高三数学：一道立体几何的思考(苏) 试题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,角的问题,距离问题,平行问题,题问直垂,体积问题,题问体何几,奋,斗,拼,博,行到水云处,坐看云起时,线线、线面、面面角的问题,角的问题,2,A,B,C,D,E,M,解法一,:,(),证明,:,取,BE,的中点,N,连接,MN,，,AN,，,则,MN/CB/DA,，,故,M,，,N,，,A,，,D,四点共面,.,2,分,N,DA,平面,EAB,，,DAEB.,3,分,又,EA=AB,，,ANEB,4,分,由,MNAN=N,，,EB,平面,ANMD,6,分,DMEB.,7,分,也可以直接用,“三垂线定理”,【08,深一模,】,18.(,本小题满分,14,分,),如图所示的几何体,ABCDE,中，,DA,平面,EAB,，,CB/DA,，,EA=DA=AB=2CB,，,EAAB,，,M,是,EC,的中点，,(),求证：,DMEB,；,(),求二面角,M-BD-A,的余弦值,.,3,P,设,CB=a,，,AC,与,BD,的交点为,O,，,AOD=,CAB,=,，,Q,O,A,B,C,D,E,N,M,解,:,(),取,AC,的中点,P,，连,MP,，,则,MP/EA,，,MP,平面,ABCD,，,过,P,作,PQBD,，,连,QM,，,则,QMBD,，,MQP,是二面角,M-BD-A,的平面角,9,分,则有,sin,=sin(+45,0,),又,MP=0.5EA=a,，,在,Rt,MPQ,中,，,即二面角,M-BD-A,的余弦值为,14,分,12,分,？,4,E,D,C,B,A,M,z,y,x,解法二,:,分别以直线,AE,，,AB,，,AD,为,x,轴、,y,轴,、,z,轴，建立如图所示的空间直角坐标系,A-xyz,，,设,CB=a,，则,A(0,，,0,，,0),，,E(2a,，,0,，,0),，,B(0,，,2a,，,0),，,C(0,，,2a,，,a),，,D(0,，,0,，,2a),，,所以,M(a,，,a,，,),4,分,DMEB,，,即,DMEB,7,分,(),解,:,设平面,MBD,的法向量为,n=(x,，,y,，,z),DB=(0,，,2a,，,2a,),由,nDB,，,nDM,得,DM,EB=a(,2a)+a,2a+0=0,(),证,:,DM=(a,，,a,，,1.5a),，,EB=(,2a,，,2a,，,0),，,5,分,5,取,z=2,得平面,MBD,的一非零法向量为,n=(1,，,2,，,2),，,又平面,BDA,的法向量为,n,1,=(1,，,0,，,0),，,cos,即二面角,M-BD-A,的余,弦值为,14,分,11,分,E,D,C,B,A,M,z,y,x,10,分,此题用“坐标法”解简单易行！,6,17.(,本小题满分,14,分,),如图，边长为,2,的线段,AB,夹在直二面角,-,l,-,的两个半平面内，,A,，,B,，且,AB,与平面,、,所成的角都是,30,0,，,AC,l,垂足为,C,，,BD,l,，垂足为,D.,(),直线,AB,与,CD,所成的角；,(),求二面角,C-AB-D,所成平面角的余弦值,l,D,C,B,A,如何合理的选择正确的方法解“立几”题？,通过解题的过程您将有会什么样的收获与启发？,本节将以此题为例探索解决立体中有关角的问题的规律,.,由此我们联想,2006,广州一模,一道立体几何题,7,平移法,:,即根据定义，以,“,运动,”,的观点，用,“,平移转化,”,的方法使之成为相交直线所成的角,.,选择,“,特殊点,”,作异面直线的平行线，构作,含,异面直线所成,(,或其补角,),的角,的三角形，再求之,.,补形法,:,把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系,.,向量法,:,线线角可转化为,两直线的方向向量所成的角,.,异面直线所成角的范围是,:,(0,，,90,0,求异,面直线所成的角,常用的方法有：,一、异面直线所成的角,根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成有角,.,8,二、直线和平面所成的角,直线与平面平行或在平面内直线和平面所成的角,0,斜线和平面所成的角是：斜线及斜线在平面上的射影所成的角,.,关键是找准斜线段在平面内的射影；,直线与平面垂直，直线和平面所成的角是,90,；,直接法,:,通常是从斜线上找特殊点，,作平面的垂线段构作含所求线面角的三角形求之,.,公式法：,