第四章第一节导数及其应用.ppt

高考总复习,.,理科,.,数学,第四章 导数及其应用,考纲分解解读,1,导数概念及其几何意义,（,1,）了解导数概念的实际背景,（,2,）理解导数的几何意义,2,导数的运算,（,1,）能根据导数定义，求函数,的导数,（,2,）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如 的导数,.,常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：,.,3,导数在研究函数中的应用,（,1,）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次,（,2,）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次,4.,生活中的优化问题,会利用导数解决某些实际问题,知识体系构建,备考方略,导数是高中新教材改革后新增的知识之一，从近几年全国统考试卷来看，现在基本稳定在一大（,14,分），一小（,5,分）的两题格局上，题型涉及选择题、填空题与解答题，是新教材的一个主要得分点，要给予充分的重视,.,导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题,.,在高考中考查形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考查基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计,2011,年高考继续以上面的几种形式考查，不会有大的变化：,（,1,）考查形式为：选择题、填空题、解答题等各种题型都会考查，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中档题；,（,2,）,2011,年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考查：导数的物理意义及几何意义、复合函数、数列、不等式等知识,.,本命题的热点是：,利用导数求函数的极值；,利用导数求函数的单调区间；,利用导数求函数的最值；,利用导数证明函数的单调性；,导数在实际中的应用；,导数与函数、不等式等知识相融合的问题；,导数与解析几何相综合的问题；,在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线,.,复习应侧重概念、公式、运算法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导,.,考生应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标,.,学会优先考虑利用导数求函数的极大（小）值、最大最小或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化,.,导数与解析几何或函数图象的综合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意,.,第四章 导数及其应用,第一节 导数的概念及其运算,课前自主学案,知识梳理,1.,导数的概念,（,1,）平均变化率：已知函数,y=,f(x,),，如果自变量,x,在,x,0,处有改变量,x,，那么函数,y,相应地有改变量,y,=_,比值 就叫做函数,y=,f(x,),在,x,0,到,x,0,+x,之间的平均变化率。,（,2,）函数在,x=x0,处导数的定义：一般地，设函数,y=,f(x,),在,x0,附近有定义，当自变量在,x=x0,的附近改变量为,x,时，函数值的改变量为,y,=_,，如果,x,趋近于,0,时，平均变化率,=_,趋近于一个常数,m,，即,_,这个常数,m,叫做,函数,f(x,),在点,x,0,处的瞬时变化率,.,函数,f(x,),在点,x,0,处的瞬时变化率又称为,函数,y=,f(x,),在,x=x,0,处的导数,.,记作：,_,或,_,即：,_ ,如果函数,y=,f(x,),在,x,0,处有导数（即导数存在），则说函数,f(x,),在,x,0,处可导 如果函数,y=,f(x,),在开区间,(,a,b,),内每一点,x,都是可导的，则说函数,f(x,),在区间（,a,b,）可导,.,（,3,）导函数的定义：表示函数的平均改变量，它是,x,的函数，而 