数学 第一章 导数及其应用 1.2.3 导数的四则运算法则课件 新人教B版选修2 2 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1.2.3,导数的四则运算法则,【,自我预习,】,导数的运算法则,(1),函数的和差,:f(x)g(x)=_.,(2),函数的乘积,:cf(x)=cf(x)(,其中,c,为常数,),f(x)g(x)=_.,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),(3),函数的商,:,=,_,.,【,思考,】,在导数的运算法则中,f(x),g(x),是否能是常数函数,?,提示,:,可以,.,例如,若,y=f(x)c,则,y=f(x);,若,y=af(x),则,y=af(x);,【,自我总结,】,1.,导数运算法则的特点,对于积与商的导数运算法则,应避免出现“积的导数就是导数的积,商的导数就是导数的商”这类想当然的错误,.,应特别注意积与商中符号的异同,积的导数法则中是“,+”,商的导数法则中分子上是“,-”.,2.,应用运算法则时的注意点,解决函数求导的问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正确的公式和法则,对较为复杂的求导运算,在求导之前应先将函数化简,然后求导,以减少运算量,.,3.,运算法则的推广,(1),导数的和,(,差,),运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立,.,两个函数和,(,差,),的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况,即,f,1,(x)f,2,(x)f,3,(x),fn,(x)=f,1,(x)f,2,(x)f,3,(x),f,n,(x).,(2),积的导数公式的拓展,:,若,y=f,1,(x)f,2,(x)f,n,(x),则有,y=f,1,(x)f,2,(x)f,n,(x)+f,1,(x)f,2,(x)f,n,(x)+,f,1,(x)f,2,(x)f,n,(x).,【,自我检测,】,1.,思维辨析,(,对的打“”,错的打“,”),(1),若,y=x+,则,y=1+,(,),(2),若,y=x,2,cos x,则,y=-2xsin x.(,),(3),若,y=,则,y=-cos x.(,),(4),若,y=3x,2,-2e,x,则,y=6x-2e,x,.(),提示,:,(1),.,由,y=x+,得,y=1-,(2),.,由,y=x,2,cos x,得,y=2x cos x-x,2,sin x.,(3),.,由,y=,得,y=,(4).,根据导数四则运算法则,y=(3x,2,)-(2e,x,),=6x-2e,x,.,2.,函数,f(x)=sin x+x,的导数是,(,),A.f(x)=cos x+1,B.f(x)=cos x-1,C.f(x)=-cos x+1D.f(x)=-cos x+x,【,解析,】,选,A.f(x)=(sin x)+x=cos x+1.,3.,若,f(x)=x-ln x,则,f(x)0,的解集为,(,),A.(0,+)B.1)(1,+),C.(0,1)D.(-,1),【,解析,】,选,C.,令,f(x)=1-0,即,x(x-1)0,解,得,0 x1.,4.,函数,y=,的导数是,_.,【,解析,】,y=,答案,:,类型一应用法则求导数,【,典例,】,1.,设,f(x)=(2x-1)(3-x),则,f(0)=_.,2.,求下列函数的导数,:,(1),(2),(3)y=2,x,log,2,x.(4)y=,【,思路导引,】,1.,函数解析式可以看做两个函数的积,还可以将其展开成二次三项式的形式,.,2.,函数不能直接用导数的运算法则求导时,需要转化成积、商的形式以后,再用求导法则,.,【,解析,】,1.,方法一因为,f(x)=(2x-1)(3-x)+(2x-1)(3-x),=2(3-x)+(2x-1)(-1)=7-4x,所以,f(0)=7.,方法二,:,因为,f(x)=-2x,2,+7x-3,所以,f(x)=-4x+7,所以,f(0)=7.,答案,:,7,2.(1),因为,y=,所以,y=(x,3,+sin x,x,-2,),=3x,2,-+cos x,x,-2,+(-2x,-3,)sin x,(2),因为,所以,(3)y=2,x,log,2,x,y=(2,x,)log,2,x+2,x,(log,2,x),=2,x,ln 2,log,2,x+2,x,(4),因为,【,方法技巧,】,应用导数运算法则求函数的导数的技巧,(1),利用三角恒等变换简化求导过程,.,求导之前,对三角恒等式先进行化简,然后再求导,这样既减少了计算量,又可少出错,.,(2),利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导,.,(3),在函数中有两个以上的因式相乘时,要注意多次使用积的求导法则,能展开的先展开成多项式,再求导,.,【,拓展延伸,】,应用导数运算法则求函数的导数的原则,先化简再求导,能用加减不用乘除,能用乘法不用除法,.,总之,要把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除的运算,再考虑套用那种运算法则,使计算方便,.,【,变式训练,】,1.,若函数,f(x)=,则,f(1),的值为,(,),A.-2,B2,C.,D.,【,解析,】,选,D.,由已知得,f(x)=x,2,-2f(1)x+1,则,f(1)=1-2f(1)+1,故,f(1)=,2.,已知直线,y=-x+m,是曲线,y=x,2,-3ln x,的一条切线,则,m,的值为,(,),A.0B.2C.1D.3,【,解析,】,选,B.,设切点为,(a,b),则,y|,x=a,=|,x=a,=2a-,所以,2a-=-1,a=1,或,a=(,不合题意,舍去,),又点,(1,b),在曲线上,所以,b=1,2,-3ln 1=1,恒成立,将,(1,1),代入,y=-x+m,得,m=2.,类型二与切线有关的综合问题,【,典例,】,已知曲线,y=,在,(2,2),处的切线与直线,ax+2y+1=0,平行,求实数,a,的值,.,世纪金榜导学号,【,思路导引,】,由导数的几何意义求出,(2,2),处切线的斜率进而求出,a,的值,.,【,解析,】,因为,y=,所以,y|,x=2,=-1,即,=-1,所以,a=2.,答案,:,2,【,延伸探究,】,条件不变,(1),求该切线到直线,ax+2y,+1=0,的距离,.(2),试求与直线,y=-x,平行的过曲线的切线方程,.,【,解析,】,(1),由典例知切线方程为,x+y-4=0,直线方程为,x+y+=0,所以,(2),由典例知 令 得,x=0,或,2,所以切点为,(0,0),和,(2,2),所以切线方程为,x+y-4=0.,【,方法技巧,】,解决有关切线问题的关注点,(1),此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,.,其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系,.,(2),准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确,.,(3),分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上,则要设出切点,这是解题时的易错点,.,【,素养达成案例,】,用求导法则求导,【,素养解读,】,可以直接应用求导法则的函数,要注意公式的正确应用,提升选择运算方法的能力,达成数学运算的核心素养,.,【,典例,】,求下列函数的导数,.,(1)y=,(2)y=(2x,2,-1)(3x+1).,【,解析,】,(1)y=,(2),因为,y=(2x,2,-1)(3x+1)=6x,3,+2x,2,-3x-1,所以,y=(6x,3,+2x,2,-3x-1)=(6x,3,)+(2x,2,)-(3x),-(1)=18x,2,+4x-3.,【,即时应用,】,求下列函数的导数,.,(1)y=x,4,-3x,2,-5x+6.,(2)y=x+,(3)y=x,2,cos x.,(4)y=tan x.,【,解析,】,(1)y=4x,3,-6x-5.,(2)y=(x+x,-2,)=1-2x,-3,.,(3)y=(x,2,)cos x+x,2,(cos x)=2xcos x-x,2,sin x.,(4)y=,