求斜线与平面所成的角，还可以利用,三面角的余弦公式：,注,:,当余弦值为,负值,时其对应角为,钝角,，这不符合定义，故其补角为所求的角,.,cos,=,coscos,9,n,A,B,向量法,线面角等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的余角,.,线面角或等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的补角的余角,.,A,B,C,P,在,RtPAC,中，,cos,=,在,RtABC,中，,cos,=,在,RtPAB,中，,cos,cos,=,coscos,10,2,、,二面角的平面角的作法：,定义法：,点,P,在棱上,根据定义作出来,.,l,P,作垂面：,点,P,在二面角内作与棱垂,直的平面与两半平面的交线得到,.,A,O,B,l,P,应用三垂线：,点,A,在一个半平面上应用三,垂线定理或其逆定理作出来,.,B,A,O,l,三、平面和平面所成的角,:,(,二面角的平面角,),以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做,二面角的平面角,.,二面角范围为,0,0,，,180,0,.,11,一,“,作,”,二,“,证,”,三,“,计算,”,ABC,的边,BC,在平面,内，,A在平面,内的射影是,P,，设,ABC,的,面积为,S,，,它和平面,交成二面角,(0,90,),，,射影,PBC,的,面积为,S,1,，,求证,:S,1,=,Scos,.,A,B,C,P,D,面积射影,法,:,S,射,=S,原,cos,1.,顶点在棱上；,2.,两边在两面内；,3.,两边垂直于棱,.,注意,:,二面角的平面角必须满足,:,S,1,=,S,PBC,=BC,PD,，,S,2,=,S,ABC,=BC,AD,，,12,用此公式就可以求出二面角的平面角,(,异面直线上两点的距离公式,),公式法,：,如图，,CBF=,为二面角的平面角,在,CBF,中，由余弦定理可求得，,再由,Rt,ECF,可得,EF,2,=d,2,+m,2,+n,2,2mncos,(0,，,180),E,F,m,n,d,B,C,l,m,d,O,面面角等于两平面的法向量所成的角或等于两平面的法向量所成角的补角,.,技巧,:,先由直觉判断二面角为锐角还是为钝角然后取等角或补角与之相等,.,向量法,:,借用公式,13,求二面角方法,:,.,应用三垂线（逆）定理法：在二面角,-,l,-,的面,上取一点,A,，作,AB,于,B,，,BC,l,于,C,，,则,ACB,即为,-,l,-,的平面角,.,.,作垂面法,:,作棱的垂面，则它和二面角的两个面的交线所成的角就是二面角的平面角,.,.,向量法,:,利用两平面的法向量的夹角与二面角的平面角的关系求得,.,.,cos,=,O,A,D,C,B,H,S,1,S,.,定义法：以二面角的棱上某一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角即二面角的平面角,.,.,公式法,:,l,2,=m,2,+n,2,+d,2,2mncos.,14,2.,学会求简单的二面角问题，求二面角问题的关键在于确定二面角的平面角；,体会到联想、类比及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用,.,1.,平几中“角”,联想、类比,立几中的“二面角”,平面角,度量,定义法、三垂线法、,垂面法、射影法,找出（或作）,找出或作出二面角的平面角,;,证明其符合定义,;,计算，其格式为应,先定其位，后算其值,，,其特点,:,“,夹议夹叙”,.,3.,求二面角大小的步骤为,:,归纳小结,15,(),由于,，且,AC,l,，则,AC,，,建立如图所示空间直角坐标系,.,故直线,AB,与,CD,所成的角为,45,0,.,AC,l,于,C,，,BD,l,于,D,，,则,AC=1,，,BD=1,，,AD=,，,CD=,所以,A(0,，,0,，,1),，,B(1,，,，,0),，,C(0,，,0,，,0),，,D(0,，,，,0),，,解法一,:,向量法,l,D,C,B,A,x,y,z,如图，边长为,2,的线段,AB,夹在直二面角,-,l,-,的两个半平面内，,A,，,B,，且,AB,与平面,、,所成的角都是,30,0,，,AC,l,垂足为,C,，,BD,l,，垂足为,D.,(),直线,AB,与,CD,所成的角；,16,(),在平面,内过点,B,作,BEDC,且,BE=DC,，