表示一个确定的数值，即,_.,当,x,在区间（,a,b,）内变化时，便是,x,的,一个函数,，我们称它为,f(x,),在,(,a,b,),的导函数,（简称导数）,.y=,f(x,),导函数有时记作,y,，即,_.,2,导数的几何意义及物理意义,（,1,）函数,f(x,),在点,x,0,处导数的几何意义就是,曲线,y=,f(x,),在点,P(x,0,f(x,0,),处的切线的斜率,，相应的切线方程是：,（,2,）导数的物理意义：位移函数,s=,s(t,),在,t,0,处的导数,s(t,0,),是,函数,s=,s(t,),在时刻,t,0,时代瞬时速度,，即,v=s(t,0,),速度函数,v=,v(t,),在,t,0,处的导数,v(t,0,),函数,v=,v(t,),在时刻,t,0,时代瞬时加速度,，即,a=v(t,0,),.3,导数的运算,（,1,）几种常见函数（基本初等函数）的导数：,c,=,0(c,为常数）,，（,x,m,)=_.,特别地：,_;_;,_;_;,_;_;,_;_;,（,2,）,导数的四则运算法则,和、差的导数：,_,(,口诀：和与差的导数等于导数的和与差,).,积的导数：,_,（口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号,),若,c,为常数，则,_.,商的导数：,_.,(,口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，,中间是负号,),基础自测,1.,（,2009,年全国卷,）曲线 在点,(1,1),处的切线方程为,A.x-y-2=0 ,B.x+y-2=0,C.x+4y-5=0 D.x-4y-5=0,1.,解析：,故切线方程为 ，即 ，故选,B.,答案：,B,2.,（,2009,年宁夏海南卷）曲线,y=,xe,x,+2x+1,在点,(0,1),处的切线方程为,_,2.,解析：，斜率 ，,所以，即,.,答案,:,3.(2008,年北京卷,),如下图所示，函数,f(x,),的图象是折线段,ABC,，其中,A,，,B,，,C,的坐标分别为,(0,，,4),，,(2,，,0),，,(6,，,4),，则,_,；,_,(,用数字作答）,3.,解析：由,A(0,4),B(2,0),可得线段,AB,所在直线的方程为,f(x,)=,-2x+4(0 x2).,同理,BC,所在直线的方程为,f(x,)=x-2(2x6).,所以 所以,f(0)=4,f(4)=2.,答案：,2,，,-2,4,(2009,年广州调研,),如下图所示，函数,y=,f(x,),的图象在点,P,处的切线方程是,y=-x+8,，则,f(5)=_,，,f(5)=_.,4.,答案：,3,，,-1,课堂互动探究,对导数概念的理解,设函数,f(x,),在,x=2,处可导，且,f(2)=1,，求,分析：利用导数的定义，可容易求得,.,解析：由已知条件和导数的定义，可得：,点评：,在对导数的定义理解时，要注意,中,x,的变化形式,.,设函,f(x,),在,x=a,处可导，则 ，,此结果作为导数定义的另一种形式，与导数的定义无关，,我们可以证明之：令,x=a+,x,，则当,x a,时，,x0,，,变式探究,1.,已知 ，则,_.,答案：,-1.,导数的运算,求函数的导数,解析：,先使用三角公式进行化简，得,先化简，,是由函数,复合而成的，,点评：,求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量,.,变式探究,2.,求下列函数的导数,2.,解析：,导数的几何意义,（,2009,年全国卷,）已知直线,y=x+1,与曲线,y=,lnx+a,),相切，则,a,的值为,A.1 B.2 C.-1 D.,2,解析：设切点,P(x,0,y,0,),，则,y,0,=x,0,+1,y,0,=ln(x,0,+a),又,答案：,B,点评：切点的三重身份：切点在曲线上；切点在切线上；切点处的导数值等于切线斜率,.,变式探究,3.,（,2009,年江西卷）设函数,f(x,)=g(x)+x,2,，曲线,y=,g(x,),在点,(1,g(1),处的切线方程为,y=2x+1,，则曲线,y=,f(x,),在点,(1,f(1),处切线的斜率为,A.4 B.-1/4 C.2 D.