高三数学一轮复习 矩阵与变换课件 理 苏教版选修4-2 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,选修,4,2,矩阵与变换,了解矩阵的概念,/,理解几种常见的平面变换,/,理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线,/,理解矩阵的复合与矩阵的乘法,/,理解二阶逆矩阵的意义，二阶矩阵的特征值和特征向量,/,掌握二阶矩阵的简单应用,【,命题预测,】,1,矩阵是研究数学问题和实际问题的一种工具，因此，掌握矩阵的运算方法就,显得非常重要在高考中对这一部分的考查也主要体现在研究问题的方法,中,2,由于这一部分是新增加的内容，也是高中数学教材与高等数学教材的接轨知,识，故难度不会很大，通常考查矩阵的基本运算，或与解析几何中二次曲线,的变换结合起来进行考查，以二阶矩阵的考查为主,3,若有涉及生产实际中的问题，通常也会是一些基础的问题，主要与方程的变,换与求解结合起来，并且主要强调做题的技巧矩阵带来的方便将会是考查,的方向，渗透等价转化与数形结合等基本数学思想,【,应试对策,】,1,矩阵变换的性质从代数方面可以简单概括为以下三条：对于给定的矩阵,A,和任意的向量,a,和,b,，都有,(1),A,(,a,b,),Aa,Ab,；,(2),对于任意实数,都有,A,(,a,),(,Aa,),；,(3),综合,(1)(2),可得对于任意实数,和,，都有,A,(,a,b,),(,Aa,),(,Ab,),从几何角度来看，可逆的矩阵变换把直线变成直线，把线段变成线段，把平行四边形变成平行四边形,2,因为矩阵的乘法运算不满足交换律，对应的，对一个向量,a,先实施变换,f,，再实施变换,g,和先实施变换,g,，再实施变换,f,，其结果通常也是不一样的因而做题时必须认真审题，弄清题意，不能混淆,f,(,ga,),和,g,(,fa,),3,鉴于大多数同学对矩阵的运算还不熟练，在求逆矩阵和利用逆矩阵求二元一次方程组时，一定要注意对计算结果进行检验,4,矩阵的特征值和特征向量在求解形如,M,n,a,的矩阵与向量的乘法运算中有重要应用，熟练掌握本讲知识，将可以大大减少运算量另外，我们还经常用它来解决生活类的问题，体现了矩阵知识在现实生活中的广泛应用,【,知识拓展,】,矩阵的转置,设,A,，,所谓,A,的转置就是指矩阵,A,1,矩阵,(1),在,数学中，把形如 这样的矩形数字,(,或字母,),阵列称做,.,把像,a,11,a,12,这样只有一行的矩阵称为,，像 这样只有一列的矩阵称为,.,同一横排中按原来的次序排列的一行数,(,或字母,),叫做矩阵的,，同一竖排中按原来的次序排列的一列数,(,或字母,),叫做矩阵的,，而组成矩阵的每一个数,(,或字母,),称为矩阵的,.,(2),只有一行的矩阵称为行矩阵,(3),只有一列的矩阵称为列矩阵,(4),所有元素都为,0,的矩阵叫做,矩阵,(5),对于两个矩阵,A,，,B,，只有当,A,，,B,的行数与列数分别相等，并且对应位置的元素,，,A,和,B,才相等，记作,.,矩阵,行矩阵,列矩阵,元素,列,零,也分别相等时,A,B,行,2,几种常见的平面变换,(1),矩,阵,E,称为恒等变换矩阵或,矩阵,(2),像 这样的矩阵，称为沿,y,轴或,x,轴的垂直,变换矩阵,(3),像 这样的矩阵，称为反射变换矩阵,(4),像 这样的矩阵，称为旋转变换矩阵,(5),像 这类将平面内图形投影到某条直线,(,或某个点,),上的矩阵，称为投影变换矩阵,(6),像,(,k,R,，,k,0),这样的矩阵，称为切变变换矩阵,单位,伸压,3,变换的复合与矩阵的乘法,(1),对,于矩阵 ，规定乘法法则如下：,(2),一般情况下，,AB,BA,，即矩阵的乘法不满足交换律,(3),矩阵的乘法满足结合律，即,(4),矩阵的乘法不满足消去律,(,AB,),C,A,(,BC,),4.,逆变换与逆矩阵,(1),对,于二阶矩阵,A,、,B,，若有,AB,BA,E,，则称,A,是可逆的，,B,称为,A,的,.,A,的逆矩阵记作,A,1,.,(2),若二阶矩阵,A,、,B,均存在逆矩阵，则,AB,也存在逆矩阵，且,.,(3),已知,A,、,B,、,C,为二阶矩阵，且,AB,AC,，若矩阵,A,存在逆矩阵，则,B,C,.,(4),我们把 