高三数学一轮复习 2.8 函数模型及其应用课件 苏教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,2012,届高三数学苏教版一轮复习课件：,2.8,函数模型及其应用,1,了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；理解直线上升、,指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义,2,了解函数模型,(,指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会,生活中普遍使用的函数模型,),的广泛应用,第,8,课时 函数模型及其应用,【,命题预测,】,1,指数函数、对数函数的应用是高考的一个重点内容，常与增长率相结合进行考查,2,以解答题为主，考查数学建模能力，综合性较强，属于中高档题，同时,考查分析问题、解决问题的能力,3,几种增长型函数模型的应用可能会成为高考题的热点,【,应试对策,】,1,函数模型的应用需要多种知识和技能，并且要细致审题，弄清题,目的条件和所求，挖掘题目中的隐含条件，优化解题策略，选择恰当,的函数模型，转化为具体的数学问题来解决，同时要注意函数的定义,域与实际问题的关系,2,解答数学应用题时应注意的关键点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理地选取参变数，设定变元后就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，处理相应的函数、方程、不等式等数学模型，最终求解数学模型，使实际问题得到解决一般的解题程序是：读题,(,文字语言,),建模,(,数学语言,),求解,(,数学应用,),反馈,(,检验作答,),3,与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可,涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题解答这类问题的关键是准确建立,相应的函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答,4,对函数的研究一定不能停留在抽象的讨论，应在头脑中建立起几个重要的模,型，并把这些留在头脑中，比如分段函数，以及基本的函数模型，比如简单的,幂函数、指数函数与对数函数结合这些函数，不断地加深对于函数的定义、,性质以及函数研究方法的理解，再通过这些模型，理解函数与其他数学知识之,间的联系例如，平均增长率的问题：如果原来产值的基础数为,N,，平均增长率为,p,，则对于时间为,x,的总产值,y,，有,y,N,(1,p,),x,.,5,数学应用问题形式多样，解法灵活在应用题的各种题型中，有这样一类题型：信息由表格数据的形式给出，要求对数据进行合理的转化处理，建立数学模型，解答有关实际问题解答此类题型主要有如下三种方法：,(1),直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解,(2),列式比较法：若题中所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较,(3),描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要哪种数学模型，则可根据表,中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化,情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决,6,在实际问题中，有关产量增长、人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率,问题常可以用指数模型表示，通常可以表示为,y,N,(1,p,),x,(,其中,N,为原来的基础数，,p,为增长率，,x,为时间,),的形式另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用,7,现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得,税等，分段函数是刻画实际问题的重要模型构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到各段合理，不重不漏,8,应用题一般文字较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，这就要求学,生有较强的阅读理解能力、捕捉信息能力、归纳抽象能力因此，要解好数学应用题，首先应当加强、提高理解能力，然后将普通语言转化为数学语言和数学符号，将实际问题转化为数学问题，再应用数学方法、数学思想去解决问题，这个过程的每一个环节都必须引起注意,【,知识拓展,】,1,函数建模研究,(1),在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此应注意提高读题能力,(2),对数学建模的解答，应当与解答常规数学题有所区别，应当更多地关注建模过程和分析处理方法，建立的拟合函数不一定只有一个,(3),用已知的函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模,型的条件会有所不同，因此往往需要对模型进行检验，看是否合乎实际，,若不合乎实际，应修正函数模型,(4),注意实践活动，加强实验操作,2,解题过程一般为,(1),作散点图,；,(2),选择函数模型：一