高三数学 第二篇 第三节 函数的奇偶性课件 理 北师大版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三节函数的奇偶性,考纲点击,1.,结合具体函数，了解函数奇偶性的含义,2.,会运用函数图象理解和研究函数的性质,.,热点提示,1.,函数的奇偶性作为函数的一个重要性质，仍是,2011,年高考考查的重点，常与函数的单调性、周期性等知识交汇命题,.,2.,在每年的高考试题中，三种题型都有可能出现，多以选择题、填空题的形式出现，属中、低档题,.,奇偶性,定义,图象特点,偶函数,如果对于函数,f(x),的定义域内任意一个,x,，都有,f(,x),f(x),，那么函数,f(x),是偶函数,关于,y,轴对称,奇函数,如果对于函数,f(x),的定义域内任意一个,x,，都有,f(,x),f(x),，那么函数,f(x),是奇函数,关于原点对称,1.,函数的奇偶性,1.,奇偶函数的定义域有何特点？,提示：,由于定义中对任意一个,x,都有,f(-x)=f(x),或,f(-x)=-f(x),，说明定义域中任意一个,x,都有一个关于原点对称的,-x,在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称,.,2.,是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？,提示：,存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零,.,2,奇偶函数的性质,(1),奇函数在关于原点对称的区间上的单调性,，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性,(,填,“,相同,”,、,“,相反,”,),(2),在公共定义域内，,两个奇函数的和函数是,，两个奇函数的积函数是偶函数；,两个偶函数的和函数、积函数是,；,一个奇函数，一个偶函数的积函数是,(3),若,f(x),是奇函数且在,x,0,处有定义，则,f(0),0.,相同,相反,奇函数,偶函数,奇函数,1,设,f(x),是,R,上的任意函数，则下列叙述正确的是,(,),A,f(x)f(,x),是奇函数,B,f(x)|f(,x)|,是奇函数,C,f(x),f(,x),是偶函数,D,f(x),f(,x),是偶函数,【,解析,】,令,F(x),f(x),f(,x),，则,F(,x),f(,x),f(x),，即,F(x),F(,x),，故,D,正确,【,答案,】,D,2,对任意实数,x,，下列函数为奇函数的是,(,),A,y,2x,3 B,y,3x,2,C,y,ln5,x,D,y,|x|cosx,【,解析,】,A,为非奇非偶函数，,B,、,D,为偶函数，,C,为奇函数设,y,f(x),ln5,x,xln5,，,f(,x),xln5,f(x),【,答案,】,C,3,对于定义在,R,上的任何奇函数，均有,(,),A,f(x),f(,x)0 B,f(x),f(,x)0,C,f(x),f(,x),0 D,f(x),f(,x),0,【,解析,】,f(,x),f(x),，,f(x),f(,x),f(x),2,0.,【,答案,】,A,4,已知函数,y,f(x),为奇函数，若,f(3),f(2),1,，则,f(,2),f(,3),_.,【,解析,】,f(x),为奇函数且,f(3),f(2),1,，,f(,2),f(,3),f(3),f(2),1,【,答案,】,1,5,下面四个命题：,偶函数的图象一定与,y,轴相交；,奇函数的图象一定通过原点；,偶函数的图象关于,y,轴对称；,既是奇函数，又是偶函数的函数一定是,f(x),0(x,R,),其中正确的命题序号为,_,【,解析,】,当,y,f(x),在,x,0,处无定义时，都不正确；,偶函数的图象关于,y,轴对称，正确；,既是奇函数又是偶函数的函数可以写成,f(x),0,，,x,a,，,a(,其中,a,可为任一确定的正实数,),，错误,【,答案,】,函数奇偶性的判定,讨论下列函数的奇偶性：,【,思路点拨,】,首先判断函数的定义域，若可能具有奇偶性，则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简；最后判断,f(,x),与,f(x),间的关系,(,相等还是互为相反数,),【,自主探究,】,(1),要使,f(x),有意义，则 ,0,，,解得,1,x1,，显然,f(x),的定义域不关于原点对称，,f(x),不存在奇偶性,(2)2x2,且,x0,，,函数,f(x),的定义域关于原点对称,f(,x),f(x),，即函数,f(x),是奇函数,【,方法点评,】,1.,判断函数奇偶性的一般步骤,(1),首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数,(2),若定义域关于原点对称，再判定,f(,x),与,f(x),之间的关系,若,f(,x),f(x)(,或,f(,x),f(x),0),，则,f(x),为奇函数；,若,f(,x),f(x)(,或,f(,x),f(x),0),，则,f(x),为偶函数；,若,f(,x),f(x),且,f(,x),f(x),，则,f(x),既是奇函数又是偶函数；,若,f(,x),f(x),且,f(,x)f(x),，则,f(x),既不是奇函数也不是偶函数,2,一些重要类型的奇偶函数：,(1),函数,f(x),a,x,a,x,为偶函数，,函数,f(x),a,x,a,x,为奇函数；,1,判断下列函数的奇偶性：,(3)f(x),|x,a|(,常数,aR),【,解析,】,(1)f(x),的定义域为,x|x,0,不关于原点对称，故,f(x),既不是奇函数也不是偶函数,(2)f(x),的定义域为,1,1,关于原点对称，,此时,f(x),0,，即,f(,x),f(x),且,f(,x),f(x),，,f(x),既是奇函数又是偶函数,(3)f(x),的定义域为,R.,当,a,0,时，,f(x),|x|,，,f(,x),f(x),，,此时,f(x),为偶函数,当,a0,时，,f(a),0,，,f(,a),2|a|,，,f(,a)f(a),且,f(,a),f(a),，,此时,f(x),既不是奇函数也不是偶函数,综上可知，,a,0,时，,f(x),为偶函数；,a0,时，,f(x),既不是奇函数也不是偶函数,分数函数的奇偶性,已知函数,f(x),试判断函数,f(x),的奇偶性,【,思路点拨,】,【,自主探究,】,由题设可知函数的定义域关于原点对称,当,x,0,时，,x,0,，,f(x),f(,x),当,x,0,时，,x,0,，,f(x),f(,x),综上所述，对于,x0,都有,f(,x),f(x),成立，,f(x),为偶函数,【,方法点评,】,分段函数奇偶性的判定步骤：,(1),分析其定义域是否关于原点对称；,(2),对,x,的值进行分段讨论，寻求,f(x),与,f(,x),在各段上的关系；,(3),综合,(2),在定义域内,f(,x),与,f(x),的关系，从而判断,f(x),的奇偶性,【,解析,】,当,x,1,时，,f(x),x,2,，,x,1,，,f(,x),(,x),2,x,2,f(x),当,x,1,时，,f(x),x,2,，,x,1,，,f(,x),(,x),2,x,2,f(x),当,1x1,时，,f(x),0,，,1,x1,，,f(,x),0,f(x),综上可知，对于定义域内的每一个,x,都有,f(,x),f(x),，,f(x),为偶函数,2,判断函数,f(x),抽象函数的奇偶性,已知函数,f(x),对一切,x,、,yR,，,都有,f(x,y),f(x),f(y),(1),试判断,f(x),的奇偶性；,(2),若,f(,3),a,，用,a,表示,f(12),【,思路点拨,】,(1),判断,f(x),的奇偶性，即找,f(,x),与,f(x),之间的关系，,令,y,x,，有,f(0),f(x),f(,x),，再想法求,f(0),即可；,(2),寻找,f(12),与,f(,3),之间的关系，注意用,(1),问的结论,【,自主探究,】,(1),显然,f(x),的定义域是,R,，关于原点对称,又函数,f(x),对一切,x,、,yR,都有,f(x,y),f(x),f(y),，,令,x,y,0,，得,f(0),2f(0),，,f(0),0.,再令,y,x,，得,f(0),f(x),f(,x),，,f(,x),f(x),，,f(x),为奇函数,(2)f(,3),a,且,f(x),为奇函数，,f(3),f(,3),a.,又,f(x,y),f(x),f(y),，,x,、,yR,，,f(12),f(6,6),f(6),f(6),2f(6),2f(3,3),4f(3),4a.,【,方法点评,】,判断,(,或证明,),抽象函数的奇偶性的步骤,(1),利用函数奇偶性的定义，找准方向,(,想办法出现,f(,x),，,f(x),；,(2),巧妙赋值，合理、灵活变形配凑；,(3),找出,f(,x),与,f(x),的关系，得出结论,3,函数,f(x),，,xR,，若对于任意实数,x,1,，,x,2,都有,f(x,1,x,2,),f(x,1,x,2,),2f(x,1,)f(x,2,),试判断函数,y,f(x),的奇偶性,【,解析,】,对于任意实数,x,1,，,x,2,都有,f(x,1,x,2,),f(x,1,x,2,),2f(x,