高三数学一轮复习 9.51 球与多面体课件 理 大纲人教版 课件.ppt

了解多面体、凸多面体的概念,/,了解正多面体的概念,/,了解球的概念,/,掌握球的性质,/,掌握球的表面积和体积公式,第,51,课时 球与多面体,1,多面体的概念：,由,若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫,多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的,顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的,2,凸多面体：,把,多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面,的,，这样的多面体叫凸多面体,3,凸多面体的分类：,多,面体至少有,面，按照它的面数分别叫四面体、五,面体、六面体等,对角线,同一侧,四个,4,球的概念：,与,定点距离,定长的点的集合，叫做球体，简称,球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做,球面一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球,O,.,等于或小于,5,球的截面,用一平面,去截一个球,O,，设,OO,是平面,的垂线段，,O,为垂足，且,OO,d,，则它们的交线上的任一点,P,，是一个定值，这说明交线是到定点,O,距离等于定长 的点的集合所以，一个平面截一个球面，所得的截面,是以球心在截面内的射影为圆心，以,r,为半径的一个圆，截面是一个,球面被经过球心的平面截得的圆叫做,，被不经过球心的平面截得的圆叫做,圆面,小圆,大圆,6,两点的球面距离：,球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在,这两点间的一段,的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离,劣弧,1,如右图，已知,A,、,B,、,C,是表面积为,48,的球面,上的三点，,AB,2,，,BC,4,，,ABC,60,，,O,为球心，则二面角,O,AB,C,的大小为,(,),A.,B.,C,arccos,D,arccos,解析：,由,4,R,2,48,，,R,2,12,；而,AC,2,4,16,2,2,4,12,，,CAB,90.,故,O,在,ABC,上的射影为,BC,的中点,O,1,，过,O,作,OE,AB,于,E,，,则,E,为,AB,的中点，,OEO,1,为二面角,O,AB,C,的平面角，,而,O,1,E,，,OE,，,cos,OEO,1,，,故选,D.,答案：,D,2,如右图，正四棱锥,P,ABCD,底面的四顶点,A,、,B,、,C,、,D,在球,O,的同一个大,圆上，点,P,在球面上，如果,V,P,ABCD,，则球,O,的表面积是,(,),A,4 B,8,C,12 D,16,解析：,由题知正四棱锥的高为球的半径,R,，底面边长为,R,，,解之，得,R,2.,S,球,4,R,2,16,，选,D.,答案：,D,3,(2009,四川,),如图，半径为,3,的球面上有,A,、,B,、,C,三点，,ABC,90,，,BA,BC,，球心,O,到平面,ABC,的距离是 ，则,B,、,C,两点的球面距离是,(,),A.,B,C.,D,2,解析：,如图，取,AC,中点,O,1,，连接,OO,1,、,OA,、,OB,、,OC,、,O,1,B,，在,Rt,OO,1,C,中，,O,1,C,，又,OO,1,O,1,B,O,1,C,，则,BOC,为正三角形，,BOC,，则,B,、,C,两点的球面距离为,.,答案：,B,4,(2009,湖南,),在半径为,13,的球面上有,A,、,B,、,C,三点，,AB,6,，,BC,8,，,CA,10,，则,(1),球心到平面,ABC,的距离为,_,(2),过,A,、,B,两点的大圆面与平面,ABC,所成二面角,(,锐角,),的正切值为,_,过,O,作,O,D,AB,，连接,OD,，则,ODO,为过,A,、,B,两点的大圆面与平面,ABC,所成二面角的平面角，,在,Rt,OO,D,中，,OO,12,，,DO,BC,4,，,tan,O,DO,3.,答案：,(1)12,(2)3,解析：,如图，连接,OA,、,OB,、,OC,，过,O,作,OO,平面,ABC,，由已知条件,CA,2,AB,2,BC,2,，则,ABC,为直角三角形，又,OA,OB,OC,13,，则,O,在平面,ABC,内的射影是,Rt,ABC,的外心，即,O,是,AC,的中点，在,Rt,OO,C,中，,OO,12.,1.,平面截球所得截面是圆面，要充分利用圆的性质,球的截面圆的半径为,r,，球心到截面的距离为,d,，球的半径为,R,，三者之间的关,系是,r,2,R,2,d,2,.,2,有关球的问题一般要转化为三棱锥问题解决,【,例,1,】,如图,，已知,A,，,B,，,C,三点在球心为,O,，半 