高三数学一轮复习 9.46 平面与平面垂直课件 理 大纲人教版 课件.ppt

掌握平面和平面所成的角的概念,/,掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理,第,46,课时 平面与平面垂直 二面角,1,二面角的概念,：,平面,内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫,做,；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条,直线叫做二面角的,，每个半平面叫做二面角的,若棱为,l,，两个面分别,为,，,的二面角记为,l,.,2,二面角的平面角,：,一个,平面垂直于二面角,l,的棱,l,，且与两半平面交,线分别为,OA,，,OB,，,O,为垂足，则,AOB,是二面角,l,的,半平面,棱,面,平面角,3,两个平面垂直的定义,：,如果,二面角的平面角是直角，则称这个二面角为直,二面角；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面,4,两平面垂直的判定定理,：,如果,一个平面经过另一个平面的,，那么,这两个平面互相垂直,5,两平面垂直的性质定理,：,若两,个平面互相垂直，那么,垂直于,它们的交线的直线垂直于另一个平面,一条垂线,在一个平面内,1,设,l,，,m,，,n,是空间三条直线，,，,是空间两个平面，则下列选项中正确,的是,(,),A,当,n,l,时，,“,n,”,是,“,l,”,成立的充要条件,B,当,m,且,n,是,l,在,内的射影时，,“,m,n,”,是,“,l,m,”,的必要不充分条件,C,当,m,时，,“,m,”,是,“,”,充分不必要条件,D,当,m,，且,n,时，,“,n,”,是,“,m,n,”,的既不充分也不必要条件,解析：,A,错误，当,n,时，可能,l,，当,l,时，,n,与,的位置关系不能确定，所以是既不充分也不必要条件；,B,错误，由三垂线定理及逆定理可知此为充要条件；,C,正确；,D,错误，当,m,n,时，由已知条件可以推出,n,，所以应为必要而不充分条件,答案：,C,2,已知二面角,l,的大小为,60,，,m,、,n,为异面直线，且,m,，,n,，则,m,、,n,所成的角为,(,),A,30 B,60 C,90 D,120,答案：,B,3,如图，平面,平面,，,A,，,B,，,AB,与两平面,、,所成的角分,别为 和,.过,A,、,B,分别作两平面交线的垂线，垂足为,A,、,B,，若,AB,12,，则,A,B,等于,(,),A,4 B,6,C,8 D,9,答案：,B,4,已知平面,，,l,，,P,是空间一点，且,P,到平面,、,的距离分,别是,1,、,2,，则点,P,到,l,的距离为,_,答案：,1.,平面与平面的垂直问题可转化为直线与平面的垂直问题解决,2,利用平面与平面垂直的性质定理，可以有所选择地作出一个平面的垂线，进而可解决空间的成角和距离等问题，因此作平面的垂线也是立体几何中最重要的辅助线之一,【,例,1,】,如右,图，,，,l,，,A,，,B,，点,A,在直线,l,上的射影为,A,1,，点,B,在,l,上的射影为,B,1,.,已,知,AB,2,，,AA,1,1,，,BB,1,，求：,(1),直线,AB,分别与平面,、,所成角的大小；,(2),二面角,A,1,AB,B,1,的大小,解答：,如图,，,(1),连结,A,1,B,，,AB,1,.,，,l,，,AA,1,l,，,AA,1,.,A,1,B,为,AB,在,内的射影,，,ABA,1,为,AB,与,所成的角,，,在,Rt,AA,1,B,中,，,AA,1,1,，,AB,2,，,ABA,1,30.,同理,BAB,1,为,AB,与,所成的角，在,Rt,ABB,1,中,，,BB,1,，,AB,2,，,BAB,1,45.,(2),由,知,BB,1,，则平面,平面,ABB,1,，作,A,1,M,平面,ABB,1,垂足为,M,，作,MN,AB,，垂足为,N,，连结,A,1,N,(,如图,),，,由三垂线定理知，,A,1,N,AB,，则,