高三数学一轮复习 第5章5.3等比数列课件 文 北师大版 课件.ppt

山东水浒书业有限公司,优化方案系列丛书,第,5,章 数列,双基研习,面对高考,考点探究,挑战高考,考向瞭望,把脉高考,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,5.3,等比数列,5.3,等比数列,考点探究,挑战高考,考向瞭望,把脉高考,双基研习,面对高考,双基研习,面对高考,基础梳理,1,等比数列的相关概念及公式,相关名词,等比数列,a,n,的相关概念及公式,定义,如果一个数列从第,2,项起，每一项与它的前一项的比都等于,_,，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比,同一个常数,相关名词,等比数列,a,n,的相关概念及公式,通项公式,a,n,_,等比中项,如果在,a,与,b,中间插入一个数,G,，使得,a,，,G,，,b,成,_,，那么称,G,为,a,、,b,的等比中项，且有,G,_.,前,n,项和公式,S,n,_,a,1,q,n,1,等比数列,思考感悟,1,b,2,ac,是,a,，,b,，,c,成等比数列的什么条件？,提示：,b,2,ac,是,a,，,b,，,c,成等比数列的必要不充分条件，因为当,b,0,，,a,，,c,至少有一个为零时，,b,2,ac,成立，但,a,，,b,，,c,不成等比，反之，若,a,，,b,，,c,成等比，则必有,b,2,a,c.,2,等比数列的性质,(1),等比数列,a,n,满足,_,时，,a,n,是,递增数列；满足,_,时，,a,n,是递减数列,(2),有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积,_,特别地，若项数为奇数时，还等于,_,的平方,(3),对任意正整数,m,、,n,、,p,、,q,，若,m,n,p,q,，则,_.,特别地，若,m,n,2,p,，则,_.,相等,中间项,a,m,a,n,a,p,a,q,a,a,m,a,n,思考感悟,2,数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，若,S,n,aq,n,b,(,a,，,b,R,),，,a,n,是等比数列，则,a,，,b,满足的条件是什么？,课前热身,1,在等比数列,a,n,中，,a,5,3,，则,a,3,a,7,等于,),A,3,B,6,C,9 D,18,答案：,C,2,(2011,年南阳调研,),设,a,1,2,，数列,a,n,1,是以,3,为公比的等比数列，则,a,4,的值为,(,),A,80 B,81,C,54 D,53,答案：,A,3,(2010,年高考重庆卷,),在等比数列,a,n,中，,a,2010,8,a,2007,，则公比,q,的值为,(,),A,2 B,3,C,4 D,8,答案：,A,4,(,教材习题改编,),设,a,n,是等比数列，,a,1,2,，,a,8,256,，则,a,2,a,3,_.,答案：,12,5,若数列,a,n,满足：,a,1,1,，,a,n,1,2,a,n,(,n,N),，则,S,n,_.,答案：,2,n,1,考点探究,挑战高考,考点突破,考点一,等比数列的判定及证明,证明一个数列是等比数列的方法主要有两种：一是利用等比数列的定义，即证明,q,(,q,0,，,n,N,),；二是利用等比中项法，即证明,a,a,n,a,n,2,0(,n,N,),在解题中，要注意根据欲证明的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构造出符合等比数列定义式的形式，从而证明结论判断一个数列不是等比数列只需举出一个反例即可,例,1,(2009,年高考全国卷,),设数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，已知,a,1,1,，,S,n,1,4,a,n,2.,(1),设,b,n,a,n1,2,a,n,，证明：数列,b,n,是等比数列；,(2),求数列,a,n,的通项公式,【,思路点拨,】,本题第,(1),问将,a,n,2,S,n,2,S,n,1,代入可以得到,a,n,的递推式，再由,b,n,a,n,1,2,a,n,代入即证；第,(2),问将,b,n,的通项公式代入,b,n,a,n,1,2,a,n,，可得,a,n,的递推式，再依照题型模式求解即可,【,解,】,(1),证明：由已知有,a,1,a,2,4,a,1,2,，,解得,a,2,3,a,1,2,5,，故,b,1,a,2,2,a,1,3,，,又,a,n,2,S,n,2,S,n,1,4,a,n,1,2,(4,a,n,2),4a,n,1,4,a,n,，,于是,a,n,2,2,a,n,1,2(,a,n,1,2,a,n,),，即,b,n,1,2,b,n,.,因此数列,b,n,是首项为,3,，公比为,2,的等比数列,考点二,等比数列中基本量的计算,等比数列基本量的计算是等比数列中的一类基本问题，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程尤其要注意的是，在使用等比数列的前,n,项和公式时，应根据公比,q,的情况进行分类讨论,例,2,(1)(2010,年高考江西卷,),等比数列,a,n,中，,|,a,1,|,1,，,a,5,8,a,2,，,a,5,a,2则,a,n,(,),A,(,2),n,1,B,(,2),n,1,C,(,2),n,D,(,2),n,(2)(2010,年高考辽宁卷,),设,S,n,为等比数列,a,n,的前,n,项和，已知,3,S,3,a,4,2,3,S,2,a,3,2,，则公比,q,(,),A,3 B,4,C,5 