连结,CE,，,EA,，,则四边形,BECD,是矩形，所以,ABE,就是直线,AB,与,CD,所成的角,.,AB=2,，,，,AC,l,，,AC,，,AC,.,CE,BE,，,AE,BE,，,ABC=30,0,AC=1,同理,BD=1,CE=1,AE=,ABE=45,0,故直线,AB,与,CD,所成的角为,45,0,.,在,RtAEB,中，,sin,ABE=,解法二：,平移法,解法三,:,补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，其目的在于易于发现两条异面直线的关系,.,l,D,C,B,A,E,17,B,例,1,、长方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,，,AB,=AA,1,=,2,cm,，,AD,=,1cm,，,求异面直线,A,1,C,1,与,BD,1,所成的角,.,解法一（平移法）：,如图，连,B,1,D,1,与,A,1,C,1,交于,O,1,，取,BB,1,的中点,M,，连,O,1,M,，则,O,1,M,D,1,B,，,O,1,M,于是,A,1,O,1,M,就是异面直线,A,1,C,1,与,BD,1,所成的角（或其补角），连,A,1,M,，,在,A,1,O,1,M,中,D,B,1,A,1,D,1,C,1,A,C,由余弦定理得,A,1,C,1,与,BD,1,所成的角为,解法二（补形法）：如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面,BC,1,的方体,B,1,F,，连结,A,1,E,，,C,1,E,，则,A,1,C,1,E,为,A,1,C,1,与,BD,1,所成的角,(,或补角,)，,18,在,A,1,C,1,E,中，,由余弦定理得,A,1,C,1,与,BD,1,所成的角为,F,1,E,F,E,1,B,D,B,1,A,1,D,1,C,1,A,C,解法三（向量法）：,A,1,D,1,C,1,B,1,A,B,C,D,x,y,z,19,l,D,C,G,F,B,A,（,）,AC,AC,平面,ABC,平面,BAC,平面,BDC,且交线是,BC.,过,D,点作,DF,BC,，垂足为,F,，则,DF,平面,BAC.,过,F,点作,FG,A,B,，垂足为,G,连结,DG,，则,DG,AB.,所以,DFG,二面角,C-AB-D,的平面角,故二面角,C-AB-D,所成平面角的余弦值为,解法一：,垂线法,广州一模,17,.(,本小题满分,14,分）,如图,边长为,2,的线段,AB,夹在直二面角,-l-,的两个半平面内,A,B,，且,AB,与平面,、,所成的角都是,30,0,ACl,垂足为,C,，,BDl,，垂足为,D.,（,),求二面角,C-AB-D,所成平面角的余弦值,20,由于,D,在平面,ABC,内的射影,F,在,BC,边上，,ABF,为,ABD,在平面,ABC,上的射影，,设所求的二面角为,解法二：射影法,l,D,C,F,B,A,故二面角,C-AB-D,所成平面角的余弦值为,广州一模,17,.(,本小题满分,14,分）,如图,边长为,2,的线段,AB,夹在直二面角,-l-,的两个半平面内,A,B,，且,AB,与平面,、,所成的角都是,30,0,ACl,垂足为,C,，,BDl,，垂足为,D.,（,),求二面角,C-AB-D,所成平面角的余弦值,21,l,B,A,D,C,x,y,z,故二面角,C-AB-D,所成平面角的余弦值为,解法三：,向量法,设平面,ABD,的一个法向量为,n,2,=(x,2,y,2,z,2,),，,(),设平面,ABC,的一个法向量,为,n,1,=(x,1,y,1,z,1,),，,广州一模,17,.(,本小题满分,14,分）,如图,边长为,2,的线段,AB,夹在直二面角,-l-,的两个半平面内,A,B,且,AB,与平面,、,所成的角都是,30,0,ACl,垂足为,C,，,BDl,，垂足为,D.,（,),求二面角,C-AB-D,所成平面角的余弦值,22,如图，作,CE,、,DF,都垂直于所求二面角的棱,AB,，,E,、,F,是垂足，设所求二面角,C-AB-D,的平面角大小为,，则,解法四：公式法,l,D,C,F,B,A,E,广州一模,17,.