数学 第一章 推理与证明 1.1.2 类比推理课件 北师大版选修2 2 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1.2,类 比 推 理,1.,类比推理,定义：由于两类不同对象具有某些,类似,的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有,类似,的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理,特征：类比推理是,两类事物特征,之间的推理；,利用类比推理得出的结论,不一定,是正确的,【,思考,】,类比推理的步骤是什么？,提示：,(1),找出两类对象之间的相似性或一致性,.,(2),用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题,(,猜想,).,2.,合情推理,【,思考,】,类比推理，是否能作为数学证明的方法？,提示：,无论由,归纳推理,还是类比推理得到的结论都具有猜测的性质，结论是否正确，还需要逻辑证明和实践检验,.,因此，合情推理不能作为数学证明的工具,.,【,素养小测,】,1.,思维辨析,(,对的打“”，错的打“,”),(1),因为三角形的内角和是,180(3-2),，四边形的内角和是,180(4-2),，,，所以,n,边形的内角和是,180(n-2),使用的是类比推理,.(,),(2),类比推理得到的结论可以作为定理应用,.(,),(3),类比推理是由个别到一般的推理,.(,),提示：,(1),.,它符合,归纳推理,的定义特征，应该为,归纳推理,.,(2),.,类比推理不一定正确,.,(3),.,由个别到一般或由部分到整体的推理是,归纳推理,.,2.,立体几何中与平面几何中的三角形成为类比对象的是,(,),A.,正方体,B.,三棱锥,C.,三棱柱,D.,三棱台,【,解析,】,选,B.,由平面几何与立体几何的类比可知，立体几何中的三棱锥是三角形的类比对象,.,故选,B.,3.,等差数列,a,n,中有,2a,n,=a,n-1,+a,n+1,(n2,且,n,N,+,),，类比,以上结论，在等比数列,b,n,中类似的结论是,_.,【,解析,】,类比等差数列，可以在等比数列,b,n,中得类似的结论,=b,n-1,b,n+1,(n2,且,n,N,+,).,答案：,=b,n-1b,n+1,(n2,且,n,N,+,),类型一几何问题中的类比,【,典例,】,1.(2019,晋江高二检测,),如图,所示，在平面上，设,h,a,，,h,b,，,h,c,分别是,ABC,三条边上的高，,P,为,ABC,内任意一点，,P,到相应,三边的距离分别为,p,a,，,p,b,，,p,c,，可以得到结论,证明此结论,.,2.,类比,1,中的结论得出以下结论：如图所示，在四面体,ABCD,中，设,h,a,，,h,b,，,h,c,，,h,d,分别是该四面体的四个顶点,到对面的距离，,P,为该四面体内任意一点，,P,到相应四,个面的距离分别为,p,a,，,p,b,，,p,c,，,p,d,，可以得到结论,试证明此结论,.,【,思维,引,】,中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，向量与实数，空间与平面，圆与球等,.,【,解析,】,1.,，,同理，,.,因为,S,PBC,+S,PAC,+S,PAB,=S,ABC,，,所以,1.,2.,证明如下：，,同理，,.,因为,V,P-BCD,+V,P-ACD,+V,P-ABD,+V,P-ABC,=V,A-BCD,，,所以,=,=1.,【,内化,悟,】,在题中三角形中的边和高常类比作四面体中的什么？,提示：,三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高,.,【,类题,通,】,1.,平面解析几何中的类比及解答策略,平面几何中的类比主要体现在圆与椭圆、双曲线，椭,圆与双曲线之间进行类比,.,解决该类问题同样应抓住所,给问题的相似特征，同时要注意差异进行合理类比，,实际类比的结果往往都是计算得到的,.,2.,平面图形与空间几何体的类比方法,平面图形,空间几何体,二维平面,三维空间,线,面,线段的长度,相应面的面积,面积,相应几何体的体积,两线的夹角,两平面的二面角,线线垂直,面面垂直,线线平行,面面平行,三角形,四面体,圆,球,【,习练,破,】,(2019,太原高二检测,),平面图形中的点、线、面与,空间图形中的对应关系可有多种，如下表：,平面图形,空间图形,点,点、线,线,线、面,面,面、体,在长方形,ABCD,中，对角线,AC,与,AB,，,AD,所成的角分别为,，,，则有,cos,2,+cos,2,=1.,利用类比的方法，猜想在长方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中的下列四个类似结论：,平面,AB,1,C,1,D,与平面,ABCD,，平面,ADD,1,A,1,所成的二面角的大小分别为,，,，则有,cos,2,