高三数学一轮专题复习 2.6 指数与指数函数课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,1.,指数幂的概念,（,1,）根式,一般地,如果一个数的,n,次方等于,a,(,n,1,且,n,N,*,),那么这个数叫做,a,的,n,次方根,.,也就是,若,x,n,=,a,，则,x,叫做,其中,n,1,且,n,N,*,.,式子 叫做,这里,n,叫做,a,叫做,.,（,2,）根式的性质,当,n,为奇数时，正数的,n,次方根是一个正数，负数的,n,次方根是一个负数，这时，,a,的,n,次方根用符号,表示,.,2.6,指数与指数函数,要点梳理,a,的,n,次方根,根式,根指数,被开方数,当,n,为偶数时,正数的,n,次方根有两个,它们互为相反数，这时，正数的正的,n,次方根用符号,表示，负的,n,次方根用符号,表示,.,正负两个,n,次方根可以合写为,.,.,当,n,为奇数时，,.,当,n,为偶数时，,负数没有偶次方根,.,零的任何次方根都是零,.,2.,有理指数幂,（,1,）分数指数幂的表示：,正数的正分数指数幂是,a,(,a,0,m,n,N,*,n,1).,正数的负分数指数幂是,(,a,0,m,n,N,*,n,1).,0,的正分数指数幂是,0,的负分数指数幂无意义,.,(2),有理指数幂的运算性质,a,r,a,s,=(,a,0,r,s,Q,),(,a,r,),s,=(,a,0,r,s,Q,),(,ab,),r,=(,a,0,b,0,r,Q,.,0,a,r,+,s,a,rs,a,r,b,r,3.,指数函数的图象与性质,a,1,0,a,0,时,；,x,0,时,；,x,1,0,y,1,0,y,1,R,增函数,1.,已知 ，则化简 的结果是 （）,A.B.,C.D.,解析,基础自测,C,2.,设指数函数,f,(,x,)=,a,x,(,a,0,且,a,1),，则下列等式不正确的是,（）,A.,f,(,x,+,y,)=,f,(,x,),f,(,y,),B.,f,(,xy,),n,)=,f,n,(,x,),f,n,(,y,),C.,D.,f,(,nx,)=,f,n,(,x,),解析,f,x,+,y,)=,a,x+y,=,=,f,(,x,),f,(,y,),f,（,nx,）,=,a,nx,=,（,a,x,）,n,=,f,n,（,x,），,A,、,C,、,D,均正确,故选,B,B,3.,函数,f,(,x,)=,a,x,-,b,的图象如图所示，其中,a,、,b,为常数，则下列,结论正确的是,(),A,.,a,1,b,0,B,.,a,1,b,0,C,.0,a,0,D,.0,a,1,b,0,解析,由函数图象知函数为减函数，,0,a,1.,当,x,=0,时，,0,f,(,x,)=,a,-,b,0.,故,0,a,1,b,0.,D,4.,关于函数,f,(,x,)=2,x,-2,-,x,(x,R,，有下列三个结论：,f,(,x,),的值域为,R,；,f,(,x,),是,R,上的增函数；,对任意,x,R,有,f,(-,x,)+,f,(,x,)=0,成立,.,其中全部正确的结论是,(),A,.,B,.,C,.,D,.,解析,由于,y,=2,x,与,y,=2,-,x,的值域为（,0,，,+,），且分别为增,函数和减函数，,f,（,x,）,=2,x,-2,-,x,的值域为,R,，且,f,(,x,),在,R,上递增，,又,f,(-,x,)=2,-,x,-2,x,f,(-,x,)+,f,(,x,)=0.,A,5.,（,2007,山东理,，,2,）已知集合,M,=-1,1,则,M,N,等于A,.-1,1,B,.-1,C,.0,D,.-1,0,解析,x,Z,=,x,|-2,x,f,(,c,x,),D,.,大小关系随,x,的不同而不同,【,思维启迪,】,求出,b,、,c,之值再比较之，注意,b,x,与,c,x,在对称轴,的哪一边,.,解析,f,（,1+,x,）,=,f,（,1-,x,）,.,f,（,x,）的对称轴为直线,x,=1,由此得,b,=2,又,f,(0)=3,c,=3,，,f,（,x,）在（,-,1,）上递减，在,(1,+),上递增,.,题型二 利用指数函数的单调性比较大小,A,若,x,0,则,3,x,2,x,1,f,(3,x,),f,(2,x,),，,若,x,0,，则,3,x,2,x,f,(2,x,),f,(3,x,),f,(2,x,),故选,A,.,探究拓展,（,1,）比较大小通常有如下方法：作差法；作商法；单调性法；中间量法,.,如 