高三数学一轮复习 3.4 数列求和课件 文 大纲人教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,【,考纲下载,】,1.,掌握一些简单的数列求和的方法.,2.,能应用数列求和解决一些数列问题.,第,4,讲 数列求和,数列求和的方法,1,公式法,(1),等差数列的前,n,项和,S,n,.,(2),等比数列的前,n,项和,S,n,2,倒序相加法,：如果一个数列,a,n,，与首末两项等距离的两项之和等于,首末两项之和，可采用把正着写和倒着写的两个式子相加，就得到,一个常数列的和，进而求出数列的前,n,项和,提示：,倒序相加法用的时候有局限性，只有首末两项的和是个常数,时才可以用,3,错位相减法,：,如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列,对应项乘积组成，此时可把式子,S,n,a,1,a,2,a,n,两边同乘以公比,q,，,得到,qS,n,a,1,q,a,2,q,a,n,q,，两式错位相减整理即可求出,S,n,.,提示,：错位相减法的实质是构造了一个新的等比数列，再用公式法求,和，用公式法求和时要弄清是,n,项的和还是,n,1,项的和,4,裂项相消法,：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互,抵消，于是前,n,项和变成首尾若干项之和,5,分组转化法：,把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使,其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列的求和公式求解,提示：,用分组转化法求数列的前,n,项和时，要注意分解后特殊数列适用的,前提条件，例如对公比的讨论、对数列项数奇偶性的讨论等,1,等差数列,a,n,的通项公式为,a,n,2,n,1,，则由,b,n,所确定的数,列,b,n,的前,n,项和为,(,),A,n,(,n,2)B.,n,(,n,4),C.,n,(,n,5)D.,n,(,n,1),解析：,a,n,2,n,1,，,a,1,a,2,a,n,n,2,.,b,n,n,.,b,1,b,2,b,n,.,答案：,D,A.B.C,S,n,D.,解析：,由等比数列,a,n,的首项为,1,，公比为,q,，则,q,1,时，前,n,项之和为,S,n,，,等比数列,的首项为,1,，公比为,，则数列的前,n,项之和为,当,q,1,时，有 的前,n,项之和为,答案：,B,2,等比数列,a,n,的首项为,1,，公比为,q,，前,n,项之和为,S,n,，则,等,于,A,200 B,200 C,400 D,400,解析：,S,100,(1,5),(9,13),(4,99,3),(4,100,3),(,4),50,200.,答案：,B,3,数列,a,n,的通项公式为,a,n,(,1),n,1,(4,n,3),，则,S,100,等于,(,),解析,：,答案,：,4,数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，若,a,n,，则,S,5,等于,_,思维点拨：,分析通项公式,，可转化为两,个等比数列,x,2,n,、与常数列,2,的求和问题,将数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并,【,例,1,】,求和：,S,n,解,：,当,x,1,时,，,S,n,4,n,.,当,x,1,时,，,S,n,用乘公比错位相减法求和时，应注意,1,要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；,2,在写出,“,S,n,”,与,“,qS,n,”,的表达式时应特别注意将两式,“,错项对齐,”,以便下一步准确写出,“,S,n,qS,n,”,的表达式,实数，且,c,0.,(1),求数列,a,n,的通项公式；,(2),设,a,，,c,，,b,n,n,(1,a,n,),，,n,N,*,，求数列,b,n,的前,n,项和,S,n,.,【,例,2,】,设数列,a,n,满足,a,1,a,，,a,n,1,ca,n,1,c,，,n,N,*,，其中,a,，,c,为,解,：,(1),a,n,1,1,c,(,a,n,1),，,当,a,1,时,，,a,n,1,是首项为,a,1,，,公比为,c,的等比数列,a,n,1,(,a,1),c,n,1,，,即,a,n,(,a,1),c,n,1,1.,当,a,1,时,，,a,n,1,仍满足上式