高三数学一轮复习 第10单元 10.3二项式定理课件 文 新人教A版 课件.ppt

又能,(,能用计数原理证明二项式定理,/,会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题,),10.3,二项式定理,1,二项式定理,(,a,b,),n,(,n,N,*,),这,个公式所,表示的定 理叫二项式定理，右边的多项式叫,(,a,b,),n,的,2,二项式系数,：,二,项展开式中有,n,1,项，各项的系数,(,r,0,1,，,n,),叫,系数,3,通项,：,a,n,r,b,r,叫,二项展开式的,，用,T,r,1,表示，即通项,T,r,1,a,n,r,b,r,.,二项展开式,二项式,通项,4,二项式系数的性质,(1),对,称性与首末两端,“,等距离,”,的两个二项式系数,(2),增减性与最大值,相对于,的增减情况由 决定，,相等,当,k,时，二项式系数逐渐,.,由对称性知它的后半,部分是逐渐减小的，且在中间取得,；,当,n,是偶数时，中间一项,取得最大值；当,n,是奇数时，,中间两项,取得最大值,(3),各二项式系数和：,增大,最大值,1,若,(,x,1),4,a,0,a,1,x,a,2,x,2,a,3,x,3,a,4,x,4,，则,a,0,a,2,a,4,的值为,(,),A,9 B,8 C,7 D,6,解析：,(,x,1),4,1,x,4,a,0,a,1,x,a,2,x,2,a,3,x,3,a,4,x,4,a,0,1,，,a,2,6,，,a,4,1,，,a,0,a,2,a,4,8.,答案：,B,2,若,(),n,的展开式中各项系数之和为,64,，则展开式的常数项为,(,),A,540 B,162 C,162 D,540,解析：,由,已知条件,(3,1),n,64,，则,n,6,，,T,r,1,由,3,r,0,得,r,3,，则展开式中的常数项为,540.,答案：,A,3,在,(,x,),2 006,的二项展开式中，含,x,的奇次幂的项之和为,S,，,当,x,时，,S,等于,(,),A,2,3 008,B,2,3 008,C,2,3 009,D,2,3 009,解析：,(,x,),2 006,x,2 006,x,2 005,(,),x,2 004,(,),2,(,),2 006,，,由已知条件,S,2,2 005,2,1 003,2,3 008,.,答案：,B,4,(2010,上海春,),在,的二项展开式中，常数项是,_,解析,：,T,r,1,，由题意知,12,3,r,0,，,r,4,，故常数项为,T,5,60.,答案,：,60,对于二项展开式,(,a,b,),n,中，,叫做通项，要注意此项是展开式中的第,r,1,项，同时要注意此项的二项式系数与系数的区别，利用通项实际上是从局部解决与二项式定理的相关问题,【,例,1,】,若,(,x,1),n,x,n,ax,3,bx,2,1(,n,N,),且,a,b,3,1,，,那么,n,_.,解析：,a,，,b,又,a,b3,1,，,所以 ，,3,，解得,n,11.,答案：,11,变式,1.,在,二项式,(1,3,x,),n,的展开式中，若所有项的系数之和等于,64,，,那么,n,_,，这个展开式中含,x,2,项的系数是,_,解析：,本题考查二项式定理知识令,x,1,得二项展开式各项系数和，,即,(1,3),n,64,n,6,，因为,T,r,1,C,r,6(,3,x,),r,，,令,r,2,得其系数为,135.,答案：,6,135,利用二项展开式可以解决如整除、近似计算、不等式证明、含有组合数的恒等式证明，以及二项式系数性质的证明等问题,【,例,2,】,若,多项式,x,2,x,10,a,0,a,1,(,x,1),a,9,(,x,1),9,a,10,(,x,1),10,，,则,a,9,等于,(,),A.9 B,10 C,9 D,10,解析：,x,2,x,10,(,x,1),1,2,(,x,1),1,10,1,2(,x,1),(,x,1),2,1,(,x,1),10,.,a,9,10.,答案：,D,变式,2.,若,(2,x,),4,a,0,a,1,x,a,2,x,2,a,3,x,3,a,4,x,4,，,则,(,a,0,a,2,a,4,),2,(,a,1,a,3,),2,的值是,(,),A,1 B,1 C,0 