高三数学一轮复习 第3知识块第1讲角的概念的推广和弧度制课件 北师大版 课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,【,考纲下载,】,1.,了解任意角的概念、弧度的意义,2,能正确地进行弧度与角度的换算,3,理解任意角的正弦、余弦、正切的定义,.,第,1,讲,角,的概念的推广和弧度制及任,意角的三角函数,第三知识块,角的概念的推广和弧度制,及任意角的三角函数,1,角的概念,(1),定义：角可以看成平面内一条射线绕着,从一个位置旋转到另一个,位置所成 的图形,(2),分类：按旋转方向分：,角、,角、,角,正,负,零,端点,2,终边相同的角的集合,所有与角,终边相同的角，连同角,在内，可构成一个集,合,.,或,，前者,用角度制表示，后者,用弧度制表示,提示：,相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角,有无数个，它们之间相差,360,的整数倍,r,|,r,k,360,，,k,Z,|,2,k,，,k,Z,3,弧度制,(1),角度与弧度的换算关系,360,rad,；,1,rad,；,1,rad,.,(2),设扇形的弧长为,l,，圆心角大小为,(rad,),，半径为,r,，则,l,扇形的面积为,S,.,提示：,在表示角的同一个表达式中，角度制和弧度制两种制度不能混用，如与,30,角终边相同的角的集合不能表示为,|,k,360,，,k,Z,或,|,2,k,30,，,k,Z,|,|,r,2,4,任意角的三角函数的定义,设,是一个任意角，,的终边上任意一点,P,(,除端点外,),的坐标是,(,x,，,y,),，它与,原点的距离是,|,OP,|,r,(,r,0),则,sin,；,cos,；,tan,.,5,三角函数在各象限的符号规律,sin,cos,tan,函数,符号,象限,三角函数线,设,角,的终边与以原点为圆心的单位圆交于点,P,如下图所示，则图中的有向线段,MP,，,OM,，,AT,的数量分别等于角,的正弦、余弦、正切的值，这些有向线段叫,做角,的,线,、,线,、,线,正弦,余弦,正切,提示：,三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换当角,的终边与,x,轴重合,时，正弦线、正切线分别变成一个点，角,的正弦值和正切值都为,0,；当角,的终,边与,y,轴重合时，余弦线变成一个点，余弦值为,0,，正切值不存在,6.,1,已知,cos,tan,0,，那么角,是,(,),A,第一或第二象限角,B,第二或第三象限角,C,第三或第四象限角,D,第一或第四象限角,解析：,cos,tan,0,，,当,cos,0,时，,为第三象限的,角；当,cos,0,，,tan,cos,x,成立的,x,取值范围是,(,),A.,B.,C.D.,解析：,如右图所示，用单位圆内正弦线和余弦线来解，,要使,sin,x,cos,x,，,只 要,x,取阴影部分的角即可,答案：,C,弧长为,3,，圆心角为,135,的扇形半径为,_,，面积为,_,解析：,l,|,|,r,，,r,4,，,S,lr,3,4,6.,答案：,4,6,4,利用终边相同角的表示，可以由角,所在的象限，判断 ，等所在的象限，其,方法有：,1,范围限定法：将,的范围用式子表示出来，然后求出 ，等角的范围，根,据此范围进行判断此时需要进行分类讨论,2,图示法：把直角坐标系中的各个象限依次进行二等分、三等分，从,x,轴右上,方开始按逆时针将各区域依次标上,1,2,3,；,1,2,3,；,；,是第几象限角就找数,字几，其对应的位置就是 ，等所在的象限,若,是第二象限的角，试分别确定,2,，的终边所在位置,思维点拨：,判断角,在哪个象限，只需把改写成,0,k,360(,k,Z),，其中,0,0,360.,解：,是第二象限的角，,k,360,90,k,360,180(,k,Z),(1),2,k,360,1802,2,k,360,360(,k,Z),，,2,是第三或第四象限的角，或角的终边在,y,轴的非正半轴上,【,例,1,】,(2),k,180,45 ,k,180,90(,k,Z),，,当,k,2,n,(,n,Z),时，,n,360,45 ,n,360,90,；,当,k,2,n,1(,n,Z),时，,n,360,225 ,n,360,270.,是第一或第三象限的角,本例条件不变，试确定,的终边所在象限,解：,k,120,30 ,k,120,60(,k,Z),，,当,k,3,n,(,n,Z),时,，,n,360,30 ,n,360,60,；,当,k,3,n,1(,n,Z),时,，,n,360,150 ,n,360,180,；,当,k,3,n,2(,n,Z),时,，,n,360,270 ,n,360,300.,是第一或第二或第四象限的角,.,拓展,1,：,对于扇形应该由两个条件确定，可以将扇形所在圆的半径,r,，扇形圆心角的弧度数,和弧长,l,中的两个做为基本量进行计算和证明弧度制下的弧长公式形式较为简单,l,r,(,其中,为扇形圆心角的弧度数,),【,例,2,】,一扇形周长为,20 cm,，问扇形的半径和圆心角各取什么值时才能使扇,形面积最大？,思维点拨：,建立圆心角、半径之间的等量关系，把面积表示成变量的函数,解：,设扇形圆心角为,，,半径为,r,，,则,2,r,r,20,，,S,扇形,r,2,(10,r,),r,10,r,r,2,，,当,r,5,时,，,S,扇形,的最大值为,25cm,2,，,此时,2,rad,.,若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值,？,解：,设扇形的圆心角为,，,半径为,R,，,弧长为,l,，,根据已知条件,lR,S,扇,，,则扇形的周长为,：,l,2,R,R,4,当且仅当,R,时等号成立,，,此时,l,2,2,，,因此当扇形的圆心角为,2,弧度时，扇形的周长取到最小值,.,变式,2,：,由终边上一点,P,的坐标，可计算,P,到原点的距离，再由三角函数的定义求 值，值得注意的是，当角的终边上点的坐标是以参数的形式给出时，常常要对 参数进行讨论,【,例,3】,已知角,终边上一点,P,，,P,到,x,轴的距离与到,y,轴的距离之比为,3,4,，且,sin,0,，求,cos,2tan,的值,思维点拨：,先由已知求出角,终边上点,P,的坐标，再根据三角函数的坐,标法定义即可求出,的所有三角函数值,解：,设,P,(,x,，,y,),，则根据题意，可得 ，,sin,0),，,则,r,5,k,，,从而,cos,，,tan,若,P,点位于第四象限，,可设,P,(4,k,，,3,k,)(,k,0),，则,r,5,k,，,从而,cos,，,tan,cos,2tan,，,由于 故,的终边不可能在,y,轴的非正半轴上,综上所述，若,P,点位于第三象限，则,cos,2tan,若,P,点位于第四象限，则,cos,2tan,已知角,的终边上一点,P,(,，,m,),，,且,sin,，,求,cos,，,tan,的值,解：,由题设知,x,，,y,m,，,所以,r,2,|,OP,|,2,(,),2,m,2,，,得,r,从而,sin,解得,m,0,或,m,当,m,0,时,，,r,，,x,，,cos,，,tan,当,m,，,r,2,，,x,，,cos,，,tan,变式3,：,1,弧度制与角度制的转换关系要抓住,弧度等于,180,，弧度制沟通了角与实数之间的一一对应关系，扇形的弧长公式,l,|,|,r,和面积公式,S,lr,，是解决有关圆问题的有效工具,2,要确定角,所在的象限，只要把,表示为,2,k,0,(,k,Z,0,0,0,时，,r,5,a,，,sin,cos,tan,；,8,分,(2),当,a,0,时，,r,5,a,，,sin,cos,tan,.12,分,【,规范解答,】,如果是在单位圆中定义任意角的三角函数，设角,的终边与单位圆的交点坐标为,(,x,，,y,),，则,sin,y,，,cos,x,，,tan,，但如果不是在单位圆中，设角,的终边经过点,P,(,x,，,y,),，,|,OP,|,r,，则,sin,，,cos,，,tan,.,在这个定义中最容易弄错的就是正弦和余弦的定义，在解决与三角函数定义有关的试题时，一定要注意其准确性，不要把,x,，,y,的位置颠倒,.,点击此处进入 作业手册,【,状元笔记,】,