高三数学一轮复习 9.4 空间向量及其运算课件 文 大纲人教版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,【,考纲下载,】,1.,理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘,2,了解空间向量的基本定理,3,掌握空间向量的数量积的定义及其性质,.,第,4,讲 空间向量及其运算,1,共线向量与共面向量,(1),如果表示向量的有向线段所在的直线,，则这些向量叫共线向量或平行向量,(2),平行于同一平面的向量叫做,(3),共线向量定理：对空间任意两个向量,a,，,b,(,b,0),，,a,b,的充要条件是,.,(4),共面向量定理：如果两个向量,a,，,b,不共线，则向量,p,与向量,a,，,b,共面的充要条件是,.,互相平行或重合,共面向量,存在实数,，使,a,b,存在实数对,x,、,y,，使,p,xa,yb,【,思考,】,向量,平面,与直线,AB,平面,是同一概念吗？,答案：,不是向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面,或在平面,内两种情况因此，在用共面向量定理证明线,面平行时，必须说明向量所在的直线不在平面内,2,空间向量基本定理,如果三个向量,a,，,b,，,c,，那么对空间任一向量,p,，存在一个惟,一 的有序实数组,x,，,y,，,z,，使,p,xa,yb,zc,.,推论：设,O,，,A,，,B,，,C,是不共面的四点，则对空间任一点,P,，都存在惟,一的三个有序实数,x,，,y,，,z,使 当,x,，,y,，,z,满足,时，,P,，,A,，,B,，,C,四点共面,不共面,x,y,z,1,提示,：,如果三个向量,a,、,b,、,c,不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是,p,|,p,xa,yb,zc,，,x,，,y,，,z,R,这个集合可看作是由向量,a,，,b,，,c,生成的，所以我们把,a,，,b,，,c,叫做空间的一个基底，,a,，,b,，,c,都叫做基向量由上述定理可知，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底,3,两个向量的数量,积,提示,：,(1),在实数中，若,a,0,，,且,a,b,0,，,则,b,0,；,但是在向量中，若,a,0,，,且,ab,0,，,不能推出,b,0.,因为,cos,有可能为,0.,(2),已知实数,a,、,b,、,c,(,b,0),，则,ab,bc,a,c,.,在向量中,a,b,b,c,并不一定有,a,c,.,(3),在实数中，有,(,a,b,),c,a,(,b,c,),，但是在向量中不一定有,(,a,b,),c,a,(,b,c,),(4),向量的夹角未必是异面直线所成的角，有时要进行转化,A,分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，,则这两个向量不是共面向量,B,若,|,a,|,|,b,|,，则,a,，,b,的长度相等而方向相同或相反,1,下列命题是真命题的是,(,),解析,：,A,项错因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任两向量均共面；,B,项错因为,|,a,|,|,b,|,仅表示,a,与,b,的模相等，与方向无关,C,项错空间任两向量不研究大小关系，因此也就没有 这种写法,D,项对,0,，,答案：,D,2,在平行六面体,ABCD,A,B,C,D,中，向量 是,(,)A,有相同起点的向量,B,等长的向量,C,共面向量,D,不共面向量,答案,：,C,3,已知空间四边形,ABCD,中，,M,、,G,分别为,BC,、,CD,的中点，则,等于,(,),解析,：依题意有,答案,：,A,4,设有四边形,ABCD,，,O,为空间任意一点，且,则四边形,ABCD,是,_,解析,：由,四边形,ABCD,是平行四边形,答案,：,平行四边形,空间向量的运算可以与平面向量的运算进行类比，利用图形中的平行关系可以把空间的运算进行转化，从而使得运算更加简便,如图所示,，在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,，,O,为,AC,的中点,(1),化简,：,(2),设,E,是棱,DD,1,上的点，且,试求,x,，,y,，,z,的值,【,例,1,】,思维点拨,：结合图形特点，利用向量的三角形法则或平行四边形法则、共线向量定理等基本关系表示出有关的向量，再充分运用空间向量加法及数乘向量的运算律求解,解,：,(1),要用共线向量定理证明向量,a,，,b,所在的直线平行，除证明,a,b,外，,还需证明某条直线上必有一点在另一条直线外,(2),利用空间向量证明线