般是根据散点图的特征，联想哪些函数具有类似的图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试；,(3),求出函数模型：求出,(2),中找到的几个函数模型的解析式；,(4),检验：将,(3),中求出的几个函数模型进行比较、验证，得出最合适的函数模型；,(5),利用所求出的函数模型解决问题,几类函数模型,函数模型,函数解析式,一次函数模型,f,(,x,),ax,b,(,a,、,b,为常数，,a,0),二次函数模型,f,(,x,),ax,2,bx,c,(,a,，,b,，,c,为常数，,a,0),指数函数模型,f,(,x,),ba,x,c,(,a,，,b,，,c,为常数，,a,0,，且,a,1),对数函数模型,f,(,x,),b,log,a,x,c,(,a,，,b,，,c,为常数，,a,0,，且,a,1),幂函数模型,f,(,x,),ax,n,b,(,a,，,b,为常数，,a,0),1,从,2008,年,11,月,1,日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为,20%,，,由各银行储蓄点代扣代收，某人,2009,年,6,月,1,日存入若干万元人民币，年,利率为,2%,，到,2010,年,6,月,1,日取款时被银行扣除利息税,138.64,元，则该存,款人的本金等于,_,元,解析：,设存入的本金为,x,，则,x,2%,20%,138.64,，,x,34 660.,答案：,34 660,2,某厂产量第二年增长率为,a,，第三年增长率为,b,，这两年平均增长率为,x,，,则,x,与 的大小关系是,_,解析：,设第一年产量为,M,，根据已知条件,M,(1,a,)(1,b,),M,(1,x,),2,，,即,，,x,(,当且仅当,a,b,时等式成立,),答案：,x,3,汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过,程中汽车的行驶路程,s,看作时间,t,的函数，其图象可能是,_,解析：,根据汽车加速行驶,s,at,2,，匀速行驶,s,v,t,，减速行驶,s,at,2,结合函数图象可知填,.,答案：,4,据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为,b,2009,年产生的垃圾量,为,a,吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为,_,吨，,2014,年的垃圾量,为,_,吨,解析：,2010,年垃圾量为,a,(1,b,),2014,年垃圾量为,a,(1,b,),5,.,答案：,a,(1,b,),a,(1,b,),5,5,某林厂年初有森林木材存量,1 080 m,3,，若木材以每年,25%,的增长率生长，而,每年末要砍伐固定的木材量,x,m,3,，为保证经过两次砍伐后木材的存量增加,50%,，则,x,的值为,_,解析：,据题意可知砍伐第一次后木材存量为,1 080(1,25%),x,，第二次砍,伐后木材存量为,1 080(1,25%),x,(1,25%),x,，,据题意得：,1 080(1,25%),x,(1,25%),x,1 080(1,50%),x,30.,答案：,30,一次函数、二次函数模型多数用来求最值，由于一次函数是单调性函数，所以在用其求最大值或最小值时要考虑其定义,a,区间端点处的函数值；用二次函数模型求最值，除了考虑定义区间端点处的函数值外，还要考虑在对称轴处对应的函数值,【,例,1】,某企业生产一种产品时，固定成本为,5 000,元而每生产,100,台产品,时直接消耗成本要增加,2 500,元，市场对此商品年需求量为,500,台，销,售的收入函数为,R,(,x,),5,x,x,2,(,万元,)(0,x,5),，,其中,x,是产品售出的数,量,(,单位：百台,),(1),把利润表示为年产量的函数,；,(2),年产量多少时，企业所获得的利润,最大,；,(3),年产量多少时，企业才不亏本,？,思路点拨：,(1),根据要求写出函数解析式；,(2),利用二次函数求最值；,(3),列不等,式求解,解：,(1),利润,y,是指生产数量,x,的产品售出后的总收入,R,(,x,),与其总成本,C,(,x,),之差，,由题意，当,x,5,时，产品能全部售出，当,x,5,时，只能销售,500,台，所以,y,(2),在,0,x,5,时，,y,x,2,4.75,x,0.5,，当,x,4.75,百台时，,y,max,10.78125,万元,当,x,5,百台时，,y,12,0.255,10.75(,万元,),，所以当生产,475,台时，利润最大,(3),要使企业不亏本，即要求：或,解得,5,x,4.75,0.1,百台或,5,x,48,百台，即企业年产量在,10,台到,4800,台之间时，企业不亏本,变式,1,：,某电脑公司准备将,100,台同类型的电脑租给某大学的学生根据市场调,查，如果每台电脑每月租金不高于,100,元，可全部租出；如果每台电脑,租金高于,100,元，那么每提高,10,元将有,5,台电脑闲置为了提高公司的,经济效益，该公司需要拟定一个最佳月租价格，这个价格必须满足,：,为了便于核算，月租价定为,10,元的整数倍,；,由于公司的开支,(,如员工工资，水电费等,),每月需要,6 250,元,，,电脑出租,收入必须高于此，而且高出得越多越好,(1),把该公司的每月净收入,y,(,即收入减支出,),表示为每台电脑月租金,x,元的函数，,并求出其定义域；,(2),求每台电脑的月租金,x,为多少时，公司的净收入,y,最大，并求出最大值,解：,(1),由已知每台电脑每月租金为,x,元，,当,x,100,时，租出电脑台数为100,(),5,150,x,，,y,x,(150,x,),6 