+cos,2,=1,；,平面,AB,1,C,1,D,与棱,AB,，,AA,1,所成线面角的大小分别为,，,，则有,cos,2,+cos,2,=1,；,体对角线,AC,1,与棱,AB,，,AD,，,AA,1,所成的角分别为,，,，,，则有,sin,2,+sin,2,+sin,2,=1,；,体对角线,AC,1,与平面,ABCD,，平面,ABB,1,A,1,，平面,ADD,1,A,1,所成线面角的大小分别为,，,，,，则有,sin,2,+,sin,2,+sin,2,=1.,其中正确结论的序号是,_.,【,解析,】,在中，因为平面,AB,1,C,1,D,与平面,ABCD,，平面,ADD,1,A,1,所成的二面角的大小分别为,，,，,所以,=BAB,1,，,=A,1,AB,1,，,所以,cos,2,+cos,2,=1,，故正确；,在中，因为平面,AB,1,C,1,D,与棱,AB,，,AA,1,所成线面角的大,小分别为,，,，所以,=BAB,1,，,=A,1,AB,1,，,所以,cos,2,+cos,2,=1,，故正确；,在中，体对角线,AC,1,与棱,AB,，,AD,，,AA,1,所成的角分别,为,，,，,，所以,=BAC,1,，,=DAC,1,，,=A,1,AC,1,，,则有,sin,2,+sin,2,+sin,2,=2,，故,错误；,在中，体对角线,AC,1,与平面,ABCD,，平面,ABB,1,A,1,，平面,ADD,1,A,1,所成线面角的大小分别为,，,，,，,所以,=CAC,1,，,=B,1,AC,1,，,=D,1,AC,1,，,则有,sin,2,+sin,2,+sin,2,=1,，故,正确,.,答案：,类型二数列中的类比,【,典例,1.,在公比为,4,的等比数列,b,n,中，若,T,n,是数列,b,n,的前,n,项积，则有 也成等比数列，且,公比为,4,100,；类比上述结论，相应地，在公差为,3,的等,差数列,a,n,中，若,S,n,是,a,n,的前,n,项和,.,可类比得到的结,论是,_.,2.,我们已经学过了等差数列，是否有等和数列呢？,(1),类比“等差数列”给出“等和数列”的定义,.,(2),探索等和数列,a,n,的奇数项和偶数项各有什么特,点？并加以说明,.,(3),在等和数列,a,n,中，如果,a,1,=a,，,a,2,=b,，求它的前,n,项和,S,n,.,【,思维,引,】,审题并理解题目中的信息，结合等差数列和等比数列的定义和性质，猜想作答,.,【,解析,】,1.,因为等差数列,a,n,的公差,d=3,，,所以,(S,30,-S,20,)-(S,20,-S,10,),=(a,21,+a,22,+a,30,)-(a,11,+a,12,+a,20,),同理可得：,(S,40,-S,30,)-(S,30,-S,20,)=300,，,所以数列,S,20,-S,10,，,S,30,-S,20,，,S,40,-S,30,是等差数列，且公差为,300.,即结论为：数列,S,20,-S,10,，,S,30,-S,20,，,S,40,-S,30,也是等差数列，且公差为,300.,答案：,数列,S,20,-S,10,，,S,30,-S,20,，,S,40,-S,30,也是等差数列，且公差为,300,2.(1),如果一个数列从第,2,项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就称为等和数列,.,(2),由,(1),知,a,n,+a,n+1,=a,n+1,+a,n+2,，所以,a,n+2,=a,n,，,所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等,.,(3),当,n,为奇数时,令,n=2k-1,k,N,+,则,S,n,=S,2k-1,=S,2k-2,+a,2k-1,=(a+b)+a,当,n,为偶数时,令,n=2k,k,N,+,则,S,n,=S,2k,=k(a+b)=(a+b),所以它的前,n项和,S,n,=,【,内化,悟,】,由等差数列与等比数列的性质，等差数列与等比数列通常与什么有关？,提示：,等差数列与和差有关，等比数列与积商有关,.,【,类题,通,】,数列中的常见类比,(1),数列中的类比主要体现在等差数列与等比数列的类比,.,常见的有：类比定义、类比性质、类比方法、类比结构等,.,(2),等差数列与等比数列的类比：,等差数列,等比数列,和,积,差,商,积,乘方,商,开方,【,习练,破,】,典例,1,改为：设等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，则,S,4,，,S,8,-S,4,，,S,12,-S,8,，,S,16,-S,12,成等差数列，类比以上结论有：,设等比数列,b,n,的前,n,项积为,T,n,，则,T,4,，,_,，,_,，,_,成等比数列,.,【,解析,】,设,b,n,的公比为,q,所以,成公比为,q,16,的等比数列,直接用类比法将,“,差,”,变,“,比,”,即可得出结果,.,答案,:,【,加练,固,】,若数列,a,n,(n,N,*,),是等差数列，则通项公式为,b,n,=,(n,N,*,),的数列,b,n,也是等差数列；,类比上述性质，相应地：若数列,c,n,(n,N,+,),是等比数,列，且,c,n,0,，则通项公式为,d,n,=_(n,N,+,),的,数列,d,n,也是等比数列,.