(,本小题满分,14,分,),如图,边长为,2,的线段,AB,夹在直二面角,-,l,-,的两个半平面内，,A,，,B,且,AB,与平面,、,所成的角都是,30,0,AC,l,垂足为,C,，,BD,l,，垂足为,D.,(),直线,AB,与,CD,所成的角；,(),求二面角,C-AB-D,所成平面角的余弦值,23,例题,2,、如图，在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，求,A,1,B,与平面,A,1,B,1,CD,所成的角,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,O,x,y,z,（解法一）,DC,平面,BCC,1,B,1,BC,1,平面,BCC,1,B,1,BC,1,DC,且,BC,1,B,1,C,BC,1,DC=C,BA,1,O,为,A,1,B,与平面,A,1,B,1,CD,所成的角,BC,1,平面,B,1,CDA,1,所以,BA,1,O,=30,0,，故,A,1,B,与平面,A,1,B,1,CD,所成的角为,30,0,.,（解法二）如图建立空间之间坐标系，设正方体的边长为,1,，则,O(,1,),B,（,1,，,1,，,0,），,A,1,（,1,，,0,，,1,）,.,故,A,1,B,与平面,A,1,B,1,CD,所成的角为,30,0,.,24,例,3,、,如图，斜三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的底面为一等腰直角三角形，直角边,AB=AC=2cm,，,侧棱与底面成,60,角，,BC,1,AC,，,BC,1,=cm,求,BC,1,与底面所成的角,.,分析：欲求,BC,1,与底面,ABC,所成的角，关键在于准确地找到,BC,1,在底面上的射影,.,A,1,B,1,C,1,B,A,C,O,x,解：,AC,AB,，,ACBC,1,，,AC,平面,ABC,1,，于是平面,ABC,1,平面,ABC,，,作,C,1,O,平,面,ABC,，则点,O,在平面,ABC,1,和平面,ABC,的交线,BA,上，,在,OBC,1,中,BC,1,=,(,已知）,在,Rt,BOC,中，,BC,1,与底面所成的角是,注意到,AC,AB,和,ACBC,1,，,即,AC,平面,ABC,1,，所以，平面,ABC,1,平面,ABC,，,故点,C,1,在底面上的射影,O,在平面,ABC,1,和平面,ABC,的交线,BA,上，,C,1,BO,为所求的角,.,25,A,C,B,D,H,F,解法一,(,垂线法,):,如图,由已知可得平面,ABC,平面,作,DHBC,于,H,，则,DH,平面,ABC,，作,DFAB,于,F,，连,HF,，,则据三垂线定理的逆定理知,DFH,为所求二面角的平面角,.,于是在,DFH,中，由余弦定理，得,即面,ABD,与面,ABC,所成的二面角为,又知,BAD=45,ABC=30,，,得,【,回顾,】,已知直二面角,l,-,A,B,线段,AB=2a,，,AB,与,成,45,的角，与成,30,角，过,A,、,B,两点分别作棱,l,的垂线,AC,、,BD,，,求面,ABD,与面,ABC,所成角的大小,.,26,H,由于,D,在平面,ABC,内的射影,H,在,BC,边上,ABH,为,ABD,在平面,ABC,上的射影,设所求的二面角为,则有,cos,=S,ABH,/S,ABD,，,，代入上式，得,由解法一，易求得,解法二,(,射影法,),：,故,已知直二面角,-,l,-,，,A,，,B,，,线段,AB=2a,，,AB,与,成,45,的角，与,成,30,角，过,A,、,B,两点分别作棱,l,的垂线,AC,、,BD,，,求面,ABD,与面,ABC,所成角的大小,.,A,C,B,D,27,A,C,B,D,E,F,如图，作,CE,、,DF,都垂直于所求二面角的棱,AB,，,E,、,F,是垂足,设所求二面角,C-AB-D,的平面角大小为,易求,DF=a,，,EF=0.5a,应用公式可得,解法三（公式法）,：,已知直二面角,-,l,-,，,A,，,B,，,线段,AB=2a,，,AB,与,成,45,的角，与,成,30,角，过,A,、,B,两点分别作棱,l,的垂线,AC,、,BD,，,求面,ABD,与面,ABC,所成角的大小,.,胜利属于自强不息的人！,28,(2),平移法,(3),补形法,(1),向量法,:,求异,面直线所成的角常用的方法有：,求直线和平面所成的角,常用的方法有,:,(2),三面角的余弦公式,(3),向量法,(1),定义法,(1),定义法,求二面角常用方法有,:,(2),垂线法,(3),垂面法,(4),射影法,(5),向量法,(6),公式法,求空间角常用的方法小结,田,田 田,拒绝勤奋创新的人，,永远不能体会成功的快乐！,拒绝酸涩的人，,永远不能体味甜美的甘醇！,29,同学们再见！,刻苦勤奋,30,