第3章-线性系统的能控性与能观测性-3.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,课堂习题：,若系统的状态空间表达式为,1),判别能控性,2),组成变换矩阵,3),求,3.6.3,系统按能控性和能观测性分解,定理,11,：,设有,n,维线性定常系统,（,A,、,B,、,C,）,状态不完全能控和不完全能观测,，,若其能控性矩阵,Q,C,的秩和,能观测,矩阵,Q,O,的秩均小于,n,，,则存在一个非奇线性变换,X,(,t),=,T,(,t,),能将系统变换为,式中：,以上所作的线性非奇异变换,T,将,n,维状态空间,(A,B,C),分解,为4个子空间,1,(A,1,B,1,C,1,),、,2A,2,B,2,C,2,)、,3,(A,3,B,3,C,3,),、,4,(A,4,B,4,C,4,),1,(A,1,B,1,C,1,),可控可观测子空间,2,(A,2,B,2,C,2,),可控,不可观测,子空间,3,(A,3,B,3,C,3,),不,可控可观测子空间,4,(A,4,B,4,C,4,),不可控,不可观测,子空间,X,4,(,t,),dt,A,44,+,A,43,+,+,Y,(t),+,Y,1,(t),+,X,3,(,t,),U,(t),A,12,+,+,X,1,(,t,),B,1,A,11,C,1,dt,+,X,2,(,t,),dt,A,22,+,B,2,+,+,+,A,21A,24,dt,A,33,C,3,Y,3,(t),+,A,23,两种结构分解的方法：,讨论系统形式,1,.,逐步分解,法,(1),将系统,(,A,，,B,，,C),按能控性分解,根据前述方法取变换阵,T,C,，,作如下变换,(2),将系统 不能控部分进行能观测分解,(3),将系统 能控部分进行能观测分解,例,3,.12,：,若系统的状态空间表达式为,判断系统的能控性和能观测性。若不完全可控、可观测，试进行能控、能观测性分解。,解,：,系统的状态能控性矩阵为,2.,排列变换法,排列变换法的应用,步骤,：,第一步,首先将待分解的系统,（,A,，,B,，,C,）,化成标准型，即将系统的系统矩阵,A化成对角型或约当型，写出新的系统的状态空间表达式。,第二步,按系统能控性和能观测性法则判别系统各状态变量的能控性和能观测性，并将系统的状态变量分为能控又能观测的状态变量,X,CO,，,能控不能观测的状态变量,X,C,O,，,不能控能观测的状态变量,X,C,O,，,不能控不能观测的状态变量,X,CO,。,第三步,按照,X,CO,，,X,C,O,，,X,C,O,，,X,CO,的顺序重新排列各状态变量的关系，就可组成相应的子系统。,例,3,.13,：,若系统的状态空间表达式为,将系统按能控性、能观测性进行分解。,解,：,系统的系数矩阵,A,为对角阵，可按对角规范型判别状态,变量的能控性、能观测性。x,3,能控又能观测状态变量,X,CO,x,4,能控不能观测状态变量,X,C,O,x,2,不能控能观测状态变量,X,C,O,x,1,不能控不能观测状态变量,X,CO,将,上述方程的状态变量按,X,CO,，,X,C,O,，,X,C,O,，,X,CO,顺序排列如下：,例,3,.14,：,若系统的状态空间表达式为,将系统按能控性、能观测性进行分解。,解,：,系统的系数矩阵,A,不为对角阵，需要将系统化为标准型，然后按标准型判别状态变量的能控性、能观测性。,由,特征向量构成的变换阵为：,能控能观测,不能控能观测,能控不能观测,不能控不能观测,3.7,能控性和能观测性与传递函数矩阵之间的关系,定理,315,若系统的状态向量与输入向量之间的传递函数矩阵,的各行线性无关，则系统能控。,定理,3.16,若输出向量与初始状态向量之间的传递函数矩阵,的各列线性无关，则系统能观测。