高三数学一轮复习 7.4 曲线与方程课件 文 大纲人教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,1.,了解解析几何的基本思想,2,了解坐标法,.,【,考纲下载,】,第,4,讲 曲线与方程,1,曲线的方程和方程的曲线,一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线,C,上的点与一个二元方程,f,(,x,，,y,),0,的实数解建立了如下的关系：,曲线上的,均是这个方程的解；,以这个方程的解为,均是曲线上的点,那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线,(,图形,),提示：,看一个方程是否是曲线的方程，曲线是否是方程的曲线，应严格,对照 概念中的两个条件，缺一不可,点的坐标,坐标的点,2,求曲线方程的一般步骤：,(1),建立适当的,，设,M,(,x,，,y,),为曲线上的任意一点；,(2),写出适合条件,p,的点,M,的集合,P,M,|,p,(,M,),；,(3),用,表示条件,p,(,M,),，列出方程,f,(,x,，,y,),0,；,(4),化方程,f,(,x,，,y,),0,为最简形式；,(5),证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点,提示：,求曲线方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹则不仅要求出方程，而且还需说明所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、位置、大小都需说明清楚,坐标系,坐标,3,曲线的交点,两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解，可见求曲线的交点问题，就是求方程组的实数解即如果曲线,C,1,，,C,2,的方程分别是,f,1,(,x,，,y,),0,，,f,2,(,x,，,y,),0,，则,C,1,，,C,2,有交点,有解,1,已知点,A,(3,，,4),、,B,(,2,，,2),、,C,(2,2),、,D,(5sin,，,5cos,),，其中在曲,线,x,2,y,2,25,上的点有,(,),A,1,个,B,2,个,C,3,个,D,4,个,解析：,把点分别代入方程,x,2,y,2,25,验证，只有,A,、,D,符合,答案：,B,2,下面各组方程中，表示同一曲线的一组方程是,(,),A,y,与,x,y,2,B,y,x,与 ,1,Cy,|,|,x,|,与,x,2,y,2,0 D,y,lg,x,2,与,y,2lg,x,解析：,每组方程都可以化为相同的表达式，但是只有,C,中的,x,，,y,的取值范,围 完全一致，所以选,C.,答案：,C,3,方程,x,2,xy,x,表示的曲线是,(,),A,一个点,B,一条直线,C,两条直线,D,一个点和一条直线,解析：,x,(,x,y,1),0,，,x,0,或,x,y,1,0.,答案：,C,4,动点,P,到两坐标轴的距离之和等于,2,，则点,P,的轨迹所围成的图形面,积是,_,解析：,设,P,(,x,，,y,),，则,|,x,|,|,y,|,2.,它的图形是一个以,2,为边长的正方形，故,S,(2),2,8.,答案：,8,(1),直接法就是根据题中的等量关系建立等式，将其坐标化，整理得所求轨迹方程,(2),在求出轨迹方程之后，要注意检查轨迹的,“,纯粹性,”,和,“,完备性,”,，确保轨迹上的点,“,不多不少,”,【,例,1】,过点,P,(2,4),作两条互相垂直的直线,l,1,、,l,2,，,若,l,1,交,x,轴于,A,点,，,l,2,交,y,轴于,B,点,，,求线段,AB,的中点,M,的轨迹方程,思维点拨：,如图所示，设,M,(,x,，,y,),，,利用 建立等式,求解,解：,设点,M,的坐标为,(,x,，,y,),M,为线段,AB,的中点，,A,的坐标为,(2,x,0),，,B,的坐标为,(0,2,y,),l,1,l,2,，,且,l,1,、,l,2,过点,P(2,4),，,PA,PB,，,k,PA,k,PB,=-1,而,k,PA,=,，,k,PB,=(,x,1),整理得,x,+2,y,-5=0(,x,1),当,x,=1,时,，,A,、,B,的坐标分别为,(2,0),、,(0,4),，,线段,AB,的中点坐标是,(1,2),，,它满足方程,x,+2,y,-5=0.,综上所述，点,M,的轨迹方程是,x,+2,y,-5=0.,变式,1,：,已知两点,M,（,2,0,）、,N,（,2,0,），,点,P,为坐标平面内的动点，满足,求动点,P,(,x,，,y,)的轨迹方程,解：,由题意，,两边平方，化简得,y,2,8,x,.,所以动点,P,的轨迹方程是,y,2,8,x,.,如果动点,P,(,x,，,y,),依赖于另一动点,Q,(,x,1,，,y,1,),，而,Q,(,x,1,，,y,1,),又在某已知曲线上，则可先列出关于,x,，,y,，,x,1,，,y,1,的方程组，利用,x,，,y,表示,x,1,，,y,1,，把,x,1,，,y,1,代入已知曲线方程即得所求,【,例,2,】,如图所示，已知,P(4,0),是圆,x,2,+,y,2,=36,内的一点，,A,、,B,是圆上两动 