(,),【,解析,】,选,D.,设等差数列,a,n的公差为,d,，在等差数列,a,n,中，由,a,1,+a,n,=a,2,+a,n-1,=,，得,仍为等差数列,.,而等比数列,c,n,中,设公比为,q,由,c,1,c,n,=c,2,c,n-1,=,得,d,n,=,仍为等比数列,.,类型三类比推理的应用,【,典例,】,1.,某次数学考试成绩公布后，甲、乙、丙、,丁四人谈论成绩情况,.,甲说：“我们四个人的分数都不,一样，但我和乙的成绩之和等于丙、丁两人的成绩之,和”，乙说：“丙、丁两人中一人分数比我高，一人,分数比我低”，丙说：“我的分数不是最高的”，丁,说：“我的分数不是最低的”，则四人中成绩最高的是,(,),A.,甲,B.,乙,C.,丙,D.,丁,2.,已知以下过程可以求,1+2+3+n.,因为,(n+1),2,-n,2,=2n+1,，,n,2,-(n-1),2,=2(n-1)+1,，,2,2,-1,2,=21+1,，,有,(n+1),2,-1=2(1+2+n)+n,，,所以,1+2+3+n=,类比以上过程求,1,2,+2,2,+3,2,+n,2,.,【,思维,引,】,1.,由乙和丙的话得到成绩最高的只能是甲或丁中的一个人，再由甲和乙的话得到：甲和乙两人的成绩之和等于丙、丁两人的成绩之和，丙、丁两人中一人分数比乙高，一人分数比乙低，由此推导出四人中成绩最高的是丁,.,2.,类比,1+2+3+n,的计算公式的推导过程，可得,(n1),3,-n,3,=3n,2,+3n+1,，进而叠加后可得,1,2,+2,2,+3,2,+n,2,的值,.,【,解析,】,1.,选,D.,因为乙说：“丙、丁两人中一人分数比我高，一人分数比我低”，,丙说：“我的分数不是最高的”，,所以成绩最高的只能是甲或丁中的一个人，,因为甲和乙两人的成绩之和等于丙、丁两人的成绩之和，丙、丁两人中一人分数比乙高，一人分数比乙低，所以丁的成绩比甲的成绩高所以四人中成绩最高的是丁,.,2.,因为,(n+1),3,-n,3,=3n,2,+3n+1,，,n,3,-(n-1),3,=3(n-1),2,+3(n-1)+1,，,2,3,-1,3,=3,1,2,+3,1+1,，,有,(n+1),3,-1=3(1,2,+2,2,+,+n,2,)+3(1+2+3+,+n)+n,，,所以,1,2,+2,2,+,+n,2,=,【,内化,悟,】,1.,如何快速得到题目条件中式子“,(n+1),2,-n,2,=2n+1”,？,提示：,利用平方差公式分解因式,.,2.,类比所给条件，要得到,1,2,+2,2,+3,2,+n,2,，也应是,n,个式子相加，如何得到,n,2,呢？,提示：,(n+1),3,-n,3,=3n,2,+3n+1,，叠加即得,.,【,类题,通,】,类比推理的关注点,(1),类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础类比出新的结果,.,(2),类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性,.,(3),类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能,.,【习练破】,在计算“,12+23+n(n+1)”,时，有如下方法：先,改写第,k,项：,k(k+1)=k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1),，,由此得,12=(123-012),，,23=(23,4-123),，,，,n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1),，,相加得,12+23+n(n+1)=,n(n+1)(n+2).,类比上述方法，请你计算“,13+24+n(n+2)”,，,其结果写成关于,n,的一次因式的积的形式,【,解析,】,13=(129-017),，,24=(2311-129),，,35=,(3413-2311),，,，,n(n+2)=,n(n+1)(2n+7)-(n-1)n(2n+5),，,各式相加，得,13+24+35+n(n+2),=,n(n+1)(2n+7).,【,加练,固,】,若,P,0,(x,0,，,y,0,),在椭圆,=1(ab0),外，过,P,0,作椭圆的两条切线，切点为,P,1,，,P,2,，则切点弦,P,1,P,2,所在,的直线方程是,=1,，那么对于双曲线则有如下,命题：若,P(x,0,，,y,0,),在双曲线,=1(a0,，,b0),外，过,P,0,作双曲线的两条切线，切点为,P,1,，,P,2,，则切点弦,P,1,P,2,所在直线的方程是,_.,【,解析,】,类比椭圆的切点弦方程可得双曲线,=1,的切点弦方程为,=1.,答案：,=1,