,充分条件,状态空间,系统能控,控制策略,系统稳定,系统辨识,信号滤波,鲁棒控制,自适应控制,智能控制方法,系统实现,3.6,线性连续系统的实现,1.基本概念,实现的定义：,根据给定的传递函数阵求相应的状态空间表达式，,而所求到的状态空间表达式就称为传递函数阵的一,个实现。,注意：,反映系统输入输出信息传递关系的传递函数阵只能反映,既能控又能观测的那部分子系统的动态特性。,最小实现：,给定传递函数阵的众多实现中，状态空间表达式,维数最少的一种实现，称之为,最小实现,。,例：,对于给定的传递函数阵，若有一个状态空间表达式,满足：,则称该,状态空间表达式为传递函数阵,G,(,s,),的一个实现。,注意：,并不是任意一个传递函数阵,G,(,s,),都能找到其实现。通常必须满足,可实现的条件,。,1,）传递函数阵,G,(,s,),中的每一个元素,G,ij,(,s,)(,i,=1,2,m;j,=1,2,r,),的分子分母多项式的系数均为实常数。,2,）传递函数阵,G,(,s,),中的每一个元素,G,ij,(,s,),均为,s,的真有理分式,函数，即,G,ij,(,s,),的分子多项式的阶数低于或等于分母多项,式的阶数。,3,）,G,ij,(,s,),的分子多项式阶数低于分母多项式阶数时，称,G,ij,(,s,),为严格真有理分式。若,G,(,s,),阵中所有的元素都为严格真,有理分式时，则其实现具有,(,A,B,C,),的形式；,4）若,G,(,s,),阵中至少有一个元素,G,ij,(,s,),分子多项式阶数等于分母,多项式阶数时，则其实现具有,(,A,B,C,D,),的形式。且满足,注：,若,G,(,s,),阵不为严格真有理分式时，可按,求出,D,，,然后求,G,(,s,),D,使系统成为,严格真有理分式,的形式。,例,3,.,1,5,求传递函数矩阵的,D,和,C,(,s,I-A,),-,1,B,解,：,求传递函数矩阵的,D,2,.系统标准型实现,1,）单输入单输出系统的实现,给出单输入单输出系统的传递函数,讨论：,当,m,=,n,时,不为零，意味着输出包含了直接由输入传递来的分量,也就是,实现,(,A,B,C,D,),中的,D,不为零，,D,=,当,m,n,时,下面只针对,m,n,的情况进行讨论。,系统的能控型实现,为,系统的能观测型实现,为,例,3.16,单输入单输出系统的传递函数为,求系统的能控型实现和能观测型实现,解：,单输入单输出系统的能控型实现为,单输入单输出系统的能观测型实现为,2,）,多,输入多输出系统的实现,讨论具有,r,个输入和,m,个输出的多变量系统，其系统传递函数矩阵,Gs,),可表示为如下形式：,式中，,均为,m,r,实常数 矩阵,当,m,=,n,时,不为零，意味着输出包含了直接由输入传递来的分量,也就是,实现,(,A,B,C,D,),中的,D,不为零，,D,=,当,m,n,时,下面只针对,m,n,的情况进行讨论。,系统的能控型实现,为,系统的能观测型实现,为,例,3.17,多输入多输出系统的传递函数为,求系统的能控型实现和能观测型实现。,解：,系统能控型实现为：,系统能观测型实现为：,3,.,10,系统的最小实现,定义10,对于给定的传递函数矩阵,G,(,s,)，,其实现的形式不是唯一的。在系统的众多实现中，系统的系数矩阵,A,具有最小维数的实现称之为最小实现。,定理12,给定的传递函数矩阵,G,(,s,),的一个实现,(,A,B,C),满足,为最小实现的充要条件是,(,A,B,C),不但能控而且能观测。,对给定的,传递函数矩阵,G,(,s,)，,最小实现的实现步骤：,1.将系统的传递函数矩阵,G,(,s,),按能控型（或能观测型）实现构造,(,A,B,C),，,然后判断系统,(,A,B,C),的能观测性（或能控性）。若为能控又能观测的，则,(,A,B,C),便是最小实现。否则进行下一步。,2.