径为,R,的球面上，,AC,BC,，且,AB,R,，那 么,A,，,B,两点的球面距离为,_,，球心到平面,ABC,的距离为,_,解析：,由,AC,BC,可知，,AB,为截面圆,ABC,的直径，又,AB,R,可知球心角,AOB,，故,A,、,B,两点的球面距离为,l,R,.,由,OA,OB,OC,R,知,O,在,平面,ABC,上的射影,D,是,ABC,的外心,，,又,AC,BC,，,则,D,是,AB,的中点,，,可在正,OAB,中求出,OD,R,.,答案：,变式,1.,过,半径为,2,的球,O,表面上一点,A,作球,O,的截面，若,OA,与该截面所成的角是,60,，则该截面的面积是,(,),A,B,2 C,3 D,2,解析：,如图，设截面圆心为,O,，连结,OO,，,O,A,，,则,OAO,为,OA,与截面所成的角，即,OAO,60,，,r,R,cos,60,R,1,，,S,r,2,，故选,A.,答案：,A,计算,A,、,B,两点间的球面距离关键是搞清纬度、经度、纬度差、经度差等概念，具体步骤是：,(1),计算线段,AB,的长度；,(2),计算,A,、,B,到球心,O,的张角；,(3),计算大圆在,AB,两点间所夹的劣弧长,【,例,2,】,设,地球的半径为,R,，在北纬,45,圈上有两个点,A,、,B,，,A,在西经,40,，,B,在东经,50,，求,A,、,B,两点间纬线圈的弧长及,A,、,B,两点间的球面距离,解答,：如图，设,45,纬线圈中心为,O,1,，地球中心为,O,，则,AO,1,B,40,50,90,，又,OO,1,圆,O,1,所在平面，,OO,1,O,1,A,，,OO,1,O,1,B,.,又,A,、,B,在北纬,45,圈上，,OBO,1,OAO,1,45,，,O,1,A,O,1,B,O,1,O,OA,cos,45,R,，,在直角,AO,1,B,中，,AO,1,BO,1AB,AO,1,R,，,AOB,为等边三角形，,AOB,，,在,45,纬线圈上，,.,在球面上，,A,、,B,两点的球面距离为 ,|,|,AO,R,，,A,、,B,两点间纬线圈的弧长为,R,，,A,、,B,两点间的球面距离为,R,.,变式,2.,如,图，设球,O,的半径是,1,，,A,、,B,、,C,是球面上三点，已知,A,到,B,、,C,两点,的球面距离都是 ，且二面角,B,OA,C,的大小为 ，则从,A,点沿球面经,B,、,C,两点再回到,A,点的最短距离是,(,),解析,：依球面距离的定义知,AO,平面,BOC,，且,BOC,，于是所行路线的最短长度为三点间球面距离之和 ，故选,C答案,：,C,球与多面体之间的,“,接,”,与,“,切,”,问题其基本解法是通过接、切的公共点与球心作出截面，找出球的半径与多面体的元素的关系常考题型是球与长方体、正方体、正四面体等的组合体,【,例,3,】,将,半径都为,1,的,4,个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四 面体的高的最小值为,(,),解析：,一个球与正四面体内切，则球心与正四面体顶点的距离为球,的半径的三倍，因此所求正四面体高的最小值为：棱长为,2,的正四面,体的高与球的半径四倍的和，即,.,答案：,C,解析：,本题考查与球有关的组合体知识；如图设球的半径为,R,，在直角三角形,VAE,中，有,在直角三角形,OAE中有：,两式联立解得：,R,3,，故球的表面积为：,4,R,2,43,2,36.,答案：,B,变式,3.,正,四棱锥,V,ABCD,的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为,4,，侧 棱长为,2,，则此球的表面积为,(,),A,18 B,36 C,72 D,9,1,解决球的有关问题要根据球的性质将问题转化为多面体,(,通常是棱锥,),问题解决，如例,2,及变式,2,要了解地球经、纬度的有关知识，能够求出较为简单特殊的球面上两点的球面距离，而求球面距离的关键是首先求出两点间距离,.,【,方法规律,】,(2009,全国,),如图，直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的各顶点都在同一球面上，若,AB,AC,AA,1,2,，,BAC,120,，,则此球的表面积为,_,解析：,在,ABC,中，,BC,2,AB,2,AC,2,2,AB,AC,cos,BAC,12,，则,BC,，又 ,4,，即,ABC,外接圆的直径,2,r,4,，则,r,2,，设球的半径为,R,，球心,O,到平面,ABC,的距离,d,AA,1,1,，则,R,2,r,2,d,2,5.,S,球,4,R,2,20,.,答案：,20,【,答题模板,】,高考中对球的考查可能涉及到球的内接多面体问题，对于球和多面体的位置关系只需想象，不需证明，而考卷实录中提供的解答误以为球心,O,在平面,BCC,1,B,1,内，球心事实上并不是矩形,BCC,1,B,1,对角线的交点,.,【,分析点评,】,