称为,，记为,.,逆矩阵,(,AB,),1,B,1,A,1,二阶行列式,5,特征值与特征向量,(1),设,A,是一个二阶矩阵，如果对于实数,，存在一个非零向量,，使,A,，那么,称为,A,的一个特征值，而,称为,A,的属于特征值,的一个特征向量,(2),设,A,是一个二阶矩阵，,R,，我们把行列式,f,(,),2,(,a,d,),ad,bc,称为,A,的特征多项式,1,已知,A,，,B,，且,A,B,，则,x,_,，,y,_,，,z,_,，,m,_.,答案：,3,0,1,2,2.,_.,解析：,答案：,3.,_.,解析：,1,4,(,1),(,2),2.,答案：,2,4,A,的特征多项式,f,(,),_.,解析：,f,(,),(,1),2,4,2,2,3答案：,2,2,3,5,A,的特征值为,_,解析：,f,(,),(,2),2,1,2,4,3.,由,f,(,),0,得,1,或,3.,答案,：,1,或,3,给,定一个二阶矩阵，就确定了一个变换，它的作用是将平面上一个点,(,向量,),变成了另外一个点,(,向量,),平面中常见的变换都可以用矩阵来表示,【,例,1,】,已,知,ABC,经过矩阵,M,的变换后，变成了,A,B,C,，且,A,(1,0),，,B,(1,，,1),，,C,(0,，,1),，,A,(1,0),，,B,(0,，,1),(1),试求出矩阵,M,，并说明它的变换类型；,(2),试求出点,C,的坐标,思路点拨：,对于已知变换前后的象和原象，求变换矩阵这类问题，我们显然无法对所有的变换进行一一尝试，用待定系数法解题可起到事半功倍的效果,解：,设,M,依题意得,且,(2),故点,C,的坐标是,(,1,，,1),变式,1,：,(,南京调研,),已知矩阵,M,，,N,.,在平面直角坐标系中，设直线,2,x,y,1,0,在矩阵,MN,对应的变换作用下得到曲线,F,，求曲线,F,的方程,它是沿,x,轴方向的切变变换,解：,由,题设得,MN,设,(,x,，,y,),是直线,2,x,y,1,0,上任意一点，点,(,x,，,y,),在矩阵,MN,对应的变,换作用下变为,(,x,，,y,),，,则有 ，即 所以,因为点,(,x,，,y),在直线,2,x,y,1,0,上从而,2,x,(,y,),1,0,，,即,2,x,y,1,0.,所以曲线,F,的方程为,2,x,y,1,0.,矩阵相乘时应灵活运用运算律，以提高解题效率，但要注意交换律和消去律在矩阵的乘法中一般不成立,【,例,2,】,(,江苏镇江,),已,知,B,，并且,(,AB,),C,，,求矩阵,A,.,思路点拨：,本例在解题中应灵活应用矩阵乘法的结合律和逆矩阵的知识，从而避开繁琐的计算,答案：,(,AB,),C,A,(,BC,),且,BC,，,故,A,变式,2,：,设,矩阵,A,.,求,A,2,，,A,4,，,由此猜想,A,n,(,n,N,*,),解：,A,A,2,AA,A,4,(,A,2,),2,由此猜想,A,n,(,n,N,*,),逆矩阵是对应着原先变换的逆变换，求逆矩阵一般是先设出逆矩阵，通过与原矩阵相乘得到的矩阵等于单位矩阵，由此得到方程组，解方程组便能求出逆矩阵,【,例,3,】,已,知以原点为中心旋转,60,的变换,f,对应于矩阵,A,，,切变变换,g,：,对应于矩阵,B,.,(1),写出矩阵,A,和矩阵,B,；,(2),从逆变换的角度求解矩阵,A,和矩阵,B,的逆矩阵,；,(3),计算,(,AB,),1,.,思路点拨：,对于几何意义明显的线性变换,(,如题中的变换,f,和变换,g,),，要撑握它的逆变换，利用逆变换求逆矩阵有时比利用行列式求逆矩阵要来得快捷简便,解：,(1),A,B,(2),变换,f,的逆变换,f,是以原点为中心旋转,60,的旋转变换，故,A,1,变换,g,把任一向量 变成 ，如要变回 ，只需,用实施一次切变变换 故,B,1,(,AB,),1,B,1,A,1,变式,3,：,(,盐城调研,),已,知矩阵,M,，,N,，,试求曲线,y,cos,x,在矩阵,M,1,N,变换下的函数解析式,解：,M,1,，,所,以,M,1,N,即在矩阵,M,1,N,的变换下有如下过程,则,y,cos,2,x,，,即曲线,y,cos,x,在矩阵,M,1,N,的变换下的解析式为,y,2,cos,2,x,.,矩,阵的特征值和特征向量在求解形如,Mna,的矩阵与向量的乘法运算中有重要应用，应掌握求解二阶方阵的特征向量和特征值的基本方法关于特征值问题的一般解法探究如下：,给定矩阵,A,，,向量,a,，,若有特征值,，,则,，,即,，,所以,，,即,2,(,a,d,),(,ad,bc,),0.,【,例,4,】,(,江苏南京,),已知矩阵,M,(1),判,断矩阵,M,是否有特征值和特征向量,，,如果有，求出它的特征值和特征向量,；,(2),若向量,c,求,M,5,c,.,思路点拨：,求解特征值和特征向量是基本功，是后继应用的前提，同学们要在理解其解题原理的基础上加以熟练掌握,解：,(1),方程 ,2,5,6,0,有解，故矩阵,M,有特征值和特征向量，由,2,5,6,0,得,1,2,，,2,3.,对于特征值,1,2,，设,1,对应的特征向量是,a,，则,Ma,1,a,，即 ，,整理得 取,a,作为特征值,1,2,的特征向量,同理，设对应特征值,2,3,的特征向量为,b,，得相应的线性方,程组,取,b,作为特征值,2,3,的特征向量,(2),，,故,变式,4,：,(,苏锡常镇四市高三教学情况调查,),已,知矩阵,M,，,其中,a,R,，,若点,P,(1,，,2),在矩阵,M,的变换下得到点,P,(,4,0),(1),求实数,a,的值,；,(2),求矩阵,M,的特征值及其对应的特征向量,解：,(1),由,.,得,2,2,a,4,，即,a3.,(2),由,(1),知，,M,，则矩阵,M,的特征多项式为：,f,(,),(,2)(,1),6,2,3,4.,令,f,(,),0,，得矩阵,M,的特征值为,1,与,4.,当,1,时，,x,y,0,，,矩阵,M,的属于特征值,1,的一个特征向量为 ；,当,4,时，,2,x,3,y,0,，,矩阵,M,的属于特征值,4,的一个特征向量为,.,1,正确理解矩阵乘法的意义，熟练掌握二阶矩阵乘法的运算法则，是进行矩阵乘法运算的关键，需要指出的是：一般地，矩阵乘法不满足交换律，即,MN,NM,不一定成立，这一点需要仔细体会,2,矩阵乘法的代数运算和几何意义从两个不同的方面刻画了矩阵乘法与变换复合之间的内在联系，复杂的变换都可以通过简单的初等变换复合而成,【,规律方法总结,】,3,矩阵与变换的关系，本质上就是数与形的关系，在矩阵的乘法运算中，应注意抓住矩阵所对应变换的几何意义进行分析，从数形结合这一数学思想方法的高度来认识和把握矩阵乘法运算,4,对于特征值与特征向量，关键是要理解特征值与特征向量的本质含义，并会求特征值与特征向量判断矩阵的特征值与特征向量可通过验证,M,是否成立求解矩阵的特征值与特征向量要按步骤进行计算对于特征值,而言，它的特征向量不唯一，若,为一个矩阵的特征向量，则,t,(,t,R,，,t,0),也为该矩阵的特征向量,.,【,例,5,】,(2009,江苏卷,),求,矩阵,A,的逆矩阵,分析：,设出矩阵,A,的逆矩阵，通过这个矩阵与其逆矩阵的乘积等于单位矩阵，列出方程组求解,规范解答：,设矩阵,A,的逆矩阵为 ，,则,，,即,故,解得,从而,A,的逆矩阵为,A,1,【,高考真题,】,【,课本探源,】,本题考查的是矩阵的基础知识，类似的题目在各个版本,矩阵与变换,的教材中均有，如苏教版教材,P,95,练习题就是：求矩阵 的逆矩阵，可以说本题是一道来源于教材的题目,【,知识链接,】,矩阵的逆矩阵,逆矩阵是指存在一个矩阵,B,，使得矩阵,A,与其乘积等于单位矩阵，即矩阵,A,的逆矩阵满足,AB,BA,I,.,一个二阶矩阵存在逆矩阵的充要条件是这个矩阵的行列式不等于,0即矩阵 存在逆矩阵的充要条件是,ad,bc,0.,【,全解密,】,【,发散思维,】,求一个二阶矩阵的逆矩阵的两种方法,求一个二阶矩阵的逆矩阵既可以根据逆矩阵的定义，采用上面的待定系数法，也可以直接用求二阶矩阵的逆矩阵公式，一般地，二阶矩阵 的逆矩阵是 ，本题也可以用这个方法解答,【,误点警示,】,单位矩阵是指主对角线上的元素为,1,，其余元素为,0,的矩阵，不要误以为,为单位矩阵；矩阵的乘法规则是前一个矩阵的第一行元素与后一个矩阵的第一列对应元素乘积之和为其乘积矩阵的第一行第一列的元素，前一个矩阵的第一行与第二个矩阵的第二列对应元素乘积之和为其乘积矩阵的第一行第二列的元素，前一个矩阵的第二行与后一个矩阵的第一列对应元素乘积之和作为乘积矩阵的第二行第一列的元素，前一个矩阵的第二行与后一个矩阵的第二列对应元素乘积之和作为乘积矩阵的第二行第二列的元素，在解题时不要弄错这个乘法规则,.,点击此处进入 作业手册,