D,2,解析：,令,x,1,得,a,0,a,1,a,2,a,3,a,4,(2,),4,，令,x1,得,a,0,a,1,a,2,a,3,a,4,(,2),4,，,则,(,a,0,a,2,a,4,),2,(,a,1,a,3,),2,(,a,0,a,1,a,2,a,3,a,4,)(,a,0,a,1,a,2,a,3,a,4,),(2,),4,(,2),4,1.,答案：,A,二项式定理内容是排列组合知识的延续，可通过项数、次数、系数确定展开式，而杨辉三角充分展示了二项式系数的性质和规律，而对其性质及结论的证明和推导可利用排列组合的知识及数学归纳法等进行论证,【,例,3,】,在,杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和,(1),试用组合数表示这个一般规律；,(2),在数表中试求第,n,行,(,含第,n,行,),之前所有数之和；,(3),试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是,3,4,5,，并证明你的结论,第,0,行,1,第,1,行,1,1,第,2,行,1,2,1,第,3,行,1,3,3,1,第,4,行,1,4,6,4,1,第,5,行,1,5,10,10,5,1,第,6,行,1,6,15,20,15,6,1,解答：,(1),(2),，,则,1,2,2,n,2,n,1,1.,(3),假设在第,n,行中有三个连续的数它们的比为,3,4,5,，,即,由 ，得,7,r,3,n,3,，,由 ，得,9,r,4,n,5,，,解,联立方程组得,因此可知：第,62,行的第,27,28,29,个数它们的比是,3,4,5.,变式,3.,已,知,(,),n,(,n,N,*,),的展开式中第五项的系数与第三项的系数,的比是,10,1,，,(1),证明：展开式中没有常数项；,(2),求展开式中含,的项；,(3),求展开式中所有的有理项；,(4),求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项,解答：,由,题意第五项系数为,，第三项的系数为,，,则 ，解得,n,8(,n,3,舍去,),通项公式,T,r,1,(1),证明：若,T,r,1,为常数项，当且仅当 ,0,，即,5,r,8,，且,r,Z,，,这是不可能的，所以展开式中没有常数项,(2),展,开式中含,的项需 ，,则,r,1,，故展开式中含,的项为,T,2,16,(3),由,T,r,1,，若,T,r,1,为有理项，当且仅当 为整数，,而,0,r,8,，故,r,0,2,4,6,8,，即展开式的有理项有,5,项，它们是：,T,1,x,4,，,T,3,112,x,1,，,T,5,1 120,x,6,，,T,7,1 792,x,11,，,T,9,256,x,16,.,(4),设,展开式中的第,r,项、第,r,1,项、第,r,2,项的系数绝对值分别为,，若第,r,1,项的系数绝对值最大，,则 解得,5,r,6,，,第,6,项和第,7,项的系数的绝对值相等且最大，而第,6,项的系数为负，,第,7,项系数为正,系数最大的项为,T,7,.,由,n,8,知第,5,项二项式系数最大，此时,T,5,.,【,方法规律,】,1,利用二项式定理可解决含组合数的等式和不等式的证明，还可解决整除及近似计算等问题,2,二项式定理主要是展开式和通项的应用，可利用展开式证明等式和不等式等，可利用通项公式求特定的项,3,解决二项式系数和系数等问题要注意使用排列、组合和数列等相关方法,4,二项式定理的应用是高考的必考内容，一般只在客观题中考查一些简单问题，建议复习时一定立足于基本,5,杨辉三角不仅可反映二项式系数的所有性质，还可反映出非常多的数字规律，为发现问题和解决问题提供了优良的操作平台，读者可尽情地发现、挖掘和探究将杨辉三角中的每一个数,，都换成分数 就得到一个如下,图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出,，其中,x,_.,令,a,n,，则,a,n,.,【,答题模板,】,解析：,本,题考查考生的类比归纳及推理能力，第一问对比杨辉三角的性质，通过,观察、类比、归纳可知莱布尼茨三角形中每一行中的任一数都等于其,“,脚下,”,两,数的和，故此时,x,r,1,，第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数第三项的和，即：,a,n,，根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项 ，则由每一行中的任一数都等于其,“,脚下,”,两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为 ，,故,a,n,。,答案：,r,1,【,分析点评,】,点击此处进入 作业手册,1.,高考主要考查二项展开式和通项的应用，具体会涉及到求特定的项或系数，以及二项式系数等问题，是高考的必考点之一，但题目较为容易，多以选择题和填空题的形式出现,2,本题立意新颖，类比杨辉三角解决莱布尼茨三角形中的相关问题，考查观察与思维的敏捷性，而数列求和也体现了较高的运算技巧,.,