1,)f(x,2,),，,令,x,1,0,，,x,2,x,，得,f(x),f(,x),2f(0)f(x),令,x,1,x,x,2,0,，得,f(x),f(x),2f(0)f(x),由得，,f(,x),f(x),，,y,f(x),为偶函数,1,(2009,年重庆高考,),若,f(x),a,是奇函数，则,a,_.,【,解析,】,f(x),为奇函数，,f(,x),f(x),，即,a,，得：,2a,1,，,a,.,【,答案,】,2,(2009,年山东高考,),已知定义在,R,上的奇函数,f(x),满足,f(x,4),f(x),，且在区间,0,2,上是增函数若方程,f(x),m(m,0),在区间,8,8,上有四个不同的根,x,1,，,x,2,，,x,3,，,x,4,，则,x,1,x,2,x,3,x,4,_.,【,解析,由已知，定义在,R,上的奇函数,f(x),图象一定过原点，又,f(x),在,0,2,区间上为增函数，所以方程,f(x),m(m,0),在,0,2,区间上有且只有一个根，不妨设为,x,1,；,f(x,1,),f(,x,1,),f(,x,1,4),f(,x,1,4),，,x,1,42,4,也是一个根，,记为,x,2,，,x,2,x,1,4,x,1,x,2,4.,又,f(x,4),f(x),，,f(x),是周期为,8,的周期函数，,f(x,1,8),f(x,1,),m,，不妨将此根记为,x,3,，且,x,3,x,1,8,8,，,6,；,同理可知,x,4,x,2,8,6,，,4,，,x,1,x,2x,3,x,4,x,1,x,2,x,1,8,x,2,8,8.,【,答案,】,8,3,(2009,年全国,高考,),函数,f(x),的定义域为,R.,若,f(x,1),与,f(x,1),都是奇函数，则,(,),A,f(x),是偶函数,B,f(x),是奇函数,C,f(x),f(x,2)D,f(x,3),是奇函数,【,解析,】,由于,f(x,1),是奇函数，则函数,f(x),的对称中心为,(1,0),，,f(1,x),f(1,x),，即,f(x),f(2,x),又,f(x,1),是奇函数，则函数,f(x),的对称中心为,(,1,0),，,f(,1,x),f(,1,x),，即,f(x),f(,2,x),，,f(2,x),f(,2,x),，,f(4,x),f(x),可知,4,为函数,f(x),的周期，则,f(x,3),是奇函数故选,D.,【,答案,】,D,4,(2009,年陕西高考,),定义在,R,上的偶函数,f(x),满足：对任意的,x,1,，,x,2,(,，,0(x,1,x,2,),，有,(x,2,x,1,)(f(x,2,),f(x,1,),0.,则当,nN,*,时，有,(,),A,f(,n),f(n,1),f(n,1),B,f(n,1),f(,n),f(n,1),C,f(n,1),f(,n),f(n,1),D,f(n,1),f(n,1),f(,n),【,解析,】,由,(x,2,x,1)f(x,2,),f(x,1,),0,得,f(x),在,x (,，,0,为增函数,又,f(x),为偶函数，所以,f(x),在,x0,，,),为减函数,又,f(,n),f(n),且,0n,1n,n,1,，,f(n,1),f(n),f(n,1),，,即,f(n,1),f(,n),f(n,1),故选,C.,【,答案,】,C,5,(2009,年江苏高考,),已知函数,f(x),是,(,，,),上的偶函数，若对于,x0,，都有,f(x,2),f(x),，且当,x0,2),时，,f(x),log,2,(x,1),，则,f(,2 008),f(2 009),的值为,(,),A,2 B,1,C,1 D,2,解析,】,f(x),是偶函数，,f(,2 008),f(2 008),f(x),在,x0,时,f(x,2),f(x),，,f(x),周期为,2.,f(,2 008),f(2 009),f(2 008),f(2 009),f(0),f(1),log,2,1,log,2,2,0,1,0.,故选,C.,【,答案,】,C,1,奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式：,f(,x),f(x),f(,x),f(x),0,1f(x)0,2,奇函数的图象关于原点对称，并且在两个对称区间上有相同的单调性偶函数的图象关于,y,轴对称，并且在两个对称区间上的单调性相反,3,函数的奇偶性是整个定义域上的性质，因此，讨论奇偶性首先要看其定义域,4,解题中要注意以下性质的灵活运用：,(1)f(x),为偶函数,f(x),f(|x|),；,(2),若奇函数,f(x),在,x,0,时有定义，则,f(0),0.,课时作业,点击进入链接,