与 的大小比较，可采用中间量 （,2,）对于多个数值大小比较问题，可先将这些数值分类，先比较它们与某些特殊值（如,0,-1,1,等）的大小，然后再将各部分比较大小,.,（,3,）对于含参数的大小比较问题，有时需对参数进行分类讨论,.,求下列函数的定义域、值域及其单调区间：,（,1,）,（,2,）,【,思维启迪,】,(1),定义域是使函数有意义的,x,的取值范围，,单调区间利用复合函数的单调性求解,.,（,2,）利用换元法同时利用复合函数单调性判断方法进而,求得值域,.,解,（,1,）依题意,x,2,-5,x,+40,解得,x,4,或,x,1,f,（,x,）的定义域是（,-,，,1,4,，,+,）,.,题型三 指数函数的图象与性质,令,x,（,-,，,1,4,，,+,），,u,0,，即,而,函数,f,(,x,),的值域是,1,，,+,）,.,当,x,（,-,，,1,时，,u,是减函数，,当,x,4,，,+,）时，,u,是增函数,.,而,31,由复合函数的单调性可知，,在（,-,，,1,上是减函数，,在,4,，,+,）上是增函数,.,故,f,（,x,）的增区间是,4,，,+,），减区间是（,-,，,1,.,（,2,）由,函数的定义域为,R,令,g,(,t,)=-,t,2,+4,t,+5=-(,t,-2),2,+9,t,0,g,(,t,)=-(,t,-2),2,+99,等号成立的条件是,t,=2,即,g,(,x,)9,等号成立的条件是 即,x,=-1,，,g,（,x,）的值域是（,-,，,9,.,由,g,(,t,)=-(,t,-2),2,+9,(t,0,),是减函数，,要求,g,(,x,),的增区间实际上是求,g,(,t,),的减区间，,求,g,(,x,),的减区间实际上是求,g,(,t,),的增区间,.,g,（,t,）在（,0,，,2,上递增，在,2,，,+,）上递减，,由 可得,x,-1,由 可得x,-1.,g,（,x,）在,-1,，,+,）上递减，在（,-,，,-1,上递增，,故,g,(,x,),的单调递增区间是（,-,，,-1,，,单调递减区间是,-1,，,+,）,.,探究拓展,（,1,）涉及复合函数单调性问题，首先应弄清函数是由哪些基本函数复合得到的，求出复合函数的定义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间,.,（,2,）利用定义证明时可分层比较，对于内外层函数，注意,“,同增异减,”,.,（,12,分）,设,a,0,是,R,上的偶函数,.,（,1,）求,a,的值；,（,2,）求证：,f,(,x,),在,(0,+),上是增函数,.,【,思维启迪,】,（,1,利用,f,(-,x,)=,f,(,x,),得恒等式，求参数,a,;,(2),利用单调性定义证明,.,（,1,）,解,f,（,x,）是,R,上的偶函数，,f,（,-,x,）,=,f,（,x,）,1,分,对一切,x,均成立，,而,a,0,a,=1.,题型四 指数函数的综合应用,3,分,4,分,(2),证明,在（,0,，,+),上任取,x,1,、,x,2,，且,x,1,x,2,5,分,则,x,1,0,x,2,0,x,1,+,x,2,0,10,分,f,(,x,1,)-,f,(,x,2,)0,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),故,f,(,x,),在（,0,+,）上是增函数,.12,分,8,分探究拓展,对于含参数的函数，若其具有奇偶性，则可根据定义建立恒等式，通过分析系数得到关于参数的方程或方程组，求出即可；而单调性多与参数的取值有关，应根据情况进行分类讨论,.,方法与技巧,1.,单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图象的无限伸,展性，,x,轴是函数图象的渐近线,.,当,0,a,1,时，,x,-,y,0;,当,a,1,时，,a,的值越大，图象,越靠近,y,轴，递增的速度越快；当,0,a,0,a,1),的图象和性质受,a,的影响，要分,a,1,与,0,a,1,来研究,.,2.,对可化为,a,2,x,+,b,a,x,+,c,=0,或,a,2,x,+,b,a,x,+,c,0(0),的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后,“,新元,”,的范围,.,1.,化简下列各式（其中各字母均为正数）：,（,1,）,（,2,）,解,(1),原式,2.,已知实数,a,、,b,满足等式 