25,x,2,150,x,6 250.,当,x,100,时，,y,100,x,6 250,，,由,100,x,6 250,0,得,x,62.5.,由,150,x,0,得,x,300,，由,x,2,150,x,6 250,0,得,x,2,300,x,12 500,0,，,50,x,250,，又,x,是,10,的整数倍综上可知,70,x,250,且,Z,，,y,它的定义域为,.,(2),若,x,100,，则当,x,100,时，,y,100,x,6 250,有最大值,y,1,3 750,元，,当,100,x,250,时，,y,(,x,150),2,5 000,，,当,x,150,时，,y,最大,5 000,元,5 000,3 750,当,x,150,元时，,y,最大,5 000,元,当租金为,150,元时，公司净收入最大，最大值为,5 000,元,与指数函数相关的应用题较多，如放射性物质的蜕变、人口的增长问题、国民生产总值的增长问题、成本的增长率或降低问题等都属于这一类模型当然，这类问题也可用等比数列的知识解决另外，本题还涉及了相关的地理知识通过研究指数函数的性质解释实际问题，我们要掌握底数,0,a,1,两种基本情况下函数的性质，特别是单调性和值域的差别，它能帮我们解释具体问题,【,例,2】,对于,5,年可成材的树木，在此5,年期间的年生长率为,18%,，,以后的年生,长率为,10%,，,树木成材后，既可以售树木，重栽新树木；也可以让其,继续生长，问哪一种方案可获得较大的木材量,(,只需考虑,10,年的情形,),思路点拨：,分别计算出连续生长,10,年的木材量及生长,5,年后重栽新树木,的木材量并比较其大小,解：,设新树苗的木材量为,Q,，,则,10,年后有两种结果：,(1),连续生长,10,年，木材量,N,Q,(1,18%),5,(1,10%),5,；,(2),生长,5,年后重栽新树木，木材量,M,2,Q,(1,18%),5,.,则,，,因为,(1,10%),5,1.611,，,即,M,N,.,因此，生长,5,年后重栽新树木可获得较大的木材量,变式,2,：,深圳特区,1982,年生产总值为,2.7,亿元,，,2001,年生产总值为,1 436.5,亿元，,问,19,年中每年平均增长百分之几,？,(lg 532.04,2.726 0,，,lg 1.391 46,0.143 47),解：,设每年平均增长率为,p,%.,依题意，得,2.7,(1,p,%),19,1 436.5,，,即,(1,p,%),19,532.04,，,两边取常用对数得,19,lg(1,p,%),lg 532.04,，,则,lg(1,p,%),0.143 47,，,1,p,%,1.391 46,，即,p,39.15.,答,：这,19,年中每年平均增长,39.15%.,对于对数函数要熟练应用近似计算的知识，来对事件进行合理的解析理清题意，利用函数图象特点解决此类问题对数型函数模型的特点是增长慢,【,例,3】,(,江苏省启东中学高三质量检测,),某个体户计划经销,A,、,B,两种商品，据,调查统计，当投资额为,x,(,x,0),万元时，在经销,A,、,B,商品中所获得的收益分别为,f,(,x,),万元与,g,(,x,),万元，其中,f,(,x,),a,(,x,1),2(,a,0),；,g,(,x,),6ln(,x,b,)(,b,0),，已知投资额为零时，收益为零,(1),求,a,、,b,的值；,(2),如果该个体户准备投入5,万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入,方案，使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值,(,精确到,0.1,，参考数据：,ln 3,1.10),思路点拨：,(1),由,f,(0),，,g,(0),列方程组求,a,，,b,.(2),列出收入的表达式，并由它求收,入的最大值,解：,(1),根据问题的实际意义，可知,：,f,(0),0,，,g,(0),0,，,即,，,.,(2),由,(1),的结果可得,：,f,(,x,),2,x,，,g,(,x,),6ln(,x,1),依题意，可设投入,B,商品,的资金为,t,万元,(0,t,5),，,则投入,A,商品的资金为,5,t,万元，所获得的收入为,S,(,t,),万元，则有,S,(,t,),2(5,t,),6ln(,t,1),6ln(,t,1),2,t,10(0,t,5),S,(,t,),2,，令,S,(,t,),0,，得,t,2,；,当,t,0,；当,t,2,时，,S,(,t,)0,；,t,2,是,S,(,t,),在区间,0,5,上的唯一极大值点，,此时,S,(,t,),取得最大值：,S,(,t,),max,S,(2),6ln 3,6,12.6(,万元,),，此时，,5,t,3(,万元,),答：,该个体户可对,A,商品投入,3,万元，对,B,商品投入,2,万元，这样可以获得约,12.6,万元,的最大收益,变式,3,：,某种涉临灭绝的动物现有,4,只，已知其种群数量,y,(,只,),与时间,x,(,年,),的,关系为,y,log,2,(32,x,16),，,若动物数量翻了一翻，则需经过,_,年,解析：,由题知,log,2,(32,x,16),8,32,x,16,2,8,，,x,7.5.,所以需要经过,8,年，动物的数量能翻一翻,答案：,8,1,很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不,同的关系式构成分段函数如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数,2,分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个,问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起要注意各段变量的范,围，特别是端点值,【,例,4】,北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为,5,元，同时,每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费,2,元，预计,这种纪念章以每枚,20,元的价格销售时该店一年可销售,2 