-1/2,3.,解析：由已知,g(1)=2,而,f(x,)=g(x)+2x所以,f(1)=g(1)+2x1=4,答案：,A,温馨提示,1.,深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系,（,1,）函数,f(x,),在点,x,0,处的导数,f(x,0,),是一个常数；,（,2,）函数,y=,f(x,),的导函数，是针对某一区间内任意点,x,而言的,.,如果函数,y=,f(x,),在区间,(,a,b,),内每一点,x,都可导，是指对于区间（,a,b,）内的每一个确定的值,x,0,都对应着一个确定的导数,f(x,0,).,这样就在开区间,(,a,b,),内构成了一个新函数，就是函数,f(x,),的导函数,f(x,).,在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数,.,(3),函数,y=,f(x,),在,x,0,处的导数,f(x,0,),就是导函数,f(x,),在点,x=x,0,处的函数值,.,即,f(x,0,)=,f(x)|,x,=x0,.,2.,利用导数的定义求函数,y=,f(x,),在点,x,0,处的导数的步骤,(1),求函数的改变量,:,（,2),求平均变化率,:,（,3,取极限，得导数,:,简记为,:“,一差、二比、三极限”,.,题型展示台,（,2009,年湖北卷）设球的半径为时间,t,的函数,R(t,).,若球的体积以均匀速度,c,增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）,A.,成正比，比例系数为,cB,.,成正比，比例系数为,2c,C.,成反比，比例系数为,cD,.,成反比，比例系数为,2c,解析：由题意可知球的体积为 ，则,c=,V(t,)=,4R,2,(t)R(t),，由此可得 ，而球的表面积为,S(t,)=4R,2,(t),，,所以,v,表,S(t,)=(4R,2,(t)=8R(t)R(t),，,即,答案：,D,已知抛物线,C:y=x,2,+4x+7/2,，过,C,上点,M,，且与,M,处的切线垂直的直线称为,C,在点,M,的法线,.,(1),若,C,在点,M,的法线的斜率为,1/2,，求点,M,的坐标（,x,0,y,0,）,;(2),设,P(,2,a),为,C,对称轴上的一点，在,C,上是否存在点，使得,C,在该点的法线通过点,P,？若有，求出这些点，以及,C,在这些点的法线方程；若没有，请说明理由,.,解析：（,1),函数,y=x,2,+4x+7/2,的导数,y=2x+4,，抛物线,C,上点,M(x,0,y,0,),处切线的斜率,k,0,=2x,0,+4,，因为过点,(x,0,y,0,),的法线斜率为,1/2,，所以,1/2(2x,0,+4)=,1,，解得,x,0,=,1,y,0,=1/2,，故点,M,的坐标为,(,1,1/2).,（,2,）设,M(x,0,y,0,),为,C,上一点，,a.,若,x,0,=,2,，则,C,上点,M,（,2,1/2,）处的切线斜率,k=0,，过点,M,（,2,1/2,的法线方程为,x=,2,，则此法线过点,P(,2,a),；,b.,若,x,0,2,，则过点,M(x,0,y,0,),的法线方程为：,若法线过,P(,2,a),，则,即,(x,0,+2),2,=a,，,若,a0,，则 ，从而 ，将上式代入，化简得：,，,若,a=0,与,x0,2,矛盾，若,a0,，则式无解,.,综上，当,a0,时，在,C,上有三点，,及,在这三点的法线过,P(,2,a),，其方程分别是：,;,题型训练,1.(2009,年陕西卷,),设曲线,y=x,n+1,(nN*),在点（,1,，,1,）处的切线与,x,轴交点的横坐标为,x,n,令,a,n,=,lg,x,n,，则,a,1,+a2,+a,99,的值为,_.,1.,解析,:,点,(1,1),在函数,y=x,n+1,(nN*),的图像上,所以,(1,),为切点,y=x,n+1,的导函数为,切线是：,y-1=(n+1)(x-1),令,y=0,得切点的横坐标：，,答案：,-2,2.,已知曲线,y=2x,x,3,上一点,M(,1,1),，求：,（,1,）点,M,处的切线方程；,（,2,）点,M,处的切线与,x,轴、,y,轴所围成的平面图形的面积,.,2.,解析,：（,1,）,y=2-3x,2,K,切,=,y,x,=-1,=2 3(-1),2,=-1,，,所以切线方程为,:y+1=-1(x+1),，即,x+y+2=0.,（,2,）对,x+y+2=0,，令,x=0,，,y=-2,，或,y=0,，,x=-2,，,所以,S,ABC,=1/222=2,祝,您,学业有成,