点，且满足,APB=90,，求矩形,APB,Q,的顶点,Q,的轨迹方程,思维点拨,：,连结,QP,交,AB,于,R,，,则,R,是矩形,APBQ,的中心,因而可选,R,的坐标为中,间变量，先求,R,的轨迹方程，再将,Q,的坐标代入,R,的轨迹方程中即可,解,：,设,AB,的中点为,R,，,坐标为,(,x,1,，,y,1,),，,Q,点坐标为,(,x,，,y,),，,则在,Rt,ABP,中，,|,AR,|=|,PR,|,，,又因为,R,是弦,AB,的中点，依垂径定理有,Rt,OAR,中，,|,AR,|,2,=|,AO,|,2,|,OR,|,2,=36,又,|,AR,|=|,PR,|=,，所以有,即,因为,R,为,PQ,的中点，所以,代入方程,得,整理得,x,2,+,y,2,=56.,这就是,Q,点的轨迹方程,变式,2,：,已知,ABC,的顶点,B,(,3,0),、,C,(1,0),，,顶点,A,在抛物线,y,x,2,上运动,，,求,ABC,的重心,G,的轨迹方程,解：,设,G,(,x,，,y,),，,A,(,x,0,，,y,0,),，,由重心公式，得,又,A,(,x,0,，,y,0,),在抛物线,y,x,2,上,，,y,0,x,.,将,，,代入,，得,3,y,(3,x,2),2,(,y,0),，,即,y,3,x,2,4,x,(,y,0),，,这就是所求的轨迹方程,.,若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程,【,例,3】,如图所示，已知圆,C,：（,x+,1,）,2,y,2,=8,定点,A,（,1,0,），,M,为圆上一动点,，,点,P,在,AM,上,，,点,N,在,CM,上,，,且满足,，,点,N,的轨迹为曲线,E,，,求曲线,E,的方程,解：,NP,为,AM,的垂直平分线,，,|,NA,|,|,NM,|.,又,|,CN,|,|,NM,|,2,，,|,CN,|,|,NA,|,2 2.,动点,N,的轨迹以点,C,(,1,0),，,A,(1,0),为焦点的椭圆,，,且长轴长为,2,a,2,，,焦,距为,2,c,2.,a,，,c,1.,曲线,E,的方程为,y,2,1.,变式,3在,ABC,中,，,A,为动点,，,B,、,C,为定点,，,，,且满,足条件,sin,C,sin,B,sin,A,，,则动点,A,的轨迹方程是,(,),A.B.,C.,的左支,D.,的右支,解析：,sin,C,sin,B,sin,A,，,由正弦定理得到：,|,AB,|,|,AC,|,|,BC,|,a,(,定值,),所以,A,点的轨迹是以,B,，,C,为焦点的双曲线右支，其中实半轴长为 ，焦距,为,|,BC,|,a,.,虚半轴长为 ，由双曲线标准方程得,(,y,0),的右支,答案：,D,【,方法规律,】,1,求曲线方程时有已知曲线类型与未知曲线类型，一般当已知曲线类型时一般用,待定系数法求方程；当未知曲线类型时常用求轨迹方程的方法求曲线方程,2,求曲线轨迹方程时，常常要设曲线上任意一点的坐标为,(,x,，,y,),，然后求,x,与,y,的关系,3,在求轨迹方程五种类型中，单从思维角度应该分为两个方面：一是用定义法，,(,从已知曲线类型、或从距离关系中,),能判断到曲线类型时，再用待定系数法求,曲线方程；二是，当未知曲线类型时用其它四种方法求曲线方程,4,仔细区分五种求轨迹方法，合理确定要选择的求轨迹方法，哪些类型、哪些已,知条件适合哪一种方法，要融汇贯通，不可乱用方法！,已知圆,C,1,：,(,x,3),2,y,2,1,和圆,C,2,：,(,x,3),2,y,2,9,，动圆,M同时与圆,C,1,及圆,C,2,相外切，则动圆圆心,M,的轨迹方程为,_,解析：,如图所示，设动圆,M,与圆,C,1,及圆,C,2,分别外切于,A,和,B,.,根据两圆外切的条,件，得,|,MC,1,|,|,AC,1,|,|,MA,|,，,|,MC,2,|,|,BC,2,|,|,MB,|.,因为,|,MA,|,|,MB,|,，所以,|,MC,1,|,|,AC,1,|,|,MC,2,|,|,BC,2,|,，即,|,MC,2,|,|,MC,1,|,|,BC,2,|,|,AC,1,|,2.,所以点,M,到两定点,C,1,、,C,2,的距离的差是常数,又根据双曲线的定义，得动点,M,的轨迹为双曲线的左支,(,点,M,与,C,2,的距离大，与,C,1,的距离小,),，其中,a,1,，,c,3,，则,b,2,8.,故点,M,的轨迹方程为,x,2,1(,x,0),【,规范解答,】,答案：,x,2,1(,x,0),【,错因分析,】,在解答本题中，容易因错误运用双曲线定义而出错本题条件中,|,MC,2,|,|,MC,1,|,2,，,与双曲线定义相比，左边少了,“,外层绝对值,”,，因此只能是双曲线的一支如果不注意，就会出现错误的结果，即点,M,的轨迹方程为,x,2,1.,【,状元笔记,】,本题是利用双曲线的定义法求动点的轨迹方程，当判断出动点的轨迹是双曲线时，即可求出参数,a,、,b,，直接写出其标准方程但是在利用双曲线的定义解题时，要注意双曲线的定义形式及其限制条件在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，,|,PF,1,|,|,PF,2,|,2,a,；其二，,2,a,2,c,.,如果满足第二个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支,.,