A,1,NM,为二面角,A,1,AB,B,1,的平面角，,在,Rt,AA,1,B,1,中，,A,1,M,，,在,Rt,AA,1,B,中，,A,1,N,，,在,Rt,A,1,NM,中，,sin,A,1,NM,，,A,1,NM,arcsin,，,所求二面角,A,1,AB,B,1,的大小为,arcsin,.,变式,1.,如图所示,，直二面角,D,AB,E,中，四边形,ABCD,是边长为,2,的正方形，,AE,EB,，,F,为,CE,上的点，且,BF,平面,ACE,.,(1),求证,AE,平面,BCE,；,(2),求二面角,B,AC,E,的大小；,(3),求点,D,到平面,ACE,的距离,解答：,(1),证明,：在直二面角,D,AB,E,中，由,ABCD,是正方形，则,CB,平,面,AEB,，,AE,BC,，又,BF,平面,ACE,，则,AE,BF,，,AE,平面,BCE,.,(2),由,(1),知平面,AEC,平面,BCE,，又,BF,平面,ACE,，则,BF,EC,，连结,BD,与,AC,交,于,O,点，连结,OF,(,如图,),，由三垂线定理的逆定理知,FO,AC,，又,AC,BD,，则,BOF为二面角,B,AC,E,的平面角，在,Rt,AEB,中，,BE,，在,Rt,EBC,中，,BC,2,，,BF,，在,Rt,BFO,中，,sin,BOF,，,BOF,arcsin,.,(3),由,DO,BO,知,D,点到平面,ACE,的距离为,BF,.,解决二面角问题的主要过程是作图、论证与计算，首先要找出二面角的平面角，作二面角的平面角方法主要有根据定义，利用三垂线定理和逆定理等,【,例,2,】,如右图所示，在三棱锥,S,ABC,中，,SA,底面,ABC,，,AB,BC,，,DE,垂直,平分,SC,且分别交,AC,、,SC,于,D,、,E,，又,SA,AB,，,SB,BC,.,(1),求证：BD,平面,SAC,；,(2),求二面角,E,BD,C,的大小,解答：,(1),证明,：,DE,SC,且,E,为,SC,的中点，又,SB,BC,，,BE,SC,，,根据直线与平面垂直的判定定理知：,SC,平面,BDE,，,SC,BD,，又,SA,平面,ABC,，,SA,BD,，因此,BD,平面,SAC,.,(2),由,(1),知,EDC,为二面角,E,BD,C,的平面角，又,SAC,DEC,，,EDC,ASC,，在,Rt,SAB,中，,A,90,，设,SA,AB,1,，则,SB,.,由,SA,BC,，,AB,BC,，,BC,平面,SAB,，,BC,SB,，在,Rt,SBC,中，,SB,BC,SBC,90,，则,SC,2,，在,Rt,SAC,中，,A,90,，,SA,1,，,SC,2,，,ASC,60,，即二面角,E,BD,C,的大小为,60.,变式,2.,如图,所示，在四面体,P,ABC,中，已知,PA,BC,6,，,PC,AB,10,，,AC,8,，,PB,2 .,F,是线段,PB,上一点，,CF,，点,E,在线段,AB,上，且,EF,PB,.,(1),证明：,BP,平面,CEF,；,(2),求二面角,B,CE,F,的大小,解答：,(1),证明,：,PA,2,AC,2,PC,2,，,PA,2,AB,2,PB,2,，,PC,2,CB,2,PB,2,，,AC,2,CB,2,AB2,.,PAC,PAB,PCB,ACB,90,，又 ，,PCB,PFC,.,则,PFC,90,，又,EF,PB,，因此,PB,平面,CEF,.,(2),由,(1),PA,平面,ABC,，则,PA,EC,，又,PB,平面,CEF,，,CE,PB,则,CE,平面,PAB,，因此,CE,EF,，,CE,EB,，则,FEB,为二面角,B,CE,F,的平面角，在,ABP,中，,tan,FEB,tan,APB,，,FEB,arctan,.,即二面角,B,CE,F,的大小为,arctan,.,如图所示，已知二面角,l,，过,内一点,P,作,PA,于点,A,，再过点,P,作,PO,l,于点,O,，连结,OA因为,PA,，,l,，所以,PA,l,，又,PO,l,，,PA,PO,P,，所以,l,面,PAO,，所以,l,OA,，所以,AOP