概率论与数理统计(第二章2节).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一,.,离散型随机变量的概念与性质,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,离散型随机变量的定义,如果随机变量,X,的取值是有限个或可列无,穷个，则称,X,为离散型随机变量,2,离散型随机变量,返回主目录,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,离散型随机变量的分布律,设离散型随机变量,X,的所有可能取值为,并设,则称上式或,为离散型随机变量,X,的分布律,返回主目录,说 明,离散型随机变量可完全由其分布律来刻划,即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这,些值的概率唯一确定,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,离散型随机变量分布律的性质,:,返回主目录,例,1,从,1,10,这,10,个数字中随机取出,5,个数字，令：,X,：,取出的,5,个数字中的最大值,试求,X,的分布律,解：,X,的取值为5，6，7，8，9，10,并且,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,具体写出，即可得,X,的分布律：,返回主目录,例,2,将,1,枚硬币掷,3,次，令：,X,：,出现的正面次数与反面次数之差,试求,X,的分布律,解：,X,的取值为,-3,，,-1,，,1,，,3,并且,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,例,3,设离散型随机变量,X,的分布律为,则第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,例,3,（续）,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,例,4,设随机变量,X,的分布律为,解：由随机变量的性质，得,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,该级数为等比级数，故有,所以,返回主目录,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以,1/2,的概率允许或禁止汽车通过,.,以,X,表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求,X,的分布律,.,(,信号灯的工作是相互独立的,),.,P,X=,3=(1-,p,),3,p,可爱的家园,例,5,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,解：,以,p,表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则,X,的分布律为：,X,p,k,0 1 2 3 4,p,(,1-,p,),p,(1-,p,),2,p,(1-,p,),3,p,(1-,p,),4,或写成,P,X,=,k,=(1-,p,),k,p,，,k,=0,1,2,3,P,X,=4=,(1-,p,),4,例,5(,续,),返回主目录,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,以,p,=1/2,代入得：,X,p,k,0 1 2 3 4,0.5,0.25 0.125 0.0625 0.0625,例,5(,续,),返回主目录,二、一些常用的离散型随机变量,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,1),Bernoulli,分布,如果随机变量,X,的分布律为,或,则称随机变量,X,服从参数为,p,的,Bernoulli,分布,返回主目录,Bernoulli,分布也称作,0-1,分布或二点分布,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,Bernoulli,分布的概率背景,进行一次,Bernoulli,试验，设：,令：,X,：,在这次,Bernoulli,试验中事件,A,发生的次数,或者说：令,返回主目录,例,6,15,件产品中有,4,件次品，,11,件正品从中取出,1,件,令,X,：,取出的一件产品中的次品数则,X,的取值,为,0,或者,1,，并且,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,2,）二 项 分 布,如果随机变量,X,的分布律为,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,说 明,显然，当,n=1,时,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,二项,分布的概率背景,进行,n,重,Bernoulli,试验，设在每次试验中,令,X,：,在这次,Bernoulli,试验中事件,A,发生的,次数,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,分布律的验证,由于,以及,n,为自然数，可知,又由二项式定理，可知,所以,是分布律,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,例,7,一张考卷上有,5,道选择题，每道题列出,4,个可能答案，,其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能,答对,4,道题的概率是多少？,解：每答一道题相当于做一次,Bernoulli,试验，,则答,5,道题相当于做,5,重,Bernoulli,试验,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,例,7,（续）,所以,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,二项分布的分布形态,由此可知，二项分布的分布,先是随着,k,的增大而增大，达到其最大值后再随着,k,的增大而减少这个使得,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,可以证明第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,例,8,对同一目标进行,300,次独立射击，设每次射击时的命,中率均为,0.44,，试求,300,次射击最可能命中几次？其,相应的概率是多少？