000,枚，经过市场,调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚,20,元的基础上每减少一元则增加,销售,400,枚，而每增加一元则减少销售,100,枚，现设每枚纪念章的销售价,格为,x,元,(1),写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润,y,(,元,),与每枚纪,念章的销售价格,x,元的函数关系式,(,并写出这个函数的定义域,),；,(2),当每枚纪念章销售价格,x,为多少元时该特许专营店一年内利润,y,(,元,),最大，并求出这个最大值,思路点拨：,(1),利润,(,售价进价管理费,),(,销售的纪念章数,),，注意价格取,值是分段的；,(2),分段函数求最值时，要分段求，然后比较大小,解：,(1),依题意,y,，,y,，此函数的定义域为,(0,40),(2),y,，,当,0,x,20,，则当,x,16,时，,y,max,32 400(,元,),；,当,20,x,0,，,b,0.4,分,广告的面积,S,(,a,20)(2,b,25),2,ab,40,b,25,a,500,18 500,25,a,40,b,8,分,18 500,2,18 500,24 500.10分,当且仅当,25,a,40,b,时等号成立，此时,b,a,，代入,式得,a,120,，从而,b,75.12,分,即当,a,120,，,b,75,时，,S,取得最小值,24 500.,故广告的高为,140 cm,，宽为,175 cm,时，可使广告的面积最小,.14,分,解法二：,设广告的高和宽分别为,x,cm,，,y,cm,，,则每栏的高和宽分别为,x,20,，,，,其中,x,20,，,y,25.,2,分,两栏面积之和为,2(,x,20),18 000,，,由此得,y,25,，,4,分,广告的面积,S,xy,x,25,x,，,整理得,S,25(,x,20),18 500.,8,分,因为,x,200,，,所以,S,2,18 500,24 500.,当且仅当 ,25(,x,20),时等号成立，,10,分,此时有,(,x,20),2,14 400(,x,20),，解得,x,140,，,代入,y,25,，得,y,175,，,12,分,即当,x,140,，,y,175,时，,S,取得最小值,24 500,，,故当广告的高为,140 cm,，宽为,175 cm,时，可使广告的面积最小,.,14,分,1,假如你计划买一部手机，而你的朋友给你推荐的手机消费有三种可供选择，,如下表：,从经济角度考虑，哪一种手机卡更为合适？,类别,月租类,每分钟通话费,联通卡,12.00,元,0.36,元,神州行卡无,0.60,元,都市卡,24.00,0.20,元,分析,：这道题目的背景是消费问题，用表格的形式给出了已知条件，其中存在的数学等量关系为,“,月消费金额月租费每分钟通话费,月通话时间,”,，从而建立了月通话时间与月消费金额之间的一次函数关系式,解,：设月通话总时间为,x,min,，则三种手机卡的月消费金额分别为,联通卡：,y,12,0.36,x,(,x,0),神州行卡：,y,0.6,x,(,x,0),都市卡：,y,24,0.2,x,(,x,0),由,解得,由,解得,由,解得,由图可知：当,0,x,50,时，选用神州行卡更为经济合适；当,x,=50,时，选用神州行卡或联通卡更为经济合适；当,50,x,75,时，选用都市卡更为经济合适,2,为降低人员成本，提高经济效益，有一家公司准备裁减人员已知这家公司,现有职员,2,m,(1602,m,630,，且,m,为偶数,),人，每人每年可创利,n,万元据评,估，在经营条件不变的前提下，每裁员,1,人，则留岗职员每人每年多创利,0.02,n,万元，但公司需付下岗职员每人每年,0.8,n,万元的生活费，并且该公司正,常运转所需人数不得少于现有职员的,.,为获得最大的经济效益，该公司应,裁员多少人？,分析,：解决此题有两个关键的步骤：一是将公司获得的最大经济效益与职员数建立起联系,即建立函数模型；二是在求函数的最值时，要对题中已知条件的两个字母m,和,n,进行必要的讨论，这样才能最后确定裁员多少人,解,：设裁员,x,人，可获得的经济效益为,y,万元，则,y,(2,m,x,)(,n,0.02,nx,),0.8,nx,.,整理得,y,x,2,2(,m,45),x,2,mn,.,则二次函数,y,x,2,2(,m,45),x,2,mn,的对称轴方程为,x,m,45.,0,，,当,x,m,45,时，函数,y,是递减的,该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的 ，,2,m,x,2,m,，,0,x,.,m,为偶数，,为整数又,1602,m,630,，,80,m,315.(1),当,0,m,45,，,解得,45,m,90,，即,80,，即,90,m,315,时，,x,时,y,取到最大值如图所示,综上所述，当,80,m,90,时，应裁员,(,m,45),人，当,90,m,315,时，,应裁员 人，公司才能获得最大的经济效益,