高三数学一轮复习 10.3 二项式定理课件 文 大纲人教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,【,考纲下载,】,掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题,.,第,3,讲 二项式定理,1,二项式定理及特征,(1),定理,：,公式,(,a,b,),n,.,(,n,N,*),所表示的定理，叫做二项式定理，右边的多项式叫做,(,a,b,),n,的,(2),项数：二项展开式共有,项,二项展开式,n,1,(3),通项公式：,(,a,b,),n,的二项展开式中的,叫做二项展开式的通项，,用,表示，则有,.,【,思考,】,(,a,b,),n,与,(,b,a,),n,虽然相同，它们展开式的第,r,1,项相同吗？,答案：,不相同前者是,T,r,1,，后者是,T,r,1,，,a,与,b,不能随,便交换,(4),二项式系数：二项展开式第,r,1,项的二项式系数为,.,提示：,二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数是指 ，它只与各项的项数有关，而与,a,，,b,的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与,a,，,b,的值有关,2,二项式系数的性质,(1),对称性：在二项展开式中，与首末两端,的两个二项式系数相等，,即,(2),增减性与最大值：二项式系数 ，当,k,时，二项式系数是,；,当,k,时，二项式系数是,当,n,是偶数时取得最大值,当,n,是奇数时，中间两项,和,相等，且同时取得最大值,等距离,递增的,递减的,(3),各二项式系数的和,(,a,b,),n,的展开式的各个二项式系数的和等于,，,即 ,.,(4),二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于,，,即 ,.,2,n,2,n,奇数项的二项式系数的和,2,n,1,提示：,二项式系数最大项必定是中间项，而系数最大的项就不一定是中间,项如果求系数最大的项，往往需要通过解不等式组来处理，但当二项式,系数与各项系数只有正负差别时，可考虑系数最大项必在正数项中选择，,简化计算,1,(2009,北京卷,),若,(1,),4,a,b,(,a,，,b,为有理数,),，则,a,b,(,),A,33 B,29 C,23 D,19,解析：,由二项展开式可得,(1,),4,a,17,，,b,12,，,a,b,29.,答案：,B,2,在,10,的展开式中，,x,4,的系数为,(,),A,120 B,120 C,15 D,15,解析：,设,10,的展开式中，第,r,1,项含,x,4,，,T,r,1,10,2,r,4,r,3.,15.,答案：,C,3,在 的展开式中，则含,x,的正整数次幂的项共有,(,),A,4,项,B,3,项,C,2,项,D,1,项,解析：,由已知得：,，由于,0,r,12,，,故当,r,0,6,12,时，即展开式第,1,7,13,项均含,x,的正整数次幂,答案：,B,4,(2009,全国卷,),(,x,y,),10,的展开式中，,x,7,y,3,的系数与,x,3,y,7,的系数之和等,于,_,解析：,则,x,7,y,3,与,x,3,y,7,的系数之和为 ,240.,故填,240.,答案：,240,求展开式中的特定项，一般先求出展开式的通项式，整理成变量的指数的形式，然后令指数为所求系数的指数，若求常数项，令指数为零，即可求出对应的项数，进而可以求出对应常数项的值,(2009,四川卷,),的展开式的常数项是,_,思维点拨：,利用,求,解析：,展开式的通项公式,T,r,1,.,当,6,2,r,0,即,r,3,时，此二项展开式的常数项为,20答案：,20,【,例,1】,在,(1,x,),6,(2,x,),的展开式中，,x,3,的系数是,(,),A,25 B,25 C,55 D,55,解析：,x,3,的系数是二项式,(1,x,),6,展开式中,x,3,项的系数乘以,2,与,x,2,项,的系数的相反数的和，由此可得,x,3,的系数是,答案：,C,变式,1,：,在某些二项展开式中，项的系数和二项式系数有密切联系,(,如相同或相反,),，因此，某些展开式中项的系数的最值问题可转化为二项式系数的最大值问题来解,已知,(,x,2,),2,n,的展开式的二项式系数和比,(3,x,1),n,的展开式的二项式,系数和大,992,，求,的展开式中1),二项式系数最大的项；,(2),系数的绝对值最大的项,思维点拨：,根据二项式系数的性质，列方程求解,n,.,系数的绝对值最,大问题需要列不等式组求解,【,例,2】,解：,由题意知,，,2,2,n,2,n,992,，,即,(2,n,32)(2,n,31),0,，,2,n,32,，,解得,n,5.,(1),由二项式系数的性质知，的展开式中第,6,项的二项式系数最大,即,252.,(2,),设第,r,1,项的系数的绝对值最大,，,T,r,1,得 即,解得,r,Z,，,r,3,，故系数的绝对值最大的是第,4,项，,已知 中，,(1),若展开式中第,5,项，第,6,项与第,7,项的二项式系数成等差数列，求,展开式中的二项式系数最大的项的系数；,(2),若展开式前三项的二项式系数之和等于,79,，求展开式中系数最,大的项,变式,2,：,解,：,(1),因为,.,所以,n,2,21,n,98,0,，,所以,n,7,或,n,14.,当,n,7,时，展开式中二项式系数最大的项是,T,4,和,T,5,.,所以,T,4,的系数为,；,T,5,的系数为,当,n,14,时,，,二项式系数最大的项是,T,8,，,所以,T,8,的系数为,(2),由 ,79,，可得,n,12(,n,13,舍,),，设,T,k,1,项的系数最大，,因为,，所以,所以,9.4,k,10.4,，又因为,k,是正整数，所以,k10,，所以展开式中系数最,大的项为,求二项式展开式系数的和一般采用赋值法事实上，若,f,(,x,),a,0,a,1,x,a,2,x,2,a,n,x,n,，则,f,(,x,),展开式各项系数之和为,f,(1),，奇数项系数之和为,a,0,a,2,a,4,，偶数项系数之和为,a,1,a,3,a,5,.,因此，常把展开式中的变量赋值为,1,或,1,来求系数的和，有时候还采用给变量赋值,0,的方法求常数项,在二项式,(2,x,3,y,),9,的展开式中，,(1),求二项式系数之和；,(2),求各项的系数之和；,(3),求奇数项系数之和；,(4),求各项系数的绝对值之和,思维点拨：,因为求的是展开式的系数和，所以可以用赋值法求解,解：,(1),二项式系数之和为：,【,例,3】,(2),(2,x,3,y,),9,a,0,x,9,a,1,x,8,y,a,2,x,7,y,2,a,9,y,9,.,令,x,1,，,y,1,，,各项的系数之和为：,a,0,a,1,a,2,a,9,(,1),9,1.,(3),令,x,1,，,y,1,，,a,0,a,1,a,2,a,9,5,9,a,0,a,1,a,2,a,9,1,得：,a,0,a,2,a,8,，,奇数项系数之和为,.,(4),(2,x,3,y,),9,展开式中,a,0,，,a,2,，,a,4,，,a,6,，,a,8,大于零，,而,a,1,，,a,3,，,a,5,，,a,7,，,a,9,小于零,|,a,0,|,|,a,1,|,|,a,9,|,a,0,a,1,a,2,a,3,a,9,令,x,1,，,y,1,，,|,a,0,|,|,a,1,|,|,a,9,|,5,9,.,各项系数的绝对值之和为,5,9,.,已知,(1,2,x,),7,a,0,a,1,x,a,2,x,2,a,7,x,7,.,求：,(1),a,1,a,2,a,7,；,(2),a,1,a,3,a,5,a,7,；,(3),a,0,a,2,a,4,a,6,；,(4)|,a,0,|,|,a,1,|,|,a,2,|,|,a,7,|.,解：,令,x,1,，则,a,0,a,1,a,2,a,3,a,4a,5,a,6,a,7,1,令,x,1,，则,a,0,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,3,7,变式,3,：,(1),a,0,1,，,a,1,a,2,a,3,a,7,2.,(2)(,)2,，得,a,1,a,3,a,5,a,7,1 094.,(3)(,)2,，得,a,0,a,2,a,4,a,6,1 093.,(4),(1,2,x,),7,展开式中，,a,0,，,a,2,，,a,4,，,a,6,大于零，而,a,1,，,a,3,，,a,5,，,a,7,小于零，,|,a,0,|,|,a,1,|,|,a,2,|,|,a,7,|,(,a,0,a,2,a,4,a,6,),(,a,1,a,3,a,5,a,7,),，,由,(2),、,(3),即可得其值为,2 187.,用二项式定理处理整除问题或余数问题，通常把底数写成除数,(,或与除数密切关联的数,),与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面,(,或者前面,),一、二项就可以了,(1),求证：,2,n,2,3,n,5,n,4,能被,25,整除；,(2),求证：,1,3,3,2,3,3,n,1,能被,26,整除,(,n,为大于,1,的偶数,),思维点拨：,(1)25,5,2,，而,2,n,2,3,n,4,6,n,4(5,1),n,，将此二项式展开,后就会出现,5,r,；,(2),先利用等比数列求和，然后应用类似,(1),的方法,【,例,4】,证明：,(1),原式,4(5,1),n,5,n,4,5,n,4,.,以上各项均为,25,的整数倍，故得证,(2),因为,1,3,3,2,3,3,n,1,而,(26,1),n,1,因为,n,为大于,1,的偶数，所以,(26,1),n,1,能被,26,整除,所以,1,3,3,2,3,3,n,1,能被,26,整除,.,【,方法规律,】,1,运用二项式定理一定要牢记通项,T,r,1,，注意,(,a,b,),n,与,(,b,a,),n,虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意,顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的,(,字母,),系数是两个不同,概念，前者只指,C,，而后者是指字母外的部分,2,求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求,r,，再求,T,r,1,，有,时还需求,n,，再求,r,，才能求出,T,r,1,.,3,有些三项展开式问题可以通过变形变成二项式问题加以解决；有时也,可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏,4,对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋,值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段,5,用二项式定理证明整除问题时，一般将被除式变为有关除式的二项式的,形式再展开，常采用,“,配凑法,”“,消去法,”,配合整除的有关知识来解决,.,【,高考真题,】,(2009,湖南卷,),在1,x,),3,(1,),3,(1,),3,的展开式中,，,x,的系数为,_(,用数字作答,),【,规范解答,】,解析：,由条件易知,(1,x,),3,，,(1,),3,，,(1,),3,展开式中,x,项的系数分别是,，即所求系数是,3,3,1,7.,故填,7.,答案：,7,【,探究与研究,】,本题设计的三个二项式，必须单独计算其中,x,的系数，除了考查考生对二项式定理基础知识的掌握程度外，主要目的是考查考生分析问题的能力,(,体现在各个展开式中含有,x,的项所处的位置,),及考生分类与整合的数学思想,本题容易把第二个、第三个二项式展开后的含有,x,项的位置弄错，可以作类比解决，根据,(1,x,),3,展开式中含有,x,的项为第二项，那么,(1,),3,中含有,x,的项就是第三项、,(1,),3,中含有,x,的项就是第四项，这样就找到了规律，在解题中就可以避免出现错误,本题很容易进行推广，即,展开式中，,x,的系数为,【,方法探究,】,在含有几个二项式的和差的式子中求某些项的系数，一个思考方向是看看这些和差关系能不能进行整合，若能进行整合，则整合后再解决问题，若不能进行整合再分别求解，最后整合求解结果,.,