梯度与方向导数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,8,7,方向导数与梯度,一、方向导数,二、梯度,方向导数与偏导数的关系、,三元函数的方向导数,梯度与方向导数、,梯度的模、方向导数的最大值,等高线、,梯度与等高线的关系,三元函数的梯度、,等量面,数量场与向量场、,势与势场,一、方向导数,设函数,z,f,(,x,，,y,),在点,P,(,x,，,y,),的某一邻域,U,(,P,),内有定义,自点,P,引射线,l,设,x,轴正向到射线,l,的转角为,j,，并设,P,(,x,x,，,y,y,),为,l,上的另一点且,P,U,(,P,),若此极限存在，则称此极限为函数,f,(,x,，,y,),在点,P,沿方向,l,的方向导数，,记作 ，即,其中,r,O,x,y,P,l,j,P,x,y,考虑,，,，,r,定理 如果函数,z,f,(,x,，,y,),在点,P,(,x,，,y,),是可微分的，那么函,数在该点沿任一方向,l,的方向导数都存在，且有,方向导数与偏导数的关系：,=cos,j,+,sin,j,，,其中,j,为,x,轴到方向,l,的转角,简要证明：,f,(,x,x,，,y,y,),f,(,x,，,y,),定理 如果函数,z,f,(,x,，,y,),在点,P,(,x,，,y,),是可微分的，那么函,数在该点沿任一方向,l,的方向导数都存在，且有,方向导数与偏导数的关系：,=,cos,j,+,sin,j,，,其中,j,为,x,轴到方向,l,的转角,简要证明：,f,(,x,x,，,y,y,),f,(,x,，,y,),讨论函数,z,f,(,x,，,y,),在点,P,沿,x,轴正向和负向，沿,y,轴正向和负向,的方向导数如何,?,讨论：,根据公式,=,cos,j,+,sin,j,提示：,沿,x,轴正向时，,cos,j,=1,，,sin,j,=0,，,沿,x,轴负向时，,cos,j,=-1,，,sin,j,=0,，,；,=,cos,j,+,sin,j,=,cos,j,+,sin,j,，,例,1,求函数,z,x,e,2,y,在点,P,(1,，,0),沿从点,P,(1,，,0),到点,Q,(2,，,1),的方向的方向导数,因此,x,轴到方向,因为,l,的转角为,j,e,2,y,，,2,x,e,2,y,故所求方向导数为,在点,(1,，,0),处，,1,，,2,1,cos,(,),2sin(,),x,y,O,-1,1,2,P,Q,x,轴到射线,l,的转角为,j,，,x,轴到 的转角为,q,，,讨论：,j,q,和,j,q,时的方向导数,解 因为,sin,q,cos,q,，,所以,cos,q,cos,j,sin,q,sin,j,cos,(,q,j,),O,x,y,l,j,其中,r,，,x,r,cos,a,，,y,r,cos,b,，,对于三元函数,u,f,(,x,，,y,，,z,),，定义它在空间一点,P,(x,，,y,，,z,),着方向,(,设方向的方向角为,a,、,b,、,g,),的方向导数如下,，,z,r,cos,g,如果函数在所考虑的点处可微分，有,=,cos,a,sin,b,cos,g,三元函数的方向导数：,二、梯度,设函数,z,f,(,x,，,y,),在平面区域,D,内具有一阶连续偏导数，则对,于任一点,P,(,x,，,y,),D,及任一方向,l,，有,称为函数,f,(,x,，,y,),在点,P,的梯度，记作,grad,f,(,x,，,y,),，即,grad,f,(,x,，,y,),=,cos,j,+,sin,j,，,cos,j,，,sin,j,，,其中向量,梯度与方向导数：,=,cos,j,sin,j,，,cos,j,，,sin,j,函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方,向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值,讨论：,已知方向导数为,的最大值是什么？,结论：,梯度的模：,|,grad,f,(,x,，,y,)|,=,cos,j,sin,j,曲面,z,f,(,x,，,y,),上的曲线,等高线：,在,xOy,面上的投影曲线,f,(,x,，,y,),c,称为函数,z,f,(,x,，,y,),的等高线,梯度与等高线的关系：,等高线,f,(,x,，,y,),c,上任一点,P,(,x,，,y,),处的法线的斜率为,y,x,O,grad,f,(,x,，,y,),fy,f,x,grad,f,(,x,y,),法线的方向向量是什么？,P,y,x,O,f,(,x,，,y,),c,f,(,x,，,y,),c,1,(,c,1,c,),函数,z,f,(,x,，,y,),在点,P,(,x,，,y,),的梯度的方向与过点,P,的等高线,f,(,x,，,y,),c,在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高,线指向数值较高的等高线，而梯度的模等于函数在这个法线方,向的方向导数这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向,梯度与等高线的关系：,等高线,f,(,x,，,y,),c,上任一点,P,(,x,，,y,),处的法线的斜率为,三元函数的梯度：,设函数,u,f,(,x,y,，,z,),在空间区域,G,内具有一阶连续偏导数，,对于每一点,P,(,x,，,y,，,z,),G,，函数,u,f,(,x,，,y,，,z,),在该点的梯度,grad,f,(,x,，,y,，,z,),定义为：,结论,：,三元函数的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向,导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值,等量面：,曲面,f,(,x,，,y,，,z,),c,为函数,u,f,(,x,，,y,，,z,),的等量面,函数,u,f,(,x,，,y,，,z,),在点,P,(,x,，,y,，,z,),的梯度的方向与过点,P,的等,量面,f,(,x,，,y,，,z,),c,在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低,的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个,法线方向的方向导数,例,3,求,grad,解 这里,f,(,x,，,y,),因为,，,，,所以,grad,例,4,设,f,(,x,，,y,，,z,),x,2,y,2,z,2,，求,grad,f,(1,，,1,，,2),解,grad,f,f,x,，,f,y,，,f,z,2,x,，,2,y,，,2,z,，,于是,grad,f,(1,，,1,，,2),2,，,2,，,4,如果与点,M,相对应的是一个向量,(,M,),，则称在这空间区域,G,如果对于空间区域,G,内的任一点,M,，都有一个确定的数量,f,(,M,),，则称在这空间区域,G,内确定了一个数量场,(,例如温度场、,密度场等,),一个数量场可用一个数量函数,f,(,M,),来确定,数量场与向量场：,内确定了一个向量场,(,例如力场、速度场等,),一个向量场可用一,个向量函数,(,M,),来确定，而,其中,P,(,M,),，,Q,(,M,),，,R,(,M,),是点,M,的数量函数,利用场的概念，我们可以说向量函数,grad,f,(,M,),确定了一个,向量场,梯度场，它是由数量场,f,(,M,),产生的通常称函数,f,(,M,),为这个向量场的势，而这个向量场又称为势场必须注意，,任意一个向量场不一定是势场，因为它不一定是某个数量函数的,梯度场,势与势场：,