D,6,【,思路点拨,】,根据题意，建立关于首项,a,1,和公比,q,的方程组求解,【,答案,】,(1)A,(2)B,(3)B,【,名师点评,】,等比数列中有五个量,a,1,、,n,、,q,、,a,n,、,S,n,，一般可以,“,知三求二,”,，通过列方程,(,组,),求解,变式训练,1,数列,a,n,中，,a1,1,，,a,2,2,，数列,a,n,a,n,1,是公比为,q,(,q,0),的等比数列,(1),求使,a,n,a,n,1,a,n,1,a,n,2,a,n,2,a,n,3,(,n,N,),成立的,q,的取值范围；,(2),若,b,n,a,2,n,1,a,2,n,(,n,N,),，求,b,n,的通项公式,考点三,等比数列的前,n,项和及其性质,等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前,n,项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口,例,3,(2011,年南阳调研,),在等比数列,a,n,中，,a,1,最小，且,a,1,a,n,66,，,a,2,a,n,1,128,，前,n,项和,S,n,126,，,(1),求公比,q,；,(2),求,n,.,【,思路点拨,】,根据等比数列的性质，,a,2,a,n,1,a,1,a,n,，由此可得关于,a,1,、,a,n,的方程，结合,S,n,126,可求得,q,和,n,.,考点四,等比数列的综合问题,在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前,n,项和公式是解决问题的关键,例,4,【,思路点拨,】,对于,(1),，根据,a,n,与,S,n,的关系可求得,k,的值，从而得到,a,n,的通项公式；对于,(2),，可先求出,b,n的通项公式，然后用错位相减法求出,T,n,，再结合,T,n,的单调性证明不等式,【,失误点评,】,本题易弄不清,“,错位相减,”,的项数而致使解答错误,解：,(1),因为对任意的,n,N,，点,(,n,，,S,n,),均在函数,y,b,x,r,(,b,0,且,b,1,，,b,，,r,均为常数,),的图像上所以得,S,n,b,n,r,，,当,n,1,时，,a,1,S,1,b,r,，,当,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,b,n,r,(,b,n,1,r,),b,n,b,n,1,(,b,1),b,n,1,，,又因为,a,n,为等比数列，所以,r,1,，公比为,b,，所以,a,n,(,b,1),b,n,1,，,方法感悟,方法技巧,2,方程观点以及基本量,(,首项和公比,a,1,，,q,),思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在,a,1,，,q,，,n,，,a,n,，,S,n,五个量中，知三求二,(,如例,2),3,等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式以及前,n,项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题,(,如例,3),4,解决等比数列的综合问题时，首先要深刻理解等比数列的定义，能够用定义法或等比中项法判断或证明一个数列是等比数列；其次要熟练掌握等比数列的通项公式与前,n,项和公式，能够用基本量方法和等比数列的性质解决有关问题,(,如例,4),5,S,n,m,S,n,q,n,S,m,.,失误防范,1,把等比数列与等差数列的概念和性质进行类比，可以加深理解，提高记忆效率注意三点：,(1),等比数列的任何一项都不能为,0,，公比也不为,0,；,(2),等比数列前,n,项和公式在,q,1,和,q,1,的情况下是不同的；,(3),等比数列可看作是比等差数列高一级的运算，,一般等差数列中的,“,和,”,、,“,差,”,、,“,积,”,形式类比到等比数列中就变成,“,积,”,、,“,商,”,、,“,幂,”,的形式,2,由,a,n,1,qa,n,，,q,0,，并不能立即断言,a,n,为等比数列，还要验证,a,1,0.,考情分析,考向瞭望,把脉高考,等比数列是每年高考必考的知识点之一，考查重点是等比数列的定义、通项公式、性质、前,n,项和公式，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等偏高客观题主要考查对基本运算，基本概念,的掌握程度；主观题考查较为全面，在考查基本运算，基本概念的基础上，又注重考查函数与方程、等价转化等思想方法,预测,2012,年高考，等比数列的定义、性质、通项公式、前,n,项和公式仍是考查重点，应特别重视等比数列性质的应用,规范解答,例,(,本题满分,12,分,)(2010,年高考四川卷,),已知等差数列,a,n,的前,3,项和为,6,，前,8,项和为,4.,(1),求数列,a,n,的通项公式；,(2),设,b,n,(4,a,n,),q,n,1,(,q,0,，,n,N,),，求数列,b,n,的前,n,项和,S,n,.,【,名师点评,】,(1),本题易失误的是：解题时忽视公比,q,1,的情形；用,“,错位相减法,”,求和时，,“,错位,”,出错；对,“,错位相减,”,后出现等比数列的项数判断出错,(2),如果数列,a,n,是一个由等差数列,b,n,及等比数列,c,n,对应项之积组成的数列，即,a,n,b,n,c,n,，则其前,n,项和的求解常用乘公比错位相减法，把问题转化为以求一个等比数列的前,n,项和或前,n,1,项和为主的求和问题要注意错位相减后对剩余项可分为两部分，一是第一项与最后一项；二是中间项,(,等比数列,),在用错位相减法求和时，一定要处理好这三部分，否则就会出错,名师预测,