高三数学一轮复习 13.64 数学归纳法课件 理 大纲人教版 课件.ppt

又能,理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,第十三章 极 限,第,64,课时 数学归纳法,1,归纳法：,由一些事例推出一般结论的推理方法，特点：特殊一般,2,不完全归纳法：,根据事物的部分,(,而不是全部,),特例得出一般结论的推理方法,叫做不完全归纳法,3,完全归纳法：,把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳,法完全归纳法是一种在研究了事物的所有,(,有限种,),特殊情况后得出一般结 论的推理方法，又叫做枚举法与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法,4,数学归纳法：,对,于某些与自然数,n,有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当,n,取第一个值,n,0,时命题成立；然后假设当,n,k,(,k,N,*,，,k,n,0,),时命题成立，证明当,n,k,1,时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法,1,根,据下面,5,个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第,n,个图形中有,_,个点,解析：,可归纳出第,n,个图形中点的个数为,1,n,(,n,1),n,2,n,1.,答案,：,n,2,n,1,2,在,德国不莱梅举行的第,48,届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆,“,正三棱锥,”,形的展品，其中第,1,堆只有,1,层，就一个球：第,2,3,4,，,堆最底层,(第一层,),分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第,n,堆第,n,层就放一个乒乓球，以,f,(,n,),表示第,n,堆的乒乓球总数，则,f,(3),_,；,f,(,n,),_.(,答案用,n,表示,),解析：,f,(3),6,3,1,10.,观,察题目中的图示，不难发现第,n,堆最底层,(,第一层,),的,乒乓球数,a,n,1,2,3,n,，第,n,堆的乒乓球总数相当于,n,堆乒乓球,的底层数之和，即,f,(,n,),a,1,a,2,a,3,a,n,(1,2,2,2,3,2,n,2,),答案：,10,3,若,数列,a,n,中，,a,1,3,，且,a,n,1n,N,*,),，则数列的通项,a,n,等于,_,解析：,由,a,n,1,，,a,1,3,得，,a,2,9,3,2,.,a,3,81,3,4,，,a,4,3,8,，可推测,a,n,.,答案：,4,上,图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第,n,个图案中需用黑色瓷砖,_,块,(,用含,n,的代数式表示,),解析：,第,(1),、,(2),、,(3),个图案黑色瓷砖数依次为：,15,3,12,；,24,8,16,；,35,15,20,；,由此可猜测第,(,n,),个图案黑色瓷砖数为：,12,(,n,1),4,4,n,8.,答案：,4,n,8,从若干特殊事例出发，通过观察、分析、比较、归纳、猜想出一般结论，然后应用数学归纳法给予证明这一思想方法对于分析问题和解决问题是非常重要的，特别是在求解存在性或探索性问题时利用数学归纳法可证明等式、不等式、整除和几何问题等,【,例,1,】,是,否存在常数,a,、,b,、,c,，使得等式,1,2,2,2,3,2,n,(,n,1),2,(,an,2,bn,c,),对一切正整数,n,都成立？,解答：,假,设存在,a,、,b,、,c,使等式成立，令,n,1,2,3,，得,解之得,a,3,，,b,11,，,c,10,，故对,n,1,2,3,等式，,12,2,23,2,n,(,n,1),2,(3,n,2,11,n,10),成立,用数学归纳法证明：,当,n,1,时等式成立,假设,n,k,(,k,N,*,，,k,1),时等式成立，即,1,2,2,2,3,2,k,(,k,1),2,(3,k,2,11,k,10),成立,当,n,k,1,时，左边,1,2,2,2,3,2,k,(,k,1),2,(,k,1)(,k,2),2,k,(,k,1)(3,k,2,11,k,10),(,k,1)(,k,2),2,(,k,1)(,k,2),k,(3,k,5),12(,k,2),(,k,1)(,k,1),1(3,k,2,17,k,24),(,k,1)(,k,1),13(,k,1),2,11(,k,1),10,n,k,1,时等式也成立由,可知，对,n,N,*,等式都成立，,所以存在,a,3,，,b,11,，,c,10,，题设等式对一切,n,N,*,都成立,变式,1.,用,数学归纳法证明：,证明：,(1),当,n,1,时，左边 ，,右边 ，等式成立,(2),假,设当,n,k,(,k,N,*,，,k,1),时，等式成立，,即,则当,n,k,1,时，有,即当,n,k,1,时，等式成立,根据,(1),、,(2),可知，对一切,n,N,*,，等式成立,.,这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的等式是直接给出的，有时是根据条件从前,n,项入手，通过观察、猜想，归纳出一个等式，然后再用数学归纳法证明,【,例,2,】,已,知数列,a,n,满足,a,1,1,，,a,2,3,，,a,n,2,3,a,n,1,2,a,n,(,n,N,*,),(1),证明：数列,a,n,1,a,n,是等比数列；,(2),求数列,a,n,的通项公式；,(3),若数列,b,n,满足,(,a,n,1),b,n,(,n,N,*,),，,证明：,b,n,是等差数列,解答：,(1),证,明：由,a,n,2,3,a,n,1,2,a,n,得,a,n,2,a,n,1,2(,a,n,1,a,n,),，,即 ,2,，,a,n,1,a,n,是公比为,2,的等比数列,(2),a,n,1,a,n,(,a,2,a,1,)2,n,1,2,n,，,a,n,a,1,2,n,2,，则,a,n,2,n,1.,(3),证明：,整理得,(,n,1),b,n,1,nb,n,2,0.,由,b,1,b,1,，,b,2,b,1,(,b,2,b,1,),，,b,3,b,1,2(,b,2,b,1,),，,可推测,b,n,b,1,(,n,1)(,b,2,b,1,),，可用数学归纳法证明，,因此,b,n,成等差数列,变式,2.,数,列,a,n,满足,a,1,1,，且,8,a,n,1,a,n,16,a,n,1,2,a,n,5,0(,n,1),，,b,n,(,n,1),(1),求,b,1,，,b,2,，,b,3,，,b,4,的值；,(2),求数列,b,n,的通项公式及数列,a,n,b,n,的前,n,项和,S,n,.,解答：,(1),a,1,1,，,故,b,1,，,a,2,，故,b,2,，,a,3,，故,b,3,4,，,a,4,，故,b,4,，,(2),由,(1),可推测,b,n,，可用数学归纳法给以证明,(,略,),，,由,b,n,得,a,n,b,n,，,S,n,.,同用数学归纳法证明等式一样，这类题型也通常与数列的递推公式或通项公式有关，待证的不等式的条件可能直接给出，也可能需根据条件归纳猜想出，再证明,【,例,3,】,已,知函数,f,(,x,),x,sin,x,，数列,a,n,满足：,0,a,1,1,，,a,n,1,f,(,a,n,),，,n,1,2,3,，,.,证明：,(1)0,an,1,a,n,1,；,(2),证明：,(1),先,用数学归纳法证明,0,a,n,1,，,n,1,2,3,，,.,当,n,1,时，由已知，结论成立,假设当,n,k,(,k,N,*,，,k,1),时结论成立，即,0,a,k,1.,因为,0,x,0,，所以,f,(,x,),在,(0,1),上是增函数,又,f,(,x,),在,0,1,上连续，从而,f,(0),f,(,a,k,),f,(1),，即,0,a,k,1,1,sin 11.,故当,n,k,1,时，结论成立,由,可知，,0,a,n,1,对一切正整数都成立,又因为,0,a,n,1,时，,a,n,1,a,n,a,n,sin,a,n,a,n,sina,n,0,，,所以,a,n,1,a,n,.,综上所述,0,a,n,1,a,n,1.,(2),设函数,g,(,x,),sin,x,x,x,3,0,x,1.,由,(1),知，当,0,x,1,时，,sin,x,x,.,从而,g,(,x,),cos,x,1,=,0.,所以,g,(,x,),在,(0,1),上是增函数,又,g,(,x,),在,0,1,上连续，且,g,(0),0,，所以当,0,x,0,成立,于是,g,(,a,n,)0,，即,sin,a,n,a,n,0.,故,a,n,1,0,，,b,0),证明：,当,n,1,时，左端,0,右端，命题成立；,当,n,2,时，左端,2,ab,右端，命题成立；当,n,3,时，左端,3,a,2,b,3,ab,2,，不等式成立；,假,设,n,k,(,k,N,*,，,k,1),时，不等式成立，,即,(,a,b,),k,a,k,b,k,(2,k,2)(),k,当,n,k,1,时，,(,a,b,),k,1,a,k,1,b,k,1,(,a,b,),k,a,k,b,k,(,a,b,),ab,k,a,k,b,(2,k,2)(),k,(,a,b,),ab,k,a,k,b,2(2,k,2)(),k,1,2,(2,k,1,2)(),k,1,，不等式成立，,由,可知不等式对一切,n,N,*,都成立,.,【,方法规律,】,1,利用数学归纳法可以证明等式、不等式、整除问题和几何问题等,2,要注意不完全归纳法和数学归纳法的联合使用，比如解决已知数列的递,推公式、求通项公式和数列的求和等问题,3,使用数学归纳法要完成两步第一步，要验证,“,基础,”,；第二步，要证明,“,递推,”,，二者缺一不可关键在于使用归纳假设进行递推，这也是数学归,纳法的灵活和魅力之所在，要根据不同问题，加强练习，逐步掌握,.,(,本题满分,12,分,),设数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，且方程,x,2,a,n,x,a,n,0,有一根为,S,n,1,，,n,1,，,2,3,，,.,(1),求,a,1,，,a,2,；,(2),求,a,n,的通项公式,.,【,答题模板,】,解答：,(1)当,n,1,时，,x,2,a,1,x,a,1,0,，有一根为,S,1,1,a,1,1,，,于是,(,a,1,1),2,a,1,(,a,1,1),a,1,0,，解得,a,1,当,n,2,时，,x,2,a,2,x,a,2,0,有一根为,S,2,1,a,2,于是,(,a,2,),2,a,2,(,a,2,),a,2,0,，解得,a,2,(2),由,题设,(,S,n,1),2,a,n,(,S,n,1),a,n,0,，即,2,S,n,1,a,n,S,n,0.,当,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,，代入上式得：,S,n,1,S,n,2,S,n,1,0.,由,(1),知,S,1,a,1,，,S,2a,1,a,2,由,可得,S,3,.,由此猜想,S,n,，,n,1,2,3,，,下面用数学归纳法证明这个结论,(,),n,1,时已知结论成立,(,),假,设,n,k,(,k,N,*,，,k,1),时结论成立，即,S,k,当,n,k,1,时，由,得,S,k,1,，即,S,k,1,故,n,k,1,时结论也成立,综上，由,(,)(,),可知,S,n,对所有正整数,n,都成立,于是当,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,，又,n,1,时，,a,1,，所以,a,n,的通项公式为,a,n,，,n,1,2,3,，,.,1.,观察、归纳、推测、论证是重要的数学思维方式和方法，而不完全归纳法,和数学归纳法的结合是数学中发现问题解决问题的重要手段，也是高考的,考点之一往往与数列、不等式进行综合考查，难度一般较大,2,由不完全归纳法发现问题，用数学归纳法进行论证，展示了数学从发现,问题到解决问题的全过程，体现了从具体到抽象的认知规律，而数学归纳,法也完成了用有限的步骤解决,“,无限,”,问题的飞跃,【,分析点评,】,