下列五个关系式：,0,b,a,;,a,b,0;0,a,b,;,b,a,0;,a,=,b,.,其中不可能成立的关系,式有 （）,A,.1,个,B,.2,个,C,.3,个,D,.,4,个,解析,作 的图象，如图,.,当,x,0,时，则有,a,b,0;,成立,.,当,x,0,时，则有,0,b,a,;,成立,.,当,x=,0,时，则有,a,=,b,=0.,成立,.,故不成立，因而选,B,B,3.,求下列函数的单调递增区间：,（,1,）,解,（,1,）函数的定义域为,R,.,令,u,=6+,x,-2,x,2,则,二次函数,u,=6+,x,-2,x,2,的对称轴为,在区间 上，,u,=6+,x,-2,x,2,是减函数，,又函数 是减函数，,函数 在 上是增函数,.,故 的单调递增区间为,（,2,）令,u,=,x,2,-,x,-6,则,y,=2,u,二次函数,u,=,x,2,-,x,-6,的对称轴是 在区间 上,u,=,x,2,-,x,-6,是增函数,.,又函数,y,=2,u,为增函数，,函数 在区间 上是增函数,.,故函数 的单调递增区间是,4.,已知定义在,R,上的奇函数,f,(,x,),有最小正周期,2,且当,x,(0,，,1),时,(1),求,f,(,x,),在,-1,1,上的解析式；,(2),证明：,f,(,x,),在,(0,1),上是减函数,.,(1),解,当,x,（,-1,，,0,）时，,-,x,（,0,，,1,）,.,f,(,x,),是奇函数，,由,f,(0)=,f,(-0)=-,f,(0),，,且,=-,f,(-1+2)=-,f,(1),得,f,(0)=,f,(1)=,f,(-1)=0.,在区间,-1,，,1,上，有,（,2,）证明 当,x,（,0,，,1,）时，,f,(,x,)=,设,0,x,1,x,2,1,则,0,x,1,x,2,0,即,f,(,x,1,),f,(x,2,),故,f,(,x,),在（,0,，,1,）上单调递减,.,1.,的大小顺序为 （）,A,.,B,.,C,.,D,.,解析,2.,B,3.,B,4.,C,5.,A,B,6.,当,x,0,时，函数,f,(,x,)=(,a,2,-1),x,的值总大于,1,，则实数,a,的取,值范围是 （）,A,.1|,a,|2,B,.|,a,|0,时，,f,(,x,)=(,a,2,-1),x,的值总大于,1,，,a,2,-11,，,a,2,2,，,7.,C,8.,函数,y,=,a,x,（,a,0,且,a,1,）在,1,，,2,上的最大值比最小值,大 则,a,的值是,.,解析,当,a,1,时，,y,=,ax,在,1,，,2,上单调递增，,故 得,当,0,a,0,时，,2,x,1,x,3,0.,f,(,x,),为偶函数，当,x,0.,综上可得,f,(,x,)0.,11.,已知函数,(,a,0,，且,a,1).,(1),判断,f,(,x,),的单调性；,（,2,）验证性质,f,(-,x,)=-,f,(,x,),当,x,(-1,1),时，并应用该性质,求满足,f,(1-,m,)+,f,(1-,m,2,)0,的实数,m,的范围,.,解,（,1,）设,x,1,x,2,x,1,-,x,2,1,则,所以,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,),在（,-,+,）上为增函数；,同理，若,0a,1,则,即,f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,),在（,-,+,）上为增函数,.,综上，,f,(,x,),在,R,上为增函数,.,(2),则,显然,f,(-,x,)=-,f,(,x,).,f,(1-,m,)+,f,(1-,m,2,)0,即,f,(1-,m,)-,f,(1-,m,2,),f,(1-,m,),f,(,m,2,-1),函数为增函数，且,x,(-1,1),，,故解,-11-,m,m,2,-11,可得,12.,（,1,）奇函数,（,2,）,证明,令,x,2,x,1,，则,f,（,x,2,）,-,f,（,x,1,）,当,x,2,x,1,时，,又,故当,x,2,x,1,时，,f,（,x,2,）,-,f,（,x,1,）,0,，,即,f,（,x,2,）,f,（,x,1,）,.,所以,f,（,x,）是增函数,.,（,3,）（,-1,，,1,）,返回,