,解：对目标进行,300,次射击相当于做,300,重,Bernoulli,试验令：,则由题意,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,例,8,（续）,因此，最可能射击的命中次数为,其相应的概率为,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,3,）,Poisson,分布,如果随机变量,X,的分布律为,则称随机变量,X,服从,参数为,的,Poisson,分布,第二章随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,分布律的验证,由于,可知对任意的自然数,k,，有,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,又由幂级数的展开式，可知,所以,是分布律,返回主目录,Poisson,分布的应用,Poisson,分布是概率论中重要的分布之一,自然界及工程技术中的许多随机指标都服从,Poisson,分布,例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从,Poisson,分布的,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,例,9,设随机变量,X,服从参数为,的,Poisson,分布，且已知,解：,随机变量,X,的分布律为,由已知,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,例,9,（续）,得,由此得方程,得解,所以，,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,例,10,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,例,10,（续）,解：设,B=,此人在一年中得,3,次感冒,则由,Bayes,公式，得,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,Poisson,定理,证明：,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,Poisson,定理的证明,(,续,),对于固定的,k,，有,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,Poisson,定理的证明,(,续,),所以，,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,Poisson,定理的应用,由,Poisson,定理，可知,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,例,11,设每次射击命中目标的概率为,0.012,，现射击,600,次，,求至少命中,3,次目标的概率（用,Poisson,分布近似计,算）,解：设,B=600,次射击至少命中,3,次目标,进行,600,次射击可看作是一,600,重,Bernoulli,试验,.,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,例,11,（续）,所以，,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现,有同类型设备,300,台，各台工作是相互独立的，发生,故障的概率都是,0.01,.,在通常情况下，一台设备的故障,可有一人来处理,.,问至少需配备多少工人，才能保,证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于,0.01,？,解：,设需配备,N,人，记同一时刻发生故障的设备台数为,X,，,则,X,b,(,300,，,0.01,）,，,需要确定最小的,N,的取值，使得：,例,12,返回主目录,查表可知，满足上式的最小的,N,是,8,因此至少需配备,8,个工人。,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,设有,80,台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是,0.01,，且一台设备的故障能由一个人处理,.,考虑两种配备维修工人的方法：,其一，由,4,人维护，每人负责,20,台,其二，由,3,人,共同维护,80,台,.,试比较这两种方法,在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小,.,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,例,13,返回主目录,解：,按第一种方法,.,以,X,记 “,第,1,人负责的,20,台,中同一时刻发生故障的台数,”则,X,b,(,20,，,0.01,）,.,以,A,i,表示事件“,第,i,人负责的台中发生故障不能及,时维修,”，则,80,台中发生故障而不能及时维修,的概,率为：,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,例,13(,续,),返回主目录,按第二种方法,.,以,Y,记,80,台中同一时刻发生故障,的台数,，,则,Y,b,(,80,，,0.01,）,.,故,80,台中发生故障而,不能及时维修的概率为：,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,例,13(,续,),第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小，且维,修工人减少一人。,运用概率论讨论国民经济问题，可以,有效地使用人力、物力资源。,返回主目录,4,）几 何 分 布,若随机变量,X,的分布律为,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,分 布 律 的 验 证,由条件,由条件可知,综上所述，可知,是一分布律,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,几何分布的概率背景,在,Bernoulli,试验中，,试验进行到,A,首次出现为止,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,即,返回主目录,例,14,对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率,为,0.64,，射击进行到击中目标时为止，令：,X,：,所需射击次数,试求随机变量,X,的分布律，并求至少进行,2,次射击,才能击中目标的概率,解：,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,例,14,（续）,由独立性，得,X,的分布律为：,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,5,）超 几 何 分 布,如果随机变量,X,的分布律为,第二章,随机变量及其分布,2,离散型随机变量,返回主目录,超几何分布的概率背景,一批产品有,N,件，其中有,M,件次品，其余,N-M,件,为正品现从中取出,n,件,令：,X,：,取出,n,件产品中的次品数 则,X,的分,布律为,2,离散型随机变量,第二章,随机变量及其分布,返回主目录,