面平行，只要在平面,内找到一条直线的方向向,量为,b,，已知直线的方向向量为,a,，证明,a,b,即可,【,例,2】,如图所示，若,ABC,A,1,B,1,C,1,是三棱柱，,D,是,AC,的中点,证明：,AB,1,平面,DBC,1,.,思维点拨,：连结,B,1,C,交,BC,1,于点,O,，连结,OD,，,只需证明,证明,：,如图所示，连结,BC,1,与,B,1,C,交于点,O,，,连结,OD,，,则,OD,是,AB,1,C,的中位线，,所以,(1),利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线上各取一个向量,a,，,b只,要证明,a,b,，即,a,b,0,即可,(2),证明线面垂直：直线,l,，平面,，要证,l,，只要在,l,上取一个非零向量,p,，在,内取两个不共线的向量,a,、,b,，问题转化为证明,p,a,且,p,b,，也就是,a,p,0,且,b,p,0.,(3),证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明线线平行，线线垂直,【,例,3,】,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,O,为,AC,与,BD,的交点，,G,为,CC,1,的中点,求证：,A,1,O,平面,GBD,.,证明：,则,a,b,0,，,b,c,0,，,a,c,0.,c,b,c,a,(,b,2,a,2,),(|,b2,|,a,|,2,),0.,A,1,O,BD,，,A,1,O,平面,GBD,.,变式,3,：,已知空间四边形,OABC,中，,M,为,BC,的中点，,N,为,AC,中点，,P,为,OA,中,点，,Q,为,OB,中点，若,AB,OC,，求证：,PM,QN,.,证明：如图所示，,设,(1),利用向量法解决问题时，首先要取一组基底，该基底的模与夹角最好,已知或可求,(2),求两点间的距离或某线段的长度的方法是：把此线段用向量表示，然,后利用,|,a,|,转化为向量运算,【,例,4,】,如图所示，已知平行六面体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中底面是边长为,a,的,正方形，侧棱,AA,1,的长为,b,，且,A,1,AB,A,1,AD,120.,求：,(1),AC,1,的长；,(2),直线,BD,1,与,AC,所成角的余弦值,思维点拨,：取,为空间内的一个基底，,利用 求,AC,1,，利用,求解,变式,4,：,已知空间四边形,ABCD,的每条边和对角线的长都等于,a,，点,M,，,N,分别是边,AB,，,CD,的中点,(1),求,MN,的长；,(2),求异面直线,AN,与,CM,所成角的余弦值,解,：,(1),如图所示，设,由题意可知,|,p,|=|,q,|=|,r,|=,a,，且,p,，,q,，,r,三向量两两夹角均为,60,.,(,q,r,p,),，,(,q,r,p,),2,q,2,r,2,p,2,2(,q,r,p,q,r,p,),即,MN,的长为,(2),设向量,AN,与,MC,的夹角为,.,cos,向量,AN,与,MC,的夹角的余弦值为,从而异面直线,AN,与,CM,所成角的余弦值为,【,方法规律,】,用空间向量解决立体几何问题时，一般可按如下程序进行思考：,(1),如何把已知的几何条件转化为用向量表示，要解决的问题需用到哪,些向量，可用什么向量知识解决？,(2),考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表示,(3),如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论,.,(12,分,),如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱,ABCD,A,1B,1,C,1,D,1,中，,P,是,CA,1,的中点，,M,是,CD,1,的中点，,N,是,C,1,D,1,的中点，点,Q,在,CA,1,上，且,CQ,QA,1,4,1,，设 用基底,a,，,b,，,c,表示以下向量：,【,规范解答,】,解,：连接,AC,，,AD,1,.,3,分,(2),6,分,(3),9,分,(4),12,分,【,易入误区,】,(1),对空间向量加减法的运算错误，特别是减法运算，如把,(2),向量的数乘表示不准，如把,【,状元笔记,】,a,，,b,，,c,是空间不共面的三个向量，对空间任一向量,p,，存在一个唯一的有序实数组,x,，,y,，,z,，使,p,xa,yb,zc,.,根据空间向量基本定理，在确定了空间的一组基底后，任何一个向量都可以用基底表示，这样就为用向量法解决立体几何问题提供了依据在根据空间向量基本定理表示空间的其他向量时要注意正确应用向量加减法和向量的数乘意义，防止出现错误,.,