对系统的传递函数矩阵,G,(,s,),的标准型实现,(,A,B,C),进行结构,分解，找出其状态完全能控又能观测的子系统,这便是,G,(,s,),的一个最小实现。,例,3.18,试求传递函数阵,的最小实现。,解：,采用能观测标准型实现,检测所求,能控,标准型,是否能控,是能控且能观测的，为最小实现,系统的能控型实现为：,能控型实现,为,系统的能观测判别矩阵,R,ank(Q,O,)=3 6,系统不是状态完全能观测。,结论：,上述能控性实现不是最小实现。,需要对系统进行结构分解，构造变换阵,T,系统的最小实现为：,判别该能控标准型实现的状态是否完全能观测,构造变换矩阵,将系统按能观测性进行分解,下列传递函数阵的最小实现。,系统的能控标准型,是能控且能观测的子系统,注意：,1.,传递函数矩阵,G,(s),的实现不是唯一的；,2.,传递函数矩阵G,(s),的最小实现也不是唯一的；,3.,传递函数矩阵,G,(s),最小实现的维数是唯一的；,4.,同一传递函数矩阵,G,(s),的最小实现是代数等价的；,5.,传递函数矩阵,G,(s),最小实现的方法,能控标准型实现,能观测标准型结构分解,最小实现,能观测标准型实现,能控标准型结构分解,最小实现,约当标准型实现,能控标准型结构分解,最小实现,能观测标准型结构分解,4.,系统的约当标准型实现,应用：,针对系统的,传递函数,G,(,s,),有重极点的情况,讨论：,设,p,1,为,r,重极点，其它,p,i,(,i,=,r,+1,r,+2,n,),为互异。,采用部分分式展开法可得：,选取状态变量写出约旦标准型的状态空间表达式；,用,标准型判据判定系统的能控性与能观测性；,若,系统状态完全能控和能观测，则所选取的状态空间表达式即为系统的一个最小实现，否则进行结构分解。,例,3.19,试求传递函数阵,的最小实现。,解：,采用部分分式展开法，有,其中：,系统能控能观测，是最小实现。,+,+,+,U(S),Y(S),+,+,U(S),+,+,+,+,+,Y(S),已知系统状态方程及初始条件,用拉普拉斯变换求状态转移矩阵；,用化标准型的方法求状态转移矩阵。,已知系统状态方程及初始条件,用拉普拉斯变换求状态转移矩阵；,用化标准型的方法求状态转移矩阵。,系统状态转移矩阵为：,用化标准型的方法求状态转移矩阵。,定理：将,n,阶矩阵,A,转化为对角阵的充要条件：,A,所对应的每个特征值对应的特征向量线性无关的,最大个数等于该特征值的重数。,由以上可知：,对应的特征向量,可以得到线性无关的两个特征向量,可以得到线性无关的两个特征向量,由此可知此矩阵可与对角阵相似，而不是约当标准型,矩阵,A,可以转化为对角阵，求其特征向量。,3.6,解：,1,）,a,1,2,，,4,，系统将出现不完全能控或不完全能观,2,）,a,1,由,G,（,S,）可知,设,3.6,由,G,（,S,）可知,设,3.6,由,G,（,S,）可知,设,3.6,系统为能控，可知,B,中对应于,A,的每行必须不为零。,3.6,系统为能控，可知,C,中对应于,A,的每列必须不为零。,已知系统的微分方程为,试求系统的最小实现,(20,分,),已知系统的微分方程为,试求系统的最小实现,(20),作业,3-13,3-14,3-15,3-16,3-17(1),3-18(1),MATLAB,中可以用,ctrb(A,B,),函数求系统的能控判别矩阵,M,，并用,rank,（,M,）,求,M,的秩。下列,MATLAB,程序可以求,出例,3.3,的,M,阵及其秩。,A=0 1 0 0;0 0-1 0;0 0 0 1;0 0 5 0;,B=0 1;1 0;0 1;2 0;,M=,ctrb(A,B,),R=,rank(M,),end,运行结果为：,M=,0 1 1 0 0 -1 -2 0,1 0 0 -1 -2 0 0 -5,0 1 2 0 0 5 10 0,2 0 0 5 10 0 0 25,r=4,