瞬态分量均不收敛，产生持续等幅脉冲或发散脉冲，系统不稳定。,为了使离散系统具有较满意的动态过程，极点应尽量避免在左半圆内，尤其不要靠近负实轴，以免产生较强烈的振荡。,闭环极点最好分布在,z,平面的右半单位圆内，尤其理想的是分布在靠近原点的地方。这样系统反应迅速，过渡过程进行较快。,例,8.41,设有零阶保持器的离散系统如图所示，其中,r,（,t,）,=1,（,t,）,，,T,s,=1s,，,K,=1,。,试分析该系统的动态性能。,解：,先求开环脉冲传递函数与闭环传递函数分别为,代入,R,（,z,），,求出单位阶跃响应的,z,变换为,用长除法展开成幂级数,z,反变换得到,由图可以求得给定离散系统的各种近似性能指标，由于离散系统的时域性能指标只能按采样周期整数倍的采样值来计算，所以是近似的。,T,s,2,T,s,3,T,s,4T,s,5,T,s,6,T,s,7,T,s,8.8,离散控制系统的数字校正,如何设计出一个能满足给定性能指标要求的控制器，是系统的综合与设计问题。系统满足三个常规的性能指标要求：快速性、准确性、稳定性。在离散控制过程中，一个采样周期称为一拍。,最少拍系统设计方法是离散系统校正和设计中一种比较简便实用的方法，即是在典型输入信号的作用下，经过最少采样周期，系统采样误差信号减少到零，实现完全跟踪。,最少拍系统,属于离散系统独具的一种特性，因为连续系统的过渡过程从理论上讲只有当,t,才能真正结束，而离散系统却有可能在有限的时间内完成，从而实现时间最佳控制系统。,根据对离散系统性能指标的要求，确定闭环脉冲传递函数,(,z,),和误差脉冲传递函数,e,(,z,),，,便可以确定出控制器的脉冲传递函数,D,(z),。,8.8.1,数字控制器的脉冲传递函数,1,脉冲传递函数,D,（,z,）,的求法,系统闭环脉冲传递函数和误差传递函数分别为：,图中，,D,（,z,）,为数字控制器（数字校正装置）的脉冲传递函数，,以上设计出的数字控制器只是理论上的结果，而要设计出具有实用价值的,D,（,z,）,应满足以下两点条件：,（,1,）,D,（,z,）,是稳定的，即极点均在,z,平面单位圆内；,（,2,）,D,（,z,）,是可实现的，即极点数,r,要大于或等于零点数,l,。,2,D,（,z,）,的实现,8.82,最少拍系统设计,1,最少拍系统的概念,（,1,）稳定度,所谓系统的稳定度是指系统的相对稳定性，按照,s,平面与,z,平面的映射关系：,值越大，极点在左半,s,平面离虚轴越远，稳定度越高。这时，在,z,平面上的极点离原点越近。若极点在左半,s,平面离虚轴无穷远，则在,z,平面上极点集中在原点处。即,就称该系统具有无穷大稳定度。,由以上分析可得如下结论：,若离散系统脉冲传递函数的极点全部在,z,平面的原点（即,z,特征方程的根全部为零），则系统具有无穷大稳定度。,（,2,）最少拍系统的时间最优概念,在采样过程中，通常把一个采样周期称为一拍。所谓最少拍系统，是指在典型输入作用下，能够以有限拍结