1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2018/6/5,#,级数趣题,利伟高级中学,高圆圆,级数的发展：,级数理论的发展经历了一个相当漫长的时期，从芝诺,(ZenoofElea,，约公元前,490,一约公元前,425),的二分法涉及到把,1,分解成无穷级数，亚里斯多德也认为这种公比小于,1,的几何级数有和，到阿基米德（公元前,287-,公元前,212,）在他的,抛物线图形求积,一书中，在求抛物线弓形面积的方法中使用了几何级数，并求出了它的和，这时中国对于级数也有所发现。中国古代的,庄子,天下,中的“一尺之锤，日取其半，万世不竭”含有极限的思想。用数
2、学形式表达出来也是无穷级数。在中世纪，无穷级数的发展已经到了一个很高的水平，其中最为杰出的代表人物要数奥雷姆，他明确几何级数有两种可能性，当公比大于等于,1,时，无穷几何级数有无穷和；,当公比小于等于,1,时有有限和。但由于仅限于文字叙述和几何方法，所以十五、六世纪对于级数的研究没有取得重大进步。,17,世纪到,18,世纪，可以说是级数理论发展的黄金时期，先是,1669,年牛顿详细写下关于级数研究的论文,用无限多项方程的分析学,然后是莱布尼兹用同样的方法得到了结果，再然后是格雷戈、泰勒，并且发展了泰勒定理，还有拉格朗日、斯特林等一系列的数学家对于级数理论的研究都做出了巨大的贡献。而级数理论的形
3、成和建立是在,19,世纪，柯西是第一个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广而应当以极限为基础建立起完整理论的数学家，之后在经过了几十年，级数理论才得以真正的完善,级数的定义：,趣味例,1,老鼠,穿墙问题,（,九章算术,）,今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺,.,大鼠日自倍，小鼠日自半,.,问何日相逢，各穿几何？,今意是：有厚墙,5,尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙,.,大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半,.,问几天后两鼠相遇，各穿几尺？,变式：墙厚改为,100,尺,变式：墙厚改为,100,尺,小鼠：第一天打一尺，接下来无论打多少天 也超
4、不过一尺；,趣味例,2,：,张邱建算经,趣题：,今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，,日织九匹三丈。问日益几何,？,大意：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，,而且每天增加的长度都是一样的，已知第一天织了,5,尺，一个月后共织布,390,尺，问该女子织布每天,增加多少？,8,齐诺悖论,阿基里斯与乌龟,如果让阿基里斯(,Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头,1000,米开始,假定阿基里斯,的速度是,乌龟,的,10,倍,也永远追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了,1000,米,此时乌龟仍然前于他,100,米；当阿基里
5、斯跑了下一个,100,米时,乌龟仍然前于他,10,米,如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？,趣味例,3,：,9,如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论就会不攻自破,.,归纳总结,：,1.,了解级数的发展史。,2.,了解级数的定义。,3.,将实际问题转化为数学问题，,构建数学模型解决问题,.,你来问我来答！,作业欣赏,一尺之棰，日取其半，万世不竭,。,天行健，君子以自强不息。,周易,译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。,名句欣赏,再见！,
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