,为二面角,l,的平面角在计算,AOP,时确定垂足,A,的位置致为关键,【,例,3,】,如右图,，已知四棱锥,P,ABCD,，,PB,AD,，侧面,PAD,为边长等于,2,的,正三角形，底面,ABCD,为菱形，侧面,PAD,与底面,ABCD,所成的二面角,为,120.,(1),求点,P,到平面,ABCD,的距离；,(2),求面,APB,与面,CPB,所成二面角的大小,解答：,(1),如上图,，作,PO,平面,ABCD,，垂足为,O,，连结,OB,、,OA,、,OD,，,OB,与,AD,交于,E,，连结,PE,，,AD,PB,，,AD,OB,，,PA,PD,，,OA,OD,，于是,OB,平分,AD,，点,E,为,AD,的中点，,PE,AD,.,由此知,PEB,为面,PAD,与面,ABCD,所成二面角的平面角，,PEB,120,，,PEO,60.,由已知可求得,PE,，,PO,PE,sin,60,，即点,P,到平面,ABCD,的距离为,.,(2),解法一：如右图建立直角坐标系，其中,O,为坐标原点，,x,轴平行于,DA,.,P,(0,0,，,),，,B,(0,，,0),，,PB,中点,G,的坐标为,(0,，,),，连结,AG,.,又知,A,(1,，,0)C,(,2,，,0),，由此得到,(1,，,),，,(0,，,),，,(,2,0,0),，于是有,0,，,0,，,的夹角,等于所求二面角的平面角，于是,cos,，,所求二面角的大小为,arccos,.,解法二：,如下图,，取,PB,的中点,G,，,PC,的中点,F,，连结,EG,、,AG,、,GF,，则,AG,PB,，,FG,BC,，,FG,BC,.,AD,PB,，,BC,PB,，,FG,PB,，,AGF,是所求二面角的平面角,AD,面,POB,，,AD,EG,.,又,PE,BE,，,EG,PB,，且,PEG,60.,在,Rt,PEG,中，,EG,PE,cos,60,，在,Rt,GAE,中，,AE,AD,1,，于是,tan,GAE,，又,AGF,GAE,，,所求二面角的大小为,arctan,.,1,对于二面角问题多数情况下要作出二面角的平面角并加以论证和计算，同时要注意二面角的平面角所在的平面与二面角的棱及两个面都是互相垂直的,2,二面角的平面角的作法大致可根据定义作；可用垂直于二面角棱的平面去截二 面角，此平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角；也可首先确定二面角一个面的垂线，由三垂线定理和三垂线定理的逆定理，作出二面角的平面角，对于这种方法应引起足够的重视,3,对于直线和平面所成的角及二面角大小的计算都与平面的垂线有关，平面的垂线是立体几何中最重要的辅助线之一，而平面与平面垂直的性质定理也是最重要的作图理论依据,.,【,方法规律,】,(,本题满分,5,分,),已知平面,与,所成的二面角为,80,，,P,为,、,外一定点,，,过点,P,的一条直线与,、,所成的角都是,30,，,则这样的直线有且仅有,(,),A,1,条,B,2,条,C,3,条,D,4,条,解析：,如图,，过,P,分别作,、,的垂线,PC,、,PD,，其确定的平面与棱,l,交于,Q,，若二面角为,80,，,AB,与平面,、,成,30,角，则,CPD,100,，,AB,与,PD,、,PC,成,60,角，因此问题转化为过,P,点与直线,PD,、,PC,所成的角为,60,的直线有几条,60,，,60,，,这样的直线有,4,条,答案：,D,【,答题模板,】,面面垂直的性质定理是立体几何中作辅助线,(,平面的垂线,),最重要的理论依据之一对二面角及平面与平面垂直的考查是高考的重点和热点求直线与平面所成的角以及二面角的大小，可用几何法，也可利用向量法,(,比如利用平面的法向量,),本题考查直线与平面成角问题，可利用平面的法线，将线面位置关系问题转化为线线位置关系,【,分析点评,】,实质上是已知直线,a,，,b,相交于点,O,，两相交直线的夹角为,100(,或,80),，过,O,点作与,a,、,b,夹角为,60,的直线有几条？转化思想是解决数学问题非常重要的思想方法，否则直接求解，难度更大,.,