,数列,a,n,的通项公式为,a,n,(,a,1),c,n,1,1(,n,N,*,),(2),由,(1),得,(1),设,b,n,.,证明：数列,b,n,是等差数列；,(2),求数列,a,n,的前,n,项和,S,n,.,证明,：,(1),a,n,1,3,a,n,3,n,1,，,，得,b,n,1,b,n,1,，,b,1,1,，,数列,b,n,是首项和公差均为,1,的等差数列,变式,2,：,在数列,a,n,中，,a,1,3,，,a,n,1,3,a,n,3,n,1,(,n,N,*,),解,：,由,(1),易知，数列,是首项和公差均为,1,的等差数列，,所以,n,，,a,n,n,3,n,.,S,n,1,3,1,2,3,2,(,n,1),3,n,1,n,3,n,，,3,S,n,1,3,2,2,3,3,(,n,1),3,n,n,3,n,1,，,两式相减，得,2,S,n,n,3,n,1,(3,1,3,2,3,n,),，,故,S,n,常见的裂项技巧有：,【,例,3,】,等差数列,a,n,的各项均为正数，,a,1,3,，前,n,项和为,S,n,，,b,n,为,等比数列，,b,1,1,，且,b,2,S,2,64,，,b,3,S,3,960.,(1),求,a,n,与,b,n,；,(2),求,的值,解,：,(1),设,a,n,的公差为,d,，,b,n,的公比为,q,，,则,d,为正数,，,a,n,3,(,n,1),d,，,b,n,q,n,1,，,依题意有,解得,或,(,舍去,),，,故,a,n,3,2(,n,1),2,n,1,，,b,n,8,n,12),由,(1),知,S,n,3,5,(2,n,1),n,(,n,2),，,所以,变式,3,：,已知数列,a,n,中，,a,1,1,，当,n,2,时，其前,n,项和,S,n,满足,(1),求,S,n,的表达式；,(2),设,b,n,，求,b,n,的前,n,项和,T,n,.,解：,(1),，,a,n,S,n,S,n,1,，,(,n,2),，,，,即,2,S,n,1,S,n,S,n,1,S,n,，,由题意,S,n,1,S,n,0,，,式两边同除以,S,n,1,S,n,，得,(,n,2),，,数列 是首项为,，公差为,2,的等差数列,1,直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过 程2,重点通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，或拆为基本数列求和，或转化为基本数列求和求和过程中同时要对项数作出准确判断,3,含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论,【,方法规律,】,(12,分,)(,2009,广东汕头潮阳区高三期末,),已知,f,(,x,),，数列,a,n,满足,a,1,，,a,n,1,f,(,a,n,)(,n,N,*,),(1),求证：数列,是等差数列；,(2),记,S,n,(,x,),(,x,0),，求,S,n,(,x,),【,阅卷实录,】,【,教师点评,】,(1),第,(1),问多数考生容易得分,(2),第,(2),问忽视,q,x,1,时的情况讨论,(3),对项相减后,3,nx,n,1,的符号为负号还有其他学生漏掉项或添加项出错,【,规范解答,】,解：,(1),由已知得,2,分,是首项为,3,，,公差,d,3,的等差数列,4,分,(2),由,(1),得,3,3(,n,1),3,n,，,S,n,(,x,),3,x,6,x,2,9,x,3,3,nx,n,6,分,x,1,时，,S,n,(1),3,6,9,3,n,7,分,x,1,时，,S,n,(,x,),3,x,6,x,2,9,x,3,3,nx,n,xS,n,(,x,),3,x,2,6,x,3,3(,n,1),x,n,3,nx,n,1,(1,x,),S,n,3,x,3,x,2,3,x,n,3,nx,n,1,S,n,11,分,综上，,x,1,时，,S,n,(1),n,(,n,1),x,1,时，,S,n,(,x,),12,分,错位相减求和法的适用环境：数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的，求其前,n,项和，基本方法是设这个和式为,S,n,，在这个和式两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，这两个和式错一位相减，就把问题转化为以求一个等比数列的前,n,项和或前,n,1,项和为主的求和问题这里最容易出现问题的就